Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Transkrypt

1 Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODOŚCI PEARSOA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: a stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz alulacyjy do programu Calc paietu Ope Office, iezbędy podczas ćwiczeń rachuowych. Test służy do testowaia hipotez. Wyorzystyway jest przy oceiaiu zgodości uzysaych daych doświadczalych z założoym modelem lub rozładem teoretyczym.. Sposób postępowaia przy wyoywaiu testu Pearsoa zgodości modelu wyrażoego zależością matematyczą f(x; a, a,, a m ), gdzie {a j } to zbiór parametrów, z daymi zadaymi w postaci zestawu wartości (x i, y i ± i ) zmieej iezależej x i i zmieej zależej y i wraz z wartościami i dyspersji wielości y i : ustalamy dopuszczale prawdopodobieństwo odrzuceia prawdziwej hipotezy (błędu pierwszego rodzaju); a podstawie zaobserwowaych wyiów wyzaczamy te z parametrów {a j } zależości matematyczej, tóre ie są zadae jao część testowaej hipotezy; ustalamy liczbę stopi swobody = m, gdzie jest liczbą par daych (x i, y i ± i ), zaś m liczbą parametrów w zależości matematyczej, tórych wartości zostały wyzaczoe a podstawie zaobserwowaych wyiów; odczytujemy wartość rytyczą χ r ( α,ν) odpowiadającą zadaemu prawdopodobieństwu i liczbie stopi swobody (patrz Tabela 5 w DODATKU a ońcu Istrucji); obliczamy wartość: ( yi f ( xi ;{ a j})) χ ; σ porówujemy uzysaą wartość χ r i i χ z wartością χ r ( α,ν) odczytaą z Tabeli 5 jeśli spełioy jest warue: χ > ( α,ν), to odrzucamy testowaą hipotezę jao iezgodą z obserwacjami. W przeciwym przypadu ie uważamy, że udowodiliśmy słuszość hipotezy lecz jedyie godzimy się z ią, jao iesprzeczą z obserwowaymi daymi.. Sposób postępowaia przy wyoywaiu testu Pearsoa zgodości rozładu modelowego z rozładem doświadczalym: ustalamy dopuszczale prawdopodobieństwo odrzuceia prawdziwej hipotezy (błędu pierwszego rodzaju); a podstawie zaobserwowaych wyiów wyzaczamy parametry modelowego rozładu, jeśli ie są oe zadae jao część testowaej hipotezy; dzielimy cały (teoretyczy) zares wartości zmieej losowej a przedziałów (ieoieczie tej samej długości porówaj z Tabelą 3 ) ta, aby liczba oczeiwaych wyiów w ażdym z przedziałów była ie miejsza iż 5 (w pratyce zadowalamy się zaobserwowaą liczbą daych w przedziale ie miejszą iż 5); ustalamy liczbę stopi swobody = m, gdzie jest liczbą przedziałów, zaś m liczbą parametrów, tórych wartości zostały wyzaczoe a podstawie zaobserwowaych wyiów;

2 wyzaczamy wartość rytyczą χ r ( α,ν) odpowiadającą zadaemu prawdopodobieństwu i liczbie stopi swobody (patrz Tabela 5 w DODATKU a ońcu Istrucji); a podstawie modelu i obliczoych bądź zadaych wartości parametrów, obliczamy prawdopodobieństwo p zalezieia wartości zmieej losowej w przedziale o umerze ; obliczamy oczeiwaą liczbę = p daych w przedziale o umerze, gdzie jest liczbą wszystich daych; obliczamy wartość: ( p ) χ ; p porówujemy uzysaą wartość χ r χ z wartością χ r ( α,ν) odczytaą z Tabeli 5 jeśli spełioy jest warue: χ > ( α,ν), to odrzucamy testowaą hipotezę jao iezgodą z obserwacjami. W przeciwym przypadu ie uważamy, że udowodiliśmy słuszość hipotezy lecz jedyie godzimy się z ią, jao iesprzeczą z obserwowaymi daymi. Uwaga: jeśli dyspoujemy oprogramowaiem, tóre umożliwia wyzaczaie całe rozładów prawdopodobieństwa, lepiej jest w miejsce wartości rytyczej, podawać tzw. wartość p testu, czyli prawdopodobieństwo p, że zmiea u = przyjmie wartość więszą iż wartość χ uzysaa z daych: gdzie χ p : P( u χ ) f ( u du, u fv ( u) u exp( ), v v Γ( ) to rozład zmieej o stopiach swobody. Podejście to ie zwalia Cię z obowiązu podjęcia decyzji co do zgodości wybraego modelu z daymi, a dostarcza więszej ilości iformacji czyteliowi, umożliwiając mu ieiedy, wyrażeie własej opiii (ja rówież pozwala mu zorietować się w jaości i rygoryzmie Twych decyzji). Symbol we wzorze powyżej ozacza fucję gamma Eulera, zdefiiowaą za pomocą całi Γ( z) x z x Tabela 6 zamieszczoa w DODATKU a ońcu Istrucji zawiera wartości prawdopodobieństwa P( χ~ χ~ ), dla wybraych wartości i χ~, gdzie χ~ i χ to zreduowae wartości χ i χ, rówe odpowiedio e dx. χ ν v i v ) χ. ν TEST PEARSOA JAKOŚCI DOPASOWAIA PROSTEJ DO DAYCH Zadaie Studet badając drgaia wahadła, wyzaczył czas trwaia oresu dla ilu różych jego długości. Ja wiadomo, dla małych wychyleń, ores drgań T wahadła o długości L wyosi T π L g

3 zaś g to przyspieszeie ziemsie. Jeśli wprowadzimy wielości: H wysoość putu zawieszeia wahadła ad podłogą oraz h wysoość środa ciężości wahadła a podłogą, to: 4π T ( H h) b ah g Swoje dae pomiarowe studet wyorzystał do wyzaczeia, za pomocą metody ajmiejszych wadratów, wysoości putu zawieszeia wahadła ad podłogą. Uzysae przez iego dae, ich iepewości oraz ocey parametrów a oraz b liii prostej y = ax + b zawiera Tabela. a) Przeprowadź test Pearsoa jaości dopasowaia prostej do daych uzysaych przez studeta. b) Odwołując się do omialej wartości g = 9,83 m/s przyspieszeia ziemsiego w lewobrzeżej Warszawie, wyzacz oceę wysoości H putu zaczepieia uli ad podłogą wraz z iepewością tej ocey. c) Sorzystaj z oce wartości parametrów liii prostej i podaj swoją oceę wartości przyspieszeia ziemsiego w Warszawie oraz iepewość tej ocey, jaie wyiają z przeprowadzoego esperymetu. Tabela wielość pomiar 3 4 x i [m] (x = h),4,69,4,7 y i [s ] (y = T ),7678 9,59 6,4 4,987 u i [s ],84,735,5893,534 / u i wyii 56,8,3 87,95 364,97 a s a 4,34,59 b s b,936,68 ( yi axi b ) / ui χ = = P( χ ) PORÓWAIE GRAFICZE ROZKŁADU MODELOWEGO I DOŚWIADCZALEGO Zadaie Załadając, że wyii pomiarów oresu drgań wahadła T moża opisać rozładem Gaussa ( T μ) G ( T; μ, σ) exp σ, < T <, σ z wartościami parametrów µ = T = 3,448 s oraz = s T =,456 s, obliczoymi dla idywidualych daych, aszicuj te rozład a histogramach gęstości i liczebości 3

4 (poiżej). Sorzystaj z Tabeli. Porówaj przybliżoe wartości oczeiwaej liczby wyiów w -tym przedziale z doładymi wartościami. Przypomiamy wzór służący do wyzaczeia oczeiwaej liczby pomiarów w przedziale: T Δ p P( T T T Δ) G( T;μ,σ) dt, gdzie jest szeroością przedziału histogramowaia, a liczbą wszystich pomiarów. ajprostsza, i przybliżoa, metoda obliczeia całi polega a zastąpieiu jej wyrażeiem G( T ] ; μ, ), oreślającym pole powierzchi prostoąta o wysoości ( T ] ; μ, ) [ σ i podstawie, gdzie T [ ] wyzacza środe przedziału histogramowaia, a wtedy G( T ] ; μ, ) T [ σ. G [ σ Jeśli chcemy wyzaczyć całę doładie, wprowadzamy ową zmieą całowaia T μ z, σ zwaą stadaryzowaą i wartość wyzaczamy za pomocą: gdzie z P z ( z z z z T μ, σ ) dz ( F( z ) F( z )), T μ x z, F( z) dx σ exp. Wartości przydatych całe F(z) rozładu Gaussa zajdują się w Tabeli 7, zamieszczoej w DODATKU a ońcu Istrucji. Fucję, tórą tu całujemy z ( z ) exp, azywamy stadaryzowaym rozładem Gaussa. Tabela z * * jest zaobserwowaą liczbą daych w -tym przedziale 4

5 5

6 TEST ZGODOŚCI PEARSOA ROZKŁADU MODELOWEGO I DOŚWIADCZALEGO Zadaie 3 Przyjmując, że wyii T i pomiaru oresu drgań wahadła podlegają rozładowi Gaussa, przeprowadź test Persoa zgodości tego modelu z daymi doświadczalymi. Sorzystaj z całe rozładu Gaussa (Tabela 7, DODATEK) oraz z Tabeli 3 poiżej. Tabela 3 OCEIAIE PARAMETRÓW ROZKŁADU A PODSTAWIE HISTOGRAMU Zadaie 4 (jeśli pozostaie czas) ieiedy zdarza się, że ie dyspoujemy idywidualymi wartościami wielości zmierzoych, a jedyie zbiorczymi wyiami, iedy to dae pogrupowae są w lasy. Tabela 4 podaje dae (uzysae przez autorów istrucji), tóre posłużyły do wyreśleia histogramu liczebości oresów drgań wahadła, uazaego a rysuu do zadaia. Uzupełij tę tabelę i wyzacz ocey wartości średiej i iepewości stadardowej pojedyczego pomiaru. Tabela 4 6

7 Zwracamy uwagę, że: T i Ti T [ ] T ~, s T ( T T ) ( T[ ] T ~ ) i, i ~ s gdzie T i ozacza wyi i-tego idywidualego pomiaru oresu, jest liczbą przedziałów histogramu,, =,,...,, to liczebości daych w ażdym z przedziałów, jest liczbą wszystich daych (sumą liczebości ), zaś T [ ] to pozycje środów przedziałów. Porówaj uzysae wartości T ~ oraz s~ T z wartościami T = 3,448 s oraz s T =,456 s uzysaymi dla idywidualych wyiów pomiarów. DODATEK A. WARTOŚCI KRYTYCZE ROZKŁADU Tabela poiżej podaje wartości rytycze χ r ( α,ν) zmieej dla ietórych wartości ryzya błędu pierwszego rodzaju oraz liczb stopi swobody. Tabela 5 T, 7

8 B. PRAWDOPODOBIEŃSTWA DLA TESTU Tabela poiżej podaje wartości prawdopodobieństwa P( χ~ χ~ ) (w procetach), otrzymaia w doświadczeiu o stopiach swobody, wartości zmieej χ~ więszej iż wartość χ~ uzysaa z daych. Puste miejsca ozaczają wartości prawdopodobieństwa miejsze od,5%. Tabela 6 χ~ 8

9 C. CAŁKI ROZKŁADU GAUSSA. Tabela poiżej podaje wartość całi stadaryzowaego rozładu Gaussa z x F( z) P( x z) exp dx, z>. Z uwagi a symetrię rozładu, wartość całi dla ujemych wartości argumetu moża wyzaczyć ze związu F( z) = F(z). Tabela 7 9