Rozkład normalny (Gaussa)

Transkrypt

1

2 Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch pomiar: P ( ε P ( ε W wiu pomiaru otrzmujem jedą z wielości: + ε + ( ( ε + ( + ε 0,,,..., tórch rozład p-twa da jest przez: Wartość oczeiwaa i wariacja zmieej : (, p. B 0 5 ( ( E + + ε + + ε + + ε [ ] [ ] V εv + 4ε V 4ε ε M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-

3 Rozład ormal - wprowadzeie Zachowaie graicze rozładu dwumiaowego dla dużch : ( p B (, p ep πpq pq co w aszm przpadu prowadzi do: ε ep + ep π ε π ε ε 4 Przechodząc z ε do zera, atomiast z i do iesończoości, ale ta ab wariacja dążła do stałej ε dostajem gęstość p-twa zmieej : B (, p. ( p B (, p ep πpq pq ( ( ( 0 5 N ( ;, ep, ε 0 ε π M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-3

4 Własości rozładu ormalego Wartość oczeiwaa i wariacja: ( E [ ] ep d [ ] ( ep d π V π Wszstie ieparzste momet cetrale ziają ze względu a smetrię, atomiast parzste dae są przez: (! (! Dla mam ( , co ozacza, że współczii asmetrii γ i spłaszczeia 4 γ V [ ] 3 przjmują wartości zerowe. ( 3 3 D [ ] M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-4

5 Dstrbuata rozładu ormalego u Φ ( ep du π + ep dla > 0 π ep dla < 0 π X , ,599 0,539 0, ,846 0,8485 0, M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-5

6 Rozład ormal - przład Przład: Biolog chce oceić wpłw su zimowego a masę ciała wiewióre. W tm celu waż 000 dorosłch osobiów płci męsiej w pod oiec lata i wczesą wiosą. Oazuje się, że pomiar woae w lecie mają rozład ormal o średiej 400 g i odchleiu stadardowm 00 g. Jaie jest p-two, że losowo wbraa wiewióra waż w lecie pomiędz 350 g i 450 g? 350g 400 g 450 g 400 g P( 350 g < < 450 g P < z < g g P ( 0. 5 < z < 0. 5 Φ ( 0. 5 Φ ( 0. 5 Φ ( Przład: Wii testu IQ przeprowadzoego w pewej populacji mają rozład ormal o średiej 00 i odchleiu stadardowm 6. Ile wosi wi testu poiżej tórego wpada 85% populacji? P( < 85 P z < P( z < z85 Φ ( z Z tablic odcztujem: z Przład: Suma iezależch zmiech z rozładu z rozładu Gaussa o parametrach i : ( z t ( t ( z ep ep dt ep ;, π N π ( ( ( z M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-6

7 Dwuwmiarow rozład ormal Gęstość p-twa dwuwmiarowego rozładu ormalego: N (, ;,,, ep + ρ π ( ρ ρ Elips owariacji: + ρ C ρ Kąt achleia dłuższej osi elips: ρ ta α + Proste regresji II-go rodzaju: + ρ ( + ρ ( M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-7 wartość władia wielorotość dspersji udział p-twa 0.5 (C 39.3%.0 (C 86.5% 4.5 (C %

8 Nierówość Chebshev a Niech,,..., będą iezależmi i pochodzącmi z tego samego rozładu (o wartości oczeiwaej i dspersji zmiemi losowmi. i Wartość średia: E [ ] E E [ ] E [ ] E [ ] i i i Uwaga: Więszość p-twa dla dowolej zmieej losowej socetrowaa jest woół wartości oczeiwaej w zaresie ilu dspersji : i i [ ] [ ] [ ] V V i V i V i i Twierdzeie: (Nierówość Chebshev a. Dla dowolej zmieej losowej X i dowolej liczb ε > 0 zachodzi: Dowód: [ ] ( ( V f d - ( [ ] P E ε V [ ] ε ( f ( d f ( d P ( ε ε ε ε ε M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-8 [ ] V P( < P(

9 Prawo wielich liczb Przład: Zastosowaie ierówości Chebshev a do rozładu władiczego z parametrem λ. ( ( ( ( P P P P e < < < < + < + Zastosujm ierówość Chebshev a do wartości średiej: Twierdzeie: (Prawo wielich liczb. Dla dwu dowolch liczb δ i ε istieje taa liczba aturala N, że dla wszstich liczb aturalch > N zachodzi: ( P > ε < δ 3 4 Chebshev P( -m < P( [ ] ε V ε ε ( lim P > ε 0 M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-9

10 Cetrale twierdzeie graicze Jeśli da jest ciąg iezależch zmiech losowch,,..., pochodzącch z dowolego rozładu, o sończoch wartości oczeiwaej i dspersji, to rozład gęstości zmieej losowej dąż do stadarzowaego rozładu Gaussa. z gdzie i i M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-0

11 Suma zmiech poissoowsich Przład: Rozważm sumę dwóch iezależch zmiech losowch oraz j z rozładu Poissoa o tm samm parametrze. Łącz rozład p-twa zmiech oraz j ma postać: j j P,j ( P ( Pj ( e e e! j!! j! Rozład zmieej losowej m +j otrzmujem z powższego łączego rozładu sumując po wszstich parach (, j taich tórch suma jest stała i rówa m: m m m m m m ( Pm P,j( e e e + j m!( m! m! m! 0 0 Zmiea losowa m będąca sumą iezależch zmiech losowch z rozładu Poissoa, będzie więc miała rozład: Te sam rezultat otrzmam orzstając z FGP: P ( ( e m! ( t g ( t e ( ( m m m m M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9- m m ( t g t g t e

12 Zachowaie graicze r. Poissoa + e e P ( e e! + + π π e π e + ep + + l + π π ep + + π + ep π ( ( 0. 5 ep π + l( z + z z ( M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-

13 Zachowaie graicze r. dwumiaowego Przład: P-two, że w czasie T przestaie świecić jeda żarówa jest rówe p 0.. Jaie jest p-two, że w czasie T spośród 00 żarówe przestaie świecić od 7 do 9 prz założeiu, że żarówi przepalają się iezależie? Obliczeia bezpośredio z rozładu dwumiaowego są czasochłoe: P( 7 9 B (,. (. (. 00 p ( p B (, p ep πpq pq Korzstając z tw. de Moivre a Laplace a mam: ( p p p P 7 9 P < < pq pq pq P < z < P (. 7 < z < Φ ( 3. 7 Φ (. 7 Φ ( Φ ( Bez 0.5 otrzmalibśm: P( 7 9 P( z 3 Φ ( 3 Φ ( M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 9-3