Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

Transkrypt

1 Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska

2 Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 } { 0} { } { 0 } Uzupełij w sposób miimaly rodziy ie będące ciałami do ciała.. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X={0} { {}{ }{ 0}{ 0 }{ 0}{ } { 0 } A = X. 3. Czy astępujące rodziy są σ -ciałami w przestrzei Ω =[03] R R = { [0](3]} X = { [0)[3]} X = R3 R R. Wypisz zbiory ależące do. R 3 4. Niech Ω = R. Podać przykład takich σ -ciał R żeby rodzia R 3 = R R była σ -ciałem w Ω. R 5. Rozważmy X=N oraz A rodzia wszystkich zbiorów skończoych lub o skończoych dopełieiach. Zbadaj czy A jest ciałem i czy jest σ -ciałem. 6. Niech X będzie dowolym zbiorem ieprzeliczalym oraz F rodzią taką że A F wtedy i tylko wtedy gdy A jest przeliczaly lub A jest przeliczaly. Zbadaj czy F jest σ -ciałem 7. Pokaż że w przestrzei skończoej każde ciało jest σ -ciałem.

3 8. Niech A będzie skończoą rodzią zbiorów { X... X } parami rozłączych oraz iech przestrzei X zawierające rodzię X X = X....Zajdź F ajmiejsze σ -ciało w A.Jaka jest liczebość σ -ciała F. 9. Zbadaj czy istieje σ -ciało o liczebości = Udowodij że dowole skończoe ciało (σ -ciało) zbiorów ma elemetów gdzie jest pewą liczbą aturalą.. Niech będzie liczbą aturalą. Skostruować przykład ciała zbiorów zawierającego a) X N b) X R elemetów jeżeli. Niech dae będą dwie przestrzeie X i Y oraz odwzorowaie f : X Y. Niech X. F będzie σ -ciałem a przestrzei Y a A σ -ciałem a przestrzei Zbadaj strukturę rodzi a) f ( F) b) f (A). 3. Zbadaj σ -ciało geerowae przez zbiory jedopuktowe gdy a) X jest skończoe lub przeliczale b) X jest ieprzeliczale. 4. Wykaż że a to aby rodzia F była ciałem w X F i dla każdego AB F był spełioy waruek: A\B F i A B F. X potrzeba i wystarcza by 3

4 5. Zbadaj graice dolą i górą astępujących ciągów zbiorów: a) A = [ ] 0 + b) B = ( ) c) C ( ) = 6. Pokaż że dla dowolego A mamy limifa limsupa. Podaj przykład rodziy A takiej że limifa limsupa. 4

5 Zbiory borelowskie 7. Udowodij że astępujące zbiory są borelowskie w R (t.z. ależą do B ( R) ) a) ( a) b) ( a] c) ( a + ) d) [ a+ ) e) zbiory jedopuktowe f) [ a b] g) N h) Q i) zbiór liczb iewymierych j) zbiór Catora 8. Wykaż że astępujące zbiory ależą do B ( R ) prosta zbiór jedopuktowy 9. Niech { f } będzie rodzią fukcji ciągłych a A = A B C są borelowskie w R { x R :lim f ( x) = } { x : f ( x) istieje} { x R lim f ( x) = a} a R B = R lim C = :. R. Zbadaj czy zbiory 5

6 Miara. Wykazać że µ 0 jest miarą a dowolym σ -ciele.. Niech ( X F ) przestrzeń z σ -ciełem i iech x 0 X sprawdź że µ ( A) µ określoa a F wzorem = 0 x A 0 x A jest miarą uormowaą Niech X { x x } F = µ Φ = 0 µ µ ( ) ({ x }) k X = ; ({ x... x }) k m =... i iech µ będzie odwzorowaiem określoym a o wartościach w = k =... m R + Wykaż że µ jest miarą skończoą. w astępujący sposób: 4. Niech X będzie zbiorem przeliczalym (ieskończoym) a µ określoe astępująco: µ = 0 µ µ ( ) ({ x }) k ({ x... x }) = k m k =... m = Sprawdzić czy µ jest miarą skończoą. 5. Niech A N. Połóżmy 0 A skoczoy A N ; µ ( A) = A ieskoczoy Pokaż że µ jest skończeie addytywą fukcją ale ie jest miarą. 6

7 6. Niech X będzie zbiorem ieskończoym F σ -ciałem a X µ ( A) A A skoczoy = A ieskoczoy c R. Pokaż że µ jest addytywą fukcją zbioru oraz że µ jest przeliczalie addytywą fukcją zbioru wtedy i tylko wtedy gdy X jest skończoy. µ A N określa miarę a σ -ciele wszystkich 7. Wzór ( A) = A podzbiorów zbioru N. Uzasadij że zbiór wartości miary µ pokrywa się z przedziałem [ 0]. Czy z ( ) ( ) tego że µ A = µ B wyika iż A = B. 8. Niech ( ) c będą daymi ciągami o wyrazach w N i R + odpowiedio. x ) ( Sprawdź że wzór: ( A) = µ c A R x A określa miarę a σ -ciele podzbiorów R. 9. Niech µ będzie miarą skończoą a przestrzei ( X M ). Pokażże jeżeli C M jest takim zbiorem iż ( C ) µ ( X ) dowolego A M µ = to ( A ) = µ ( A C) µ dla. Czy powyższe jest prawdziwe dla miary ieskończoej? 0. Niech µ będzie miarą skończoą a przestrzei ( M ) j =... mamy µ ( A j ) = µ ( X ) to µ A I j = µ ( X ). j= X oraz dla A j M. Wykaż że dla ( j ) j=... A gdzie dla każdego j mamy A j M zachodzi: a) µ lim if A limif µ ( A ) b)jeśli U A p to µ lim sup A limsup µ A µ ( ) 7

8 . Niech µ będzie ieujemą fukcją skończeie addytywą a σ -ciele M. Załóżmy poadto że dla każdego ciągu zstępującego ( A ) zbiorów z M takiego że I A mamy ciele M. = lim ( A ) = 0 µ. Wykaż że µ jest miarą a σ - 3. Wykaż że jeśli ( ) miarą a M. µ jest ciągiem miar a µ -ciele M to µ = µ jest 4. Niech µ będzie miarą określoą a σ -ciele M w przestrzei X = 3... X wszystkich zbiorów k = U X = φ k oraz iech X X. Wykaż że klasa M A X takich że A X M jest σ -ciałem a X fukcja µ określoa wzorem ( A) µ ( A ) µ = A M jest miarą a M. 5. Niech X [ a b] = M σ -ciało podzbiorów w X takie że { x} M. Niech µ będzie miarą skończoą taką że µ ({x} ) = µ ({ y} ) ( Q [ a b] ) = 0 µ. x y X x X. Wykaz że 6. Niech µ będzie miarą skończoą i j J rodzią zbiorów parami rozłączych. Wykaż że zbiór { j J : ( A ) 0} A j I µ jest przeliczaly. = j 7. Niech daa będzie przestrzeń z miarą ( Y Nν ) oraz odwzorowaie f : X Y. Ozaczmy M = { f ( B): B N} oraz dla każdego A M połóżmy ( A ) = if{ ν ( B ): B N A = f ( B)} µ. Wykaż iż ν jest miarą. 8. Niech Y będzie dowolym zbiorem zaś ( M µ ) iech fukcja ( ) ( B) = f ( B) X przestrzeią z miarą { } f : X Y oraz połóżmy N = B Y : f ( B) M. Określmy ν µ. Wykaż że ν jest miarą. 8

9 9. Niech ( X M µ ) będzie przestrzeią z miarą oraz iech M ' ozacza klasę wszystkich zbiorów A postaci A = B C gdzie B M a C jest podzbiorem pewego zbioru mierzalego D miary µ zero. Pokaż że: a) M ' jest σ -ciałem b) ': M ' R + µ określoe astępująco µ ( A ) = µ ( B) jest miarą zupełą. ' gdzie A = B C A B j.w. 0. Dla dowolej skończoej miary a σ -ciele M podzbiorów przestrzei X istieje taki rozkład X a dwa zbiory rozłącze i mierzale B i C ( X = B C; B C M ; B C = φ) że µ B jest bezatomowa zaś µ A jest czysto atomowa tz. każdy podzbiór mierzaly zbioru C miary dodatiej jest sumą skończoej lub przeliczalej liczby atomów.. Wykazać że jeżeli A B są atomami miary µ to B A też jest atomem miary µ.. * Wykaż że jeżeli µ jest miarą bezatomową i p x p ( A) p x R 0 µ to istieje B A taki że µ ( B ) = x. Wsk. Skorzystaj z lematu Kuratowskiego-Zor a. Miara zewętrza i miara Lebesgu a. Niech X będzie dowolą iepustą przestrzeią i iech dla A X : 9

10 µ * ( A) 0 = A = A Dowiedź że µ * jest miarą zewętrzą i wyzacz rodzię zbiorów µ * mierzalych.. Niech X będzie dowolą iepustą przestrzeią i iech dla A X : 0 A = µ *( A) = A i A X A = X Dowiedź że µ * jest miarą zewętrzą i wyzacz rodzię zbiorów µ * mierzalych. Wsk. Rozpatrz przypadki cardx = cardx 3. Niech X będzie dowolą iepustą przestrzeią i iech dla A X : 0 A = φ µ *( A) = A sk. i iepusty A iesk. Sprawdź czy µ * jest miarą zewętrzą i jeśli jest wyzacz rodzię zbiorów µ * mierzalych. 4. Niech X będzie dowolą iepustą przestrzeią i iech dla A X : 0 A sk.lub przelicz. µ *( A) = A ieprzelicz. Sprawdź czy µ * jest miarą zewętrzą i jeśli jest wyzacz rodzię zbiorów µ * mierzalych. 5. Niech X będzie dowolą iepustą przestrzeią oraz iech a X i iech dla każdego A X : 0 a A µ *( A) = a A Zbadaj czy µ * jest miarą zewętrzą i zajdź σ -ciało zbiorów µ * mierzalych. 0

11 6. Niech X będzie dowolą iepustą przestrzeią oraz iech a b X i iech dla każdego A X : 0 a A b A µ *( A) =. a A b A Zbadaj czy µ * jest miarą zewętrzą i zajdź σ -ciało zbiorów µ * mierzalych. 7. Niech X = N oraz dla dowolego A X : carda A sk. µ *( A) = + carda A iesk. Udowodij iż µ * jest miarą zewętrzą i wyzacz σ -ciało zbiorów µ * mierzalych. 8. Niech µ * będzie miarą zewętrzą w X oraz A prawdziwe jest zdaie: * ( ) (A) µ A µ * A. A ( A X ). Czy 9. Wykaż że jeżeli µ * jest miarą zewętrzą w X oraz A B X oraz µ *( B) = 0 to µ *( A B ) = µ * ( A B) = µ *( A). 0. Wykaż rówoważość waruków () i (): () µ * ( W Z ) = µ * ( W ) + µ *( Z ) W Z X W A Z X A ( ) * ( K ) = µ * ( K A) + µ * ( K A) K X µ.. * Niech µ będzie miarą a σ -ciele M w X. Dla każdego A X połóżmy ( A) = { ( B) : A B B M } µ * if µ.

12 Wykaż że jeżeli jeżeli A M to µ *( A ) = µ ( A) A B i ( B) = 0 µ * miara zewętrza µ to µ *( A) = 0 M M * gdzie M * rodzia wszystkich zbiorów spełiających waruek Caratheodory ego. Niech P będzie taką rodzią podzbiorów przestrzei X że φ P oraz dla dowolego A X istieją zbiory A A A3... P takie że U A A. Niech = τ będzie ieujemą mootoiczą fukcją a P taką że τ ( φ ) = 0 dla A X połóżmy µ ( A) = if τ ( A) A U A A = = * (ifimum bierzemy po wszystkich rodziach zbiorów że A Uwaga. U A = ). Pokaż że µ * jest miarą zewętrzą. Niech P rodzia wszystkich prostokątów w miarą Lebesgua. R zaś A P poadto A A... P takich 3 B P. Wtedy µ * jest 3. Wykaż że a) iloczy mogościowy przedziałów (prostokątów) k wymiarowych jest przedziałem (prostokątem) k wymiarowym. b) dopełieie przedziału (prostokąta) k wymiarowego jest sumą przedziałów (prostokątów) k wymiarowych. 4. Wykaż że miara Lebesgua jest iezmieicza ze względu a przesuięcie: k α R λ ( A) = λ( A α ).

13 U m P = 5. Jeżeli P gdzie P P P P... P prostokąty k wymiarowe P ograiczoe to zachodzi : m P = 3 m U m A = 6. Pokaż że jeżeli A oraz λ * ( A) λ * ( A ). = k A A A A... B( R ) 3 to 7. Wykaż że zbiór liczb wymierych ma w R miarę Lebesgua rówą 0. Policz miarę Lebesgua zbioru A = { x : x Q i 0 x } R. 8. Pokaż że prosta l ma w { x R y = a} a { x y R y = x} { x y R y = ax + b} a) ( y) l = : R b) l ( ) = : c) ( ) R miarę Lebesgua rówą 0. l = : a b R a b 0 a f Pokaż że wykres fukcji ciągłej określoej a R ma w rówą 0. R miarę Lebesgua 0. Pokaż że wykres fukcji ciągłej określoej a R (a przedziale ) ma w miarę Lebesgua rówą 0. R. Wykaż że zbiór A ma w a) A = {( x y) : y x Q} b) A ( x y) { : x + y = r gdzie Q} = r. R miarę Lebesgua rówą 0:. Wykaż iż dowoly zbiór miary zewętrzej Lebesgua 0 jest mierzaly względem miary Lebesgua. 3

14 3. Policz miarę Lebesgua w R zbioru Catora. 4. Policz z defiicji miarę Lebesgua zbioru: {( y) : 0 y 3x 0 x } x. 5. Wykaż że dla każdego A R λ -mierzalego takiego że. λ( ) p f ε dla każdego q takiego że 0 p q p p istiej B A B który jest λ - mierzaly i ( ) λ B = q. A = i A [ ] ( ) ( ) 6. Niech... 0 takie że λ A λ A f λ I k = A k A f 0.. Wykaż że 7. Czy istieje w przedziale [ a b] podzbiór właściwy domkięty o mierze Lebesgua rówej b a. Odpowiedź uzasadij. 8. Wykaż że istieją zbiory E E... takie że λ I Ek lim λ( E k ). k k = mierzale w sesie Lebesgue a 9. Wykaż że jeżeli R i x y Q. E ( E) f 0 λ to istieją takie pukty x y R że 30. Pokaż ze istieje zbiór iemierzaly w sesie Lebesgue a. Wsk. Zbadaj zbiór Vitaliego. 4

15 Fukcje mierzale. Wykaż że jeżeli f i g są mierzale to a) max(fg) jest mierzale b) mi(fg) jest mierzale. Wykaż że jeżeli f i g są mierzale i skończoe to a) f+g jest mierzale b) f g jest mierzale. 3. Wykaż że jeżeli f f... są mierzale to a) ( f ) sup jest mierzale b) ( f ) if jest mierzale. 4. Niech X = A A... A oraz A i M gdzie M σ-ciało. Przypuśćmy że dla każdego i=... f / A i jest fukcją mierzalą. Pokaż że f jest fukcją mierzalą. 5. Pokaż że jeśli f : X R jest mierzala to fukcja h : X R określoa astępująco: h ( x) ( x) też jest mierzala. f x A = A X 0 x X / A 3 6. Niech = ({[ ] [ ]}) X = [ 0] mierzale: M σ. Które z poiższych fukcji są M a) f () t = t t [ 0] b) g = χ 3 [ ] χ[ ] c) h = χ 3 [ ]? 4 4 5

16 7. Wskaż wszystkie fukcje mierzale względem astępujących σ - ciał: a) = ({ A A... }) M σ A ; gdzie A A... A staowią rozbicie przestrzei X (tz. U A i = X A A = i j ) i i j b) = σ-ciało geerowae przez wszystkie przeliczale M podzbiory przestrzei X c) M = { } 3 X d) M = ({ A }) A X 4 σ. 8. Pokaż że jeżeli f : ( X M ) R dowolego B B( R) f ( B) M jest. M -mierzale to dla 9. Pokaż że każda fukcja ciągła f : R R jest mierzala. ( ) R 0. Niech f : X M będzie fukcją mierzalą zaś borelowską. Wykaż że g o f jest M -mierzala. g : R R. Podaj przykład fukcji iemierzalych f g takich że: i. f - mierzale ii. f + g - mierzale.. Wykaż że jeżeli f jest fukcją mierzalą to f też jest fukcją mierzalą. 3. Niech f : R R. Pokaż że jeżeli h = exp f jest α - mierzale to f także jest α - mierzale. ( mierzale B B ( R) f ( B) α ( R) f jest α - ) 4. Pokaż że jeżeli f jest fukcją mierzalą to fukcja sgf też jest mierzala. 6

17 5. Niech A α dla R fukcja f jest mierzala? x połóżmy f ( x) = x χ ( x) x χ ( x) A A. Czy 6. Niech A M M σ -ciało. Pokaż że fukcje: a) χ A b) χ A c) aχ + bχ a b R a b A ie są mierzale. A 7. Wykaż że jeżeli ciąg ( f ) jest ciągiem fukcji mierzalych mających wspólą dziedzię limif f A i o wartościach w R to fukcje oraz limsup f są mierzale oraz zbiór { x A :istieje graica lim f R } też jest mierzaly. 8. Pokaż że przy założeiu że zbiór A R ie jest borelowski (p. iemierzaly) to zbiór {( x 0) x A} R (choć jest mierzaly miary zero). ie jest borelowski 9. Pokaż że jeżeli A B( R) to zbiór ( x y) borelowski. { : x y A} R jest 0. Wykaż że każdy ciąg fukcji zbieży według miary spełia waruek Cauchyego według miary. Waruek Cauchyego według miary dla ciągu ( : ({ > η} ) < ε f ) µ f ( x) f ( x) ε > 0η > 0 N 0 m > N 0 m. 7

18 µ µ. Niech f f g g f - wspólie ograiczoe przez M R f mierzale prawie wszystkie skończoe g f g określoe a ( A) < A µ. Pokaż że f g µ fg. 8

19 Całka Lebesgue a. Oblicz a podstawie defiicji całkę z fukcji prostej f a zbiorze E względem miary Lebesgue a λ : a) E = [ 0] f ( x) 0 = 3 [ ] b) E = f ( x) = 0 x 0 x = x x x x [ 0) {} 0 ( 0] [ ] [ ] c) E = f ( x y) = 0 [ 0 ) d) E = f x x + y + y ( x) = χ [ )( x) k k k + k = 0 4 f 4 [ 0 ] [ 0 ] ( x ) + ( y ) ( x ) + ( y ) e) E = f ( x y) = f. Niech będzie fukcją prostą a zbiorze f M -mierzalą a przestrzei ( M µ ) X która A M przyjmuje wartości { b...b m }. Podaj wzór a fdµ. 3. Niech day będzie zbiór przeliczaly K i iech µ będzie miarą a σ -ciele wszystkich podzbiorów zbioru K określoą wzorem: m A m elemetowy µ ( A) =. A iesk. A 9

20 Niech f będzie fukcją ieujemą określoą a zbiorze ( ) k sposób f k = b. Oblicz fdµ. k K K K w astępujący 4. Oblicz korzystając z defiicji ( ) a) xλ dx [ 0) b) ( dx) [ 0) xλ ( ) c) xλ dx [ 0) ( ) d) 3xλ dx. [ 0) f będzie fukcją mierzalą a R. Oblicz fλ ( dx) gdy 5. Niech : [ 0) R a) q x = Q f ( x) = p p 0 x Q b) x C f ( x) = x C c) x x C f ( x) = x x C d) x x C f ( x) =. 3x x C [ 0) 6. Oblicz całkę fλ dx gdy [ ) t t [ 0] f () t = t 0. t ( ) 0

21 [ 0] fλ ( ) : [ 0] R 7. Oblicz całkę d x gdzie fukcja f przyjmuje wartość N a zbiorach o długości wyrzucoych przy kostrukcji zbioru 3 Catora oraz przyjmuje dowole wartości dodatie a zbiorze Catora. X ({}) 8. Niech = N oraz µ =. Oblicz fdµ. N X 9. Zbadaj całkowalość fukcji f : R R względem miary Lebesgue a f () t = 4 gdzie = 3... t t [ + ) [ + + ) 0. Niech f () t = t 0 przedziale [ ]. t 0 t = 0. Zbadaj czy fukcja f jest całkowala a. Pokaż że jeżeli : ( X M µ ) R µ ({ x : f ( x) f } ) = 0. lim f jest całkowala to ( f ) ( M µ ) N. Niech ciąg fukcji określoych a X spełia waruek f dµ M p M R = Pokaż że jeżeli szereg A = a a R = 3... jest bezwzględie zbieży to szereg fukcyjy = a f jest prawie pewie zbieży bezwzględie. 3. Niech f będzie fukcją całkowalą a zbiorze A względem miary µ. Ozaczmy ( ε ) = ( ) S εµ = ( ) Pokaż że lim S ε = fdµ. ε 0 A A gdzie A { p : ε f ( p) p ( + ) ε} = A.

22