1. Granica funkcji w punkcie

Transkrypt

1 Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem prawostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a a Uwaga JeŜeli promień sąsiedztwa ie będzie istoty w rozwaŝaiach to zbiory S ( a S ( a oraz S ( a będziemy ozaczać odpowiedio przez S ( S ( oraz S ( Uwaga Zbiór ( a S( a { a} ( a r a U azywamy otoczeiem o promieiu r > 0 puktu a R Deiicja 4 Niech a R oraz : S( R Liczbę R azywamy graicą ukcji w pukcie a co zapisujemy jeŝeli a ( ) S ( { } Uwaga PowyŜszą deiicję azywa się deiicją Heiego graicy ukcji w pukcie MoŜa ją zapisać takŝe w postaci a ( ) S ( Niech oraz a ZauwaŜmy Ŝe R \ { } Wtedy oczywiście Mamy D Weźmy więc dowole sąsiedztwo S( gdzie r < S D ( Niech { } ) S( r będzie dowolym ciągiem takim Ŝe ( ) ( ) ( ) ( )

2 co ozacza Ŝe Niech 4 oraz a ZauwaŜmy Ŝe R \ { } D Weźmy więc dowole sąsiedztwo S ( gdzie r jest dowolą liczbą rzeczywistą (moŝa awet przyjąć { } S( r ) Wtedy oczywiście S( D Niech będzie dowolym ciągiem takim Ŝe Mamy 4 co ozacza Ŝe 4 4 ( ) 4 Twierdzeie JeŜeli a gdzie { } S( a oraz gdzie { } S( to graica ie istieje oraz ( ( ) ) Graica ie istieje Mamy tutaj D R \ { } Biorąc mamy { } S() oraz ( ) czyli alogiczie Zatem istieje mamy { } S() oraz ( ) czyli a więc a podstawie twierdzeia wioskujemy Ŝe graica ta ie Dotychczas mówiliśmy o graicy właściwej ukcji (tz właściwym (tz a R ) Teraz rozszerzymy to pojęcie S ( ) S ( ) S ( R ) w pukcie ( ) gdzie S( ) ( b) b R ( ) gdzie S ( ) ( b ) b R a ( )

3 S ( a ( ) ( ) PokaŜemy teraz Ŝe si ie istieje Rzeczywiście biorąc π mamy oraz ( 4 ) si π 0 0 Poadto przyjmując π mamy oraz 4 π ( ) si π si Zatem 0 co ozacza Ŝe graica ta ie istieje Wprowadzimy jeszcze pojęcie graic jedostroych Niech : S( R a R oraz S ( a ( ) a ( ) { } S ( Twierdzeie a Niech oraz a Łatwo sprawdzić Ŝe oraz a stąd moŝa a podstawie twierdzeia stwierdzić Ŝe ie istieje Twierdzeie JeŜeli i g( ) B to ( g( ) ) B ( g( ) ) B ( g( ) ) B 4 o ile B 0 a g( ) B

4 ( )( ) ( )( ) ( 5)( ) Twierdzeie 4 JeŜeli spełioe są waruki b b dla kaŝdego S( g( y) B to y b g( ) B 4 ( 4 ) ( 4 ) ( ) cos cos 0 Twierdzeie 5 JeŜeli g( ) h( ) dla kaŝdego S( h( to ) a a g( ) si Korzystając z tego twierdzeia moŝa pokazać Ŝe 0 si 5 si si 5 si Ciągłość ukcji Niech a R oraz : U ( R Deiicja Fukcję azywamy ciągłą w pukcie a jeŝeli (

5 Twierdzeie Fukcja jest ciągła w pukcie a wtedy i tylko wtedy gdy posiada ( posiada posiada 4 5 ( Zbadamy ciągłość ukcji w pukcie a 7 ) ( dla dla > Mamy kolejo: ( ) 7 5 (7 ) 5 Fukcja ie jest ciągła w pukcie a poiewaŝ Dobrać parametry p q R tak aby ukcja dla p q dla była ciągła w puktach a i a > Mamy dla puktu a : ( ) ( p q) p q Stąd aby ukcja była ciągła w pukcie a musi być spełioy waruek: p q alogiczie dla puktu a : ( ) ( p q) p q Stąd aby ukcja była ciągła w pukcie a musi być spełioy waruek: p q Rozwiązując układ rówań:

6 otrzymujemy p q p q p q 0 Twierdzeie JeŜeli ukcje i g są ciągłe w pukcie a to ukcje g ( 0 ) są ciągłe w pukcie a Twierdzeie JeŜeli ukcja jest ciągła w pukcie a ukcja g jest ciągła w pukcie b ( to ukcja go jest ciągła w pukcie a g g g g (o ile Twierdzeie 4 JeŜeli ukcja jest ciągła w pukcie a oraz posiada ukcję odwrotą ukcja odwrota jest ciągła w pukcie b ( to Deiicja Fukcja jest ciągła w zbiorze X jeŝeli jest ciągła w kaŝdym pukcie tego zbioru Twierdzeie 5 Fukcje elemetare są ciągłe w swoich dziedziach symptoty wykresu ukcji Niech c ozacza dowolą liczbę rzeczywistą r - dowolą liczbę dodatią - ukcję określoą dla S ( c; b) S ( c; c) S( c; Deiicja Prostą o rówaiu c azywamy asymptotą pioową lewostroą b) prawostroą c) obustroą krzywej o rówaiu y () jeŝeli albo c c c b) albo c c) jest jedocześie asymptotą lewostroą i prawostroą

7 0 Wykres ukcji ma asymptotę pioową lewostroa 0 poiewaŝ 0 symptota ta ie jest asymptotą pioową prawostroą gdyŝ 0 ie jest więc takŝe asymptotą pioową obustroą Prosta jest asymptotą pioową prawostroą wykresu ukcji log( ) poiewaŝ log( ) symptota ta ie jest asymptotą pioową lewostroą gdyŝ ukcja ie jest określoa w S ( ie jest więc takŝe asymptotą pioową obustroą Prosta jest asymptotą pioową obustroą wykresu ukcji gdyŝ oraz Niech a i b ozaczają dowole liczby rzeczywiste zaś ukcję określoą dla S( ) ( ; b) b) S( ) ( a; ) c) S( ) ( ; b) oraz S( ) ( a; ) Deiicja Prostą o rówaiu y m k azywamy asymptotą ukośą (pochyłą) gdy m 0 albo asymptotą poziomą gdy m 0 lewostroą b) prawostroą c) obustroą krzywej o rówaiu y () jeŝeli [ ( m k) ] 0 b) [ ( m k) ] 0 c) jest jedocześie asymptotą ukośą (poziomą) lewostroą i prawostroą Twierdzeie JeŜeli krzywa o rówaiu y () ma asymptotę ukośą (poziomą) o rówaiu y m k to m oraz k [ m] Graicę w powyŝszych wzorach aleŝy rozumieć dla w przypadku asymptoty lewostroej atomiast w przypadku asymptoty prawostroej poiewaŝ Wykres ukcji a asymptotę ukośą obustroą o rówaiu y

8 m k 0 gdyŝ Wykres ukcji ma asymptotę poziomą obustroą o rówaiu y m 0 k Dziedzią ukcji jest zbiór D ( ; ] [; ) Łatwo sprawdzić Ŝe ukcja to ma asymptotę ukośą lewostroą o rówaiu y oraz asymptotę ukośą prawostroą o rówaiu y