GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

Transkrypt

1 / WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu metodą elimiji Guss Możymy pierwsze rówie przez Możymy drugie rówie przez Dodjemy rówi stromi. Stąd x Podoie y Rozwiązie ukłdu rówń jest posti, y x przy złożeiu Mierz ukłdu rówń ;, y x Defiij Wyzzikiem mierzy główej ukłdu rówń zywmy wyrżeie posti: /wyzzik drugiego stopi/ ;,,, y x

2 Przykłd Olizyć wyzzik = - (-) = Mierz kwdrtow wymiry = Pierre Simo de Lple - złoek Istytutu Nrodowego we Frji. Boprte miowł go miistrem sprw wewętrzyh. Po sześiu tygodih odwoło go z iekompeteje. Idukyj defiij wyzzik względem ilośi wierszy rozwiięie Lple względem pierwszego wiersz Nieh ozz mierz kwdrtową wymiru Krok. Dl =, det = Krok. Złożeie: mmy zdefiiowy wyzzik mierzy wymiru Defiiujemy wyzzik mierzy wymiru (+) (+),,,,, dl i =,,..., +: Wykreślmy z mierzy wiersz i kolumę i S Dl pozostłej mierzy i olizmy det i Tworzymy sumę det, det,... i, i det, i..., det, Przyjmujemy Det = S /

3 Wyzzik lizowej mierzy kwdrtowej ozzmy symolem Przykłd Olizyć wyzzik mierzy det = det + det det (( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) = = Defiij Ilozyem lizy i wiersz (kolumy) zywmy iąg, którego kżdy elemet jest ilozyem tej lizy i odpowiediego elemetu możoego wiersz (kolumy). Ilozyem lizy i wiersz,, jest iąg,, Dw wiersze (kolumy) zywmy proporjolymi, jeżeli jede powstje z drugiego w wyiku pomożei przez określoą lizę. ) Wiersze,, i,, są proporjole ( = ) /

4 ) Wiersze,, i,, są proporjole (= ) Sumą dwóh wierszy (kolum) zywmy iąg złożoy z elemetów, ędąyh summi odpowidjąyh soie elemetów tyh dwóh wierszy (kolum) z zhowiem ih porządku. Sumą wierszy,, ) i (,, ) jest iąg ( (,, ) Przykłd De są mierze B 8 (,,) B (,,) (,,) (,8,) B (,,) (,, ) Komiją liiową dwóh wierszy (kolum) mierzy zywmy iąg, którego elemety są komijmi liiowymi odpowiedih elemetów rozptrywyh wierszy (kolum). Liz jest komiją lizową liz i jeżeli istieją tkie lizy i, że = Twierdzeie włsośi wyzzików Wyzzik mierzy kwdrtowej jest rówy wyzzikowi mierzy względem jej trspoowej T det det d d d Przestwieie dwóh wierszy (kolum) w mierzy jest rówowże pomożeiu wyzzik przez d ( d) d d /

5 / Wyzzik mierzy o dwóh jedkowyh kolumh jest rówy Wyzzik mierzy mjąej wiersz (kolumę) zerową jest rówy Możą wiersz (kolumę) mierzy przez lizę możymy wyzzik tej mierzy przez tę lizę. d d Wyzzik o dwóh proporjolyh wierszh (kolumh) jest rówy. Wyzzik możemy przedstwić w posti sumy dwóh wyzzików w posti = + Przykłd Jeżeli w mierzy jede z wierszy (lu jed z kolum) jest komiją liiową pozostłyh wierszy (lu kolum), to wyzzik tej mierzy jest rówy.

6 / Wyzzik mierzy ie zmiei wrtośi, jeżeli do wiersz (lu kolumy) mierzy dodmy komiję liiową pozostłyh wierszy (lu kolum). Jeżeli wyzzik mierzy jest rówy to jej wiersze (kolumy) są liiowo zleże. Jeżeli, to istieją tkie trzy lizy,, ie rówe jedoześie dl któryh Izej: wśród wierszy (kolum) mierzy o wyzziku zerowym istieje tki wiersz lu kolum, który jest liiowo zleży od pozostłyh wierszy (kolum). Przykłd, drugi wiersz powstje z pierwszego wiersz w wyiku pomożei przez 9 8 7, trzei wiersz jest rówy podwojoemu drugiemu wierszowi pomiejszoemu o wiersz pierwszy. Metody olizi wyzzików Rozwiięie względem wiersz lu kolumy Twierdzeie Wyzzik mierzy moż rozwijć względem dowolej z jego kolum ( ztem rówież względem dowolego wiersz)

7 7/ j j j j j j,, det ) (... det ) ( det,, Przykłd 8 9 ) ( ) (8 ) 9( 9 9 Metod Srrus ) ( Przykłd 8 ) (

8 Metod permutyj permutyj defiij wyzzik Przypomieie: Permutj zioru elemetowego: iąg złożoy z elemetów Ilość permutji zioru elemetowego:! Permutj przyst przyst ilość iwersji. Permutj ieprzyst - ieprzyst ilość iwersji Zk permutji - permutj permutj ieprzyst przyst Przykłd Ziór {,,,, } Permutje zioru, p. (,,,, ) Ilość iwersji= permutj przyst zk permutji wyosi Twierdzeie ij Dl mierzy = mmy det (sg ) () () ( ), gdzie przeieg wszystkie permutje ziorze {,,...,} Olizie wyzzik mierzy metodą permutyją (dl mierzy x ) Wypisujemy wszystkie permutje zioru {,, } (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) 8/

9 Tworzymy ilozyy współzyików mierzy w stępująy sposó Permutj wyjśiow Permutj olizo Zk permutji Ilozy współzyików,,,,,, -,, -,, -,,,, Dodjemy utworzoe ilozyy, które przepisujemy ze zkiem + dl permutji przystej, ze zkiem - dl permutji ieprzystej det = Przykłd Olizyć wyzzik mierzy metodą permutyją permutj przyst ( ) permutj ieprzyst permutj ieprzyst permutj ieprzyst 9 permutj przyst ( ) permutj przyst det= ( ) ( ) ( ) 9 9/

10 Metod Srrus ( ) ( ) ( ) ( ) Rząd mierzy mierz wymiru m = m m Defiij Mierz zęśiow, podmierz mierzy mierz kwdrtow, którą możemy uzyskć z mierzy w wyiku skreślei w iej pewej lizy wierszy lu kolum. Np. podmierzą mierzy jest mierz Podwyzzikiem dego wyzzik zywmy kżdy wyzzik mierzy, którą otrzymmy usuwją z dej mierzy pewą lizę wierszy i tę smą lizę kolum, zhowują kolejość pozostłyh elemetów. Miorem wyzzik przyleżym do elemetu ik mierzy zywmy podwyzzik dego wyzzik, który otrzymmy usuwją z mierzy wiersz orz kolumę, przeięiu któryh zjduje się te elemet. Np. w wyzziku drugiego stopi = /

11 miorem przyleżym do elemetu jest Dopełieiem lgerizym ik elemetu ik wyzzik zywmy ilozy mior tego wyzzik przyleżego do elemetu ik orz zyik Np. dl mierzy trzeiego stopi ( ) ik dopełiei lgerize są posti ( ) ( ) Mierz osoliw mierz kwdrtow, której wyzzik jest rówy. Mierz ieosoliw mierz kwdrtow, której wyzzik jest róży od. Defiij Rzędem mierzy o wymirze m zywmy:. Lizę R rówą jwyższemu ze stopi jej różyh od zer miorów, gdy mierz jest iezerow;. Lizę, gdy mierz jest zerow. Rząd mierzy spełi ierówość Np. dl mierzy R mi( m, ) = rz mi(,) Olizie rz Lizymy wyzziki podmierzy mierzy wymiru x. Jeżeli istieje tk podmierz, której wyzzik jest róży od, to rz =, w p.p. lizymy wyzziki podmierzy mierzy wymiru x. /

12 Jeżeli istieje tk podmierz wymiru x, której wyzzik jest róży od, to rz =, w p.p. lizymy wyzziki podmierzy mierzy wymiru x Jeżeli istieje tk podmierz wymiru x, której wyzzik jest róży od, to rz =, itd. Przykłd Olizyć rząd mierzy = Olizmy wyzzik mierzy (p. metodą permutyją) det Wyiermy dowolą podmierz wymiry mierzy i lizymy jej wyzzik 8 stąd rząd mierzy, rz= Odwrie mierzy Defiij Mierzą odwrotą do mierzy zywmy mierz ozzoą przez Twierdzeie I, tką, że Mierz odwrl (tz. tk, do której istieje mierz odwrot) jest mierzą ieosoliwą. Mierz odwrot Wyzzik mierzy odwrotej odwrej. do mierzy ieosoliwej jest ieosoliw. jest rówy odwrotośi wyzzik mierzy /

13 / Defiij Mierzą dołązoą D mierzy kwdrtowej zywmy mierz trspoową mierzy utworzoej z dopełień lgerizyh elemetów mierzy. T ij D Mierz odwrot jest wyrżo wzorem D Przykłd Olizyć mierz odwrotą do mierzy = Olizmy wyzzik mierzy det = Olizmy dopełiei lgerize elemetów mierzy,, itd. Tworzymy mierz dopełień lgerizyh ij D Olizmy D =