n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Transkrypt

1

2 Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla zmieej dysretej i ciągłej azywamy odpowiedio wielości (µ ª m ): µ ( ) µ ( µ ) P ( ) M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya µ µ ( µ ) ( ) d Deiicja: Mometem cetralym mieszaym µ rs rzędu r+s azywamy wielości: µ rs E [(m µ ) ( µ ) ] ( m µ ) ( µ ) P r s r s m m m, r s r s y y µ E[( µ ) (y µ ) ] ( µ ) ( y µ ) (, y) ddy rs m Wyład 5-5

3 Wariacja zmieej losowej Deiicja: Wariacją azywamy momet cetralym µ rzędu -go. Przyjmuje oa odpowiedio dla zmieej dysretej i ciągłej postać: ( ) ( µ ) D P ( ) ( ) ( ) µ D M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya d Pierwiaste wadratowy z wariacji azywamy dyspersją. Własości wariacji (,y,z zmiee losowe; a,b,c stałe, z a + by + c): [ z] ( z z ) ( a + by + c a b y c) (, y) ddy a ( ) (, y) ddy + b ( y y ) (, y) ddy + ab ( )( y y ) (, y) ddy a ( ) ( ) d + b ( y y ) ( y) dy ab ( + )( y y ) (, y) ddy a [ ] + b [ y] + ab ( )( y y ) (, y) ddy Gdy zmiee i y są statystyczie iezależe: z a + b [ y] + + Wyład 5-35

4 Zmiea losowa dysreta - przyład ( ) [ ] ( ) + + E E Przyład: Wartość oczeiwaa rozładu dwumiaowego: gdzie,,, oraz <p<: (, p) p ( p) (, ) p M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya!! p ( p) p ( p)!( )! ( )!( )! ( )! ( ) ( ) ( p p p ) ( )!(( ) ( ))! ( )! ( ) ( ) ( ) m m p m + p p p ( m + ) m (, p) m!(( ) m)! m m p m + p ( ) p + ( ) ( E ) (( ) + ) ( ) p( p) Wariacja: E p p p p p Korzystając z powyższego wyiu zajdujemy: Wyład 5-45

5 Zmiea losowa ciągła - przyład Przyład: Rozład trójąty: gdzie t τ: τ τ τ τ τ 3 t t ( t) dt t ( τ t) dt t dt t dt τ τ τ τ τ τ 3 6 Wariację zajdziemy ze wzoru: ( ) t t t E E τ τ τ τ τ Przyład: Wariacja rozładu wyładiczego: M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya ( ) ( ) t u t ep t / τ t t E( t; ) t ep τ dt τ τ u t τ ep t / τ t t t t t ep t ep dt t ep ep τ + τ τ τ τ τ τ τ τ τ Wariacja: ( ) ( t; τ ) ( τ t) E E τ τ τ t ( ; τ ) e / τ t Wyład 5-55

6 Kowariacja Deiicja: Kowariacją azywamy pierwszy cetraly momet mieszay m : [ m,] co[ m,] ( m )( ) ( m )( )P [ m] E µ µ µ µ E µ µ m m m m m, [, y] co[, y] ( )( y ) ( )( y ) (, y) ddy [ y] y y y Istotą cechą owariacji jest jej za: dodati gdy wzrostowi jedej zmieej towarzyszy wzrost drugiej i ujemy w przeciwym wypadu. Twierdzeie: Jeżeli zmiee i y są statystyczie iezależe to co[,y]: M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya E µ µ µ µ E µ µ ( ) ( ) ( ) co, y y y y, y ddy y y y ddy y ( ( ) d) ( y ( y) dy) y y y Uwaga: Odwrote twierdzeie ie jest prawdziwe owariacja może być rówa zero, a zmiee mogą być statystyczie zależe. Np. (,y)3( +y )/8 oreśloa a wadracie - ; - y : ( + y ) ddy y y( + y ) ddy y y ( + y ) ddy O taich zmieych mówimy, że są iesorelowae (a ie iezależe). Wyład 5-65

7 Współczyi orelacji Deiicja: Współczyiiem orelacji (Pearsoa) azywamy wielość: Własości: co[, y] ρ D [] D [y] bra zależości od wyboru jedoste i początu sali zmieych losowych: Niech a u + b y c + d oraz ac > D D [ a b c d ] [ a b] [ c d ] co, y E y E E y E ( u + )( + ) E u + E + ρ D D y y D[ a u + b] D[ c + d ] [ u] [ u] [ ] [ u] [ ] [ u] [ ] ace + ade + bce + bd ace E ade bce bd ac D ud [ u] [ u] [ ] E E E co u, D ud D ud M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-75

8 Współczyi orelacji zares wartości - ρ - µ y- µ y u, E[u] E[], [u] [], co[u, ] ρ y [ u ] ( u+ ) + u + u + + ρ > ρ [ u ] ( u ) u u + ρ > ρ + ρ ± [u ] u y µ y µ y µ y y ± ( µ ) + µ y M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-85

9 Macierz owariacji Wariacja sumy zmieych losowych. Niech z a + by + c: ( )( ) z a + b y + ab y y (, y) ddy [ y] co[, y] + + a b ab Uogólieie a wiele zmieych losowych z a +a + +a +b: [ z] co[, ] [ ] T a a a a i j i j i, j gdzie [ ] co[, ] co[, ] co ( ) ( ) [,] [ ] co[, ] a a, a,..., a, co[, ] co[, ] [ ] Uwaga: gdy macierz owariacji jest diagoala wówczas: [ z] a i [ i ] Uwaga: dla dwóch zm. iesorelowaych: i [ + y] [ - y] [ ] + [ y] M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-95

10 Momety ucji zmieych losowych Problem: Ja oszacować iepewość stadardową wyiu otrzymaego za pomocą daej ormuły matematyczej z pomiarów wielości wchodzących do tej ormuły, tórych iepewości stadardowe są zae? Załóżmy, że w obszarze iepewości argumetów zadaa zależość ucyja może być przybliżoa zależością liiową (model małych iepewości pomiarowych). d y ( ) ( µ ) + ( µ ) d µ d d d ( µ ) + ( µ ) gdzie d d d µ Obliczymy wartość oczeiwaą i wariację y: d E [ y] µ y ( µ ) + µ ( µ ) d d d d () ( µ ) µ µ d d d ( ) ( ) ( ) ( ) M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-5

11 Momety ucji zmieych losowych ( ) Uogólieie a zmieych losowych,,..., o wartościach oczeiwaych µ ( µ, µ,..., µ ) i wzajemych relacjach opisaych macierzą owariacji oraz m ucji (,,..., ) tóre aprosymujemy liiowo: co, co, co ( ) [, ] [ ] co[, ] co[,] co[, ] [ ] i (,,..., ) ( µ, µ,..., µ ) + ( µ ) ( µ ) µ µ (,,..., ) ( µ, µ,..., µ ) + ( µ ) ( µ ) µ µ m (,,..., ) ( µ, µ,..., µ ) + ( µ ) ( µ ) m m m µ µ M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-5

12 Momety ucji zmieych losowych Powyższy uład zapisujemy wygodie w postaci macierzowej jao: ( ) ( µ ) + ( µ ) gdzie wprowadziliśmy astępujące ozaczeia: ( µ ) µ ( ) µ µ ( ) µ,, µ m( µ ) µ m m m Wartość oczeiwaa i wariacja w przypadu gdy mamy tylo jedą ucję zmieych losowych mają postać: E () µ + i µ i ( µ ) ( ) i i µ [ ] ( ) ( ) µ M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya () ( ) co[ i, ] µ [] i, i T Wyład 5-5

13 Momety ucji zmieych losowych Gdy zmiee losowe ie są sorelowae (macierz [] jest diagoala) to: d i d i [ ] [ ] Dla dwóch ucji zmieych losowych wyrażeia a wartość oczeiwaą i wariację przyjmują postać: i i i i µ [ ( ) ] ( µ ) + µ ( µ ) [ ( ) ] ( µ ) ( ( ) co, ( ))( ( ) µ ( µ )) ( i µ i ) ( µ ) i i i ( i µ i )( µ ) [ i, ] [] i, i i, i Macierz owariacji dla ucji i : ( ) [ ] co [, ] [ ] [ ] co, T M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-35

14 Momety ucji zmieych losowych Zupełie ogólie, dla m ucji i zmieych losowych wyrażeia a wartość oczeiwaą i wariację przyjmują postać: E[ ()] ( µ ) + i µ i ( µ ) i i µ T T ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) µ ( µ )) ( µ ) ( µ ) T T ( ) ( ) ( )( ) [ ] µ µ µ µ T T T czyli ( ) [ ] co [, ] co [, ] [ ] [ ] [ ] co, co, co, co, [ ] [ ] [ ] M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-45

15 Korelacja w pomiarach złożoychz oych M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-55

16 Propagacja małych błęb łędów Przyład: Wyzaczamy eergię ietyczą uli mierząc jej masę z doładością % oraz dooując pomiaru jej prędości poprzez iezależy pomiar przebytej odległości i czasu, przy czym te pomiary wyoujmy z doładością %. Jaa jest doładość pomiaru eergii? s s E m m E E ( µ ) m t t E E s m s m s E E m s t m s 3 t m s t t t t E s t E + + m s t m + + Uwaga: Względy błąd pomiaru złożoego wyraża się szczególie prosto w przypadu ormuł w tórych wielości mierzoe pośredio występują jedyie w postaci iloczyów i ilorazów: z j a b z a b c d + j + m + m c d z M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya a b c d Wyład 5-65

17 Propagacja małych błęb łędów Przyład: Wyoujemy pomiar spadu apięcia U i atężeia prądu I płyącego przez iezay opór, odpowiedio z błędami U i I. Wyliczamy wartość oporu R oraz moc M wydzielaą a tym oporze: U R, M UI I Jeśli pomiary apięcia i atężeia są iezależe, wówczas macierz owariacji jest diagoala: U [ U,I] I Zajdujemy macierz pochodych: R R U R R U I - - I U I I M M M M I U U I U I Macierz owariacji zmieych R oraz M ma postać: U I U I T R + MR U I U I [ R, M] [ U,I] U I U I MR M + U I U I M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-75

18 Małe e czy duże e błęb łędy Przyład: Chcemy zmierzyć eergię ietyczą uli o zaej masie. Załóżmy, że mierzymy jej prędość z doładością do %. Korzystając z przybliżeia liiowego dostajemy: E m E E( µ ) m µ E E E ( m ) E µ µ µ Załóżmy, że rozład prędości jest rozładem ormalym: ( µ ) ( ) N ( ; µ, ) ep π Wartość oczeiwaa eergii jest wówczas rówa: ( µ ) d ( ) u du µ E m m ep d π u + µ π m ( u + µ ) ep ( u ) du m + µ π m µ + m π π M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-85

19 Duże e błęb łędy pomiarów w pośredich Zajdziemy rozład jaiemu podlega eergia E: ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) d g E E + - E de ( E/m- µ ) (- E/m- µ ) ep - + ep - π me ( E- µ m/ ) ( E + µ m/ ) ep - + ep - π m me m Korzystając z powyższego rozładu moża poazać, że: E E g(e) m µ + m E m + m µ + m µ E [E] E E m µ + m Idetyczy wyi dostajemy zachowując wyrazy wadratowe w rozwiięciu w szereg Taylora: d d () ( µ ) + ( µ ) + ( µ ) d d µ µ M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya E d ± m de me Wyład 5-95

20 Duże e błęb łędy pomiarów w pośredich Prowadzi to do astępujących wyrażeń a wartość oczeiwaą i wariację: d () ( µ ) + [] d d [ ] d d + d µ µ µ Przyład: Rozpatrzmy proto poruszający się z prędością β.997. Załóżmy, że potraimy zmierzyć prędość z doładością do.%. Jaa jest doładość pomiaru całowitej eergii? β E β 343. % E β β mc E - E ( β β ) Ge - Wyi podajemy w postaci: ( + ) ( E E ) + E - E +97. E ( β β ) mc E + E ( β + β ). 4 Ge - ( β + β ) E mc - d β β ( - β ) de β mc E β 3 β M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 5-5