1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Transkrypt

1 1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae są fukcje proste f, f : R +, = 1, 2,... oraz f f, to lim f (x)dµ = f(x)dµ. Twierdzeie 1.2. Jeżeli dae są dwa ciągi fukcji prostych f, g : R + takie, że 1. f i g są fukcjami iemalejącymi, 2. f f oraz g f, gdzie f : R + jest daą fukcją (iekoieczie fukcją prostą), to lim f (x)dµ = lim g (x)dµ. Twierdzeie 1.3 (Lebesgue a). Niech f : R będzie daym ciągiem fukcji mierzalych. Wtedy: 1. Jeżeli f jest ciągiem iemalejącym fukcji całkowalych,to lim f (x)dµ = (lim f )(x)dµ. 2. Jeżeli f jest ciągiem ierosącym fukcji całkowalych, to lim f (x)dµ = (lim f )(x)dµ. Lemat 1.4 (Fatou). Dla dowolego ciągu fukcji mierzalych ieujemych f : R + zachodzi ierówość: lim if f (x)dµ (lim if f )(x)dµ. Twierdzeie 1.5 (Lebesgue a o zmajoryzowaym przechodzeiu do graicy pod zakiem całki). Jeżeli f : R jest ciągiem fukcji mierzalych zbieżym puktowo do fukcji f : R oraz dla każdego i każdego x zachodzi f (x) g(x), gdzie g : R jest fukcją całkowalą, to lim f (x)dµ = (lim f )(x)dµ Twierdzeie 1.6 (o jedostajym przechodzeiu do graicy pod zakiem całki). Jeżeli f : R jest ciągiem fukcji całkowalych jedostajie zbieżym do fukcji f : R oraz jeżeli µ() < +, to lim f (x)dµ = (lim f )(x)dµ 1

2 Twierdzeie 1.7 (o całkowaiu szeregów ieujemych). Niech f : R + będzie ciągiem fukcji mierzalych. Jeżeli szereg f jest puktowo zbieży a, to ( f )(x)dµ = f (x)dµ =1 =1 Twierdzeie 1.8 (Kryterium całkowe zbieżości szeregów fukcyjych). Jeżeli day jest ciąg fukcji całkowalych f : R taki, że f (x)dµ jest zbieży, to szereg f (x)dµ jest zbieży oraz =1 ( f )(x)dµ = f (x)dµ =1 =1 =1 2 Zmiee losowe, wektory losowe i ich charakterystyki (p. wartości oczekiwae, wariacje, rozkłady) Jeżeli f : Ω 1 Ω 2 jest odwzorowaiem mierzalym, to ozaczamy je f : (Ω 1, F 1 ) (Ω 2, F 2 ), gdzie F 1 (F 2 ) jest σ-ciałem zbiorów mierzalych a Ω 1 (Ω 2 ). Defiicja 2.1. Przestrzeią probabilistyczą azywamy układ trzech elemetów (Ω, F, P ), gdzie: 1. Ω jest pewym zbiorem, zwaym przestrzeią zdarzeń elemetarych, 2. F jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Elemety tego σ-ciała azywae są zdarzeiami, 3. P : F [0, 1] jest miarą probabilistyczą, to zaczy (a) P (A) 0 dla każdego A F, (b) P (Ω) = 1, ( ) (c) jeżeli zbiory A 1, A 2,... F są parami rozłącze, to P A i = P (A i). W dalszym ciągu będziemy zakładać, że daa jest przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Zdefiiujmy odwzorowaie charakterystycze zbioru A Ω: χ A : Ω R wzorem: { 1, gdy x A χ A (x) = 0, gdy x / A Defiicja 2.2. Niech X będzie przestrzeią topologiczą. σ-ciałem zbiorów borelowskich azywamy ajmiejsze σ-ciało a X zawierające zbiory otwarte. Defiicja 2.3. Zmieą losową a przestrzei (Ω, F, P ) azywamy dowolą fukcję mierzalą X : (Ω, F) (R, B), gdzie B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich a R. Uwaga 2.1. Zauważmy, że: 1. X : Ω R jest zmieą losową wtedy i tylko wtedy, gdy a R {ω Ω : X(ω) a} F 2. X jest prostą zmieą losową (to zaczy przyjmującą skończeie wiele wartości) wtedy i tylko wtedy, gdy X = a iχ Ai, gdzie a 1,..., a R, A 1,..., A F oraz A i A j = dla i j. 3. Jeżeli X jest zmieą losową oraz ϕ: (R, B) (R, B), to ϕ(x) jest także zmieą losową. 2

3 4. Jeżeli X jest zmieą losową to przez σ(x) ozaczamy σ-ciało geerowae przez zmieą losową X, to zaczy: σ(x) = {X 1 (B) : B B} = X 1 (B) Defiicja 2.4. Zdefiiujmy: 1. Rozkładem prawdopodobieństwa a R azywamy każdą miarę probabilistyczą µ a (R, B). 2. Rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej X azywamy rozkład prawdopodobieństwa P X a (R, B) określoy wzorem: B B P X (B) = P (X 1 (B)) = P ({ω Ω : X(ω) B}) Defiicja 2.5. d-wymiarowym wektorem losowym a (Ω, F, P ) azywamy odwzorowaie mierzale X = (X 1,..., X d ): (Ω, F) (R d, B d ), gdzie B d jest σ-ciałem zbiorów borelowskich a R d. Uwaga 2.2. X jest wektorem losowym a (Ω, F, P ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i {1,... d} X i jest zmieą losową a (Ω, F, P ). Defiicja 2.6. Zdefiiujmy: 1. Rozkładem prawdopodobieństwa a R d azywamy każdą miarę probabilistyczą µ a (R d, B d ). 2. Rozkładem prawdopodobieństwa wektora losowego X azywamy rozkład prawdopodobieństwa P X a (R d, B d ) określoy wzorem: Defiicja 2.7. Niech d {1, 2,...}. B B d P X (B) = P (X 1 (B)) = P ({ω Ω : X(ω) B}) = P (X B) 1. Dystrybuatą rozkładu µ a R d azywamy fukcję F µ : R d [0, 1] daą wzorem: d F µ (a 1,..., a d ) = µ( (, a i ]) dla a 1,..., a d R. 2. Dystrybuatą wektora losowego X = (X 1,..., X d ) azywamy dystrybuatę jego rozkładu P X i ozaczamy F X lub F (X1,...,X d ): F X (a 1,..., a d ) = P (X d (, a i ]) = P (X 1 a 1,..., X d a d ) Uwaga 2.3. Dystrybuata wyzacza rozkład, to zaczy, jeżeli µ, ν są rozkładami prawdopodobieństwa a R oraz F µ = F ν, to µ = ν. Twierdzeie 2.4 (Własości dystrybuaty). Dystrybuata F µ ma astępujące własości: 1. F µ jest fukcją iemalejącą, 2. F µ jest prawostroie ciągła, 3. lim a F µ (a) = 0 oraz lim a + F µ (a) = 1. Defiicja 2.8. Niech X będzie wektorem losowym. Wówczas: 1. X ma rozkład dyskrety, jeżeli istieją wektory X 1, X 2,... R d oraz liczby p 1, p 2,... R +, i 1 p i = 1 takie, że P (X = x i ) = p i dla i = 1, 2,... 3

4 2. X ma rozkład absolutie ciągły z gęstością p(x), gdzie p: R d R +, R d p(x)dx = 1, jeżeli: B B dp X (B) = P (X B) = B p(x)dx 3. X ma rozkład osobliwy, jeżeli istieje zbiór B R d o mierze Lebesgue a zerowej, to zaczy l d (B) = 0 taki, że P X (B) = P (X B) = 1 oraz X ma rozkład ciągły, to zaczy x R d P (X = x) = 0 Ozaczmy: gdzie p > 0 Defiicja 2.9. Zdefiiujmy: L 1 (Ω, F, P ) = {X : X dp < } L p (Ω, F, P ) = {X : X p dp < }, 1. Dla X L 1 (Ω, F, P ) jej wartością oczekiwaą azywamy liczbę EX = XdP 2. Dla X L 2 (Ω, F, P ) jej wariacją azywamy liczbę: Ω Ω Ω D 2 (X) = E(X EX) 2 3. Dla X L p (Ω, F, P ), p > 0 jej elemetem absolutym rzędu p azywamy liczbę m p = E X p. 4. Dla X, Y L 2 (Ω, F, P ) ich kowariacją azywamy liczbę: cov(x, Y ) = E(X EX)(Y EY ) 5. Dla X L 2 (Ω, F, P ) jej odchyleiem stadardowym azywamy liczbę D(X) = D 2 (X) Twierdzeie 2.5. Niech X, Y L 2 (Ω, F, P ) 1. D 2 (X) = EX 2 (EX) 2, 2. c R D 2 (cx) = c 2 D 2 (X), 3. c R D 2 (X + c) = D 2 (X), 4. D 2 (X) = 0 P (X = EX) = 1, 5. cov(x, X) = D 2 (X), 6. D(X + Y ) D(X) + D(Y ) 7. D 2 (X ± Y ) = D 2 (X) + D 2 (Y ) ± 2cov(X, Y ) Defiicja Niech X = (X 1,..., X d ) będzie wektorem losowym. Wówczas: 1. Wartością oczekiwaą wektora losowego azywamy wektor EX = (EX 1,..., EX d ), o ile wszystkie współrzęde mają wartością oczekiwaą. 4

5 2. Macierzą kowariacji wektora X azywamy macierz: to zaczy ov(x) = [cov(x i, X j )], gdzie i, j {1,... d}, ov(x) ij = cov(x i, X j ) = E(X i EX i )(X j EX j ) dla i, j {1, 2,..., d}, o ile wszystkie cov(x i, X j ) są dobrze określoe. 3. Wariacją wektora X azywamy ślad macierzy ov(x), to zaczy: gdzie X = D 2 (X) = d cov(x i, X i ) = X2 i D 2 (X i ) = E( (X i EX i )) = E X EX 2, Jeżeli X jest zmieą losową a Ω o rozkładzie dyskretym z fukcją prawdopodobieństwa P, to EX = Jeżeli X ma rozkład ciągły z gęstością f, to: ω i P (X = ω i ) EX = + xf(x)dx 3 Niezależość zmieych losowych (oraz zdarzeń i rodzi zdarzeń). Schemat Beroullego. Defiicja 3.1. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzeią probabilistyczą oraz iech A 1,..., A d F będą zdarzeiami. Zdarzeia A 1,..., A d azwiemy iezależymi, jeżeli P (A 1... A d ) = P (A 1 )... P (A d ). Jeżeli {A i } i I F jest rodzią zdarzeń, to powiemy, że jest oa iezależa, jeżeli dowola skończoa podrodzia jest iezależa, to zaczy: dla dowolego układu {i 1,... i k } I zmiee losowe A i1,... A ik są iezależe. Uwaga 3.1. Jeżeli zdarzeia A 1,..., A d F są iezależe, to oczywiście każda para zdarzeń jest iezależa. W drugą stroę wyikaie ie jest prawdziwe. Defiicja 3.2. Zdefiiujmy: 1. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X d określoe a przestrzei probabilistyczej (Ω, F, P ) azywamy iezależymi, jeżeli dla dowolych zbiorów borelowskich B 1,..., B d B mamy: P (X 1 B 1,... X d B d ) = P (X 1 B 1 )... P (X d B d ) 2. Zmiee losowe {X i } i I tworzą rodzię iezależych zmieych losowych, jeżeli każdy ich skończoy podzbiór składa się z iezależych zmieych losowych. Uwaga 3.2. Jeżeli {X i } i I tworzy rodzię iezależych zmieych losowych, to dla I 0 I mamy, że {X i } i I0 rówież tworzy rodzię iezależych zmieych losowych. Defiicja 3.3. Zdefiiujmy: 5

6 1. Rozkładem łączym zmieych losowych X 1,... X d azywamy rozkład wektora losowego X = (X 1,... X d ). Ozaczamy go symbolem P (X1,...,X d ). 2. Rozkładami brzegowymi wektora X = (X 1,... X d ) azywamy rozkłady jego współrzędych X 1,... X d. Twierdzeie 3.3. Niech X 1,... X d będą zmieymi losowymi a przestrzei (Ω, F, P ). Następujące waruki są rówoważe: 1. Zmiee losowe są iezależe 2. P (X1,...,X d ) = P X1... P Xd 3. Dla wszystkich a 1,... a d R mamy: F (X1,...,X d )(a 1,... a d ) = F X1 (a 1 )... F Xd (a d ) Wiosek 3.4. Zmiee losowe o rozkładach dyskretych X 1,... X d są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych y 1,..., y d R takich, że P (X i = y i ) > 0 dla i {1, 2,..., d} zachodzi waruek: P (X 1 = y 1,..., X d = y d ) = P (X 1 = y 1 )... P (X d = y d ) Twierdzeie 3.5. Niech A 1,... A d będą zdarzeiami a (Ω, F, P ). Zmiee losowe χ A1,..., χ Ad są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzeia A 1,... A d są iezależe. Fukcja p jest gęstością rozkładu P (X1,...,X d ), jeżeli dla każdego B B d zachodzi: P ((X 1,..., X d ) B) = p(x)dx. Twierdzeie 3.6. Jeżeli X 1,... X d są zmieymi losowymi o rozkładach ciągłych z gęstościami odpowiedio p 1 (x),... p d (x), to zmiee te są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy P (X1,...,X d ) jest rozkładem absolutie ciągłym z gęstością p(x) = p 1 (x 1 )... p d (x d ) Defiicja 3.4. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzeią probabilistyczą. 1. σ-ciała F 1,..., F d F azywamy iezależymi, jeśli P (A 1... A d ) = P (A 1 )... P (A d ) dla dowolych A 1 F 1,..., A d F d. 2. σ-ciała {F i } i I tworzą rodzię iezależych σ-ciał, jeżeli każdy ich skończoy podzbiór składa się z iezależych σ-ciał. Twierdzeie 3.7. Dla zmieych losowych X 1,..., X d a (Ω, F, P ) astępujące waruki są rówoważe: 1. X 1,..., X d sa iezależe. 2. σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x d ) są iezależe. 3. Dla dowolych fukcji borelowskich f 1,..., f d : (R, B) (R, B) zmiee losowe f 1 (X 1 ),... f d (X d ) są iezależe. Twierdzeie 3.8. Jeżeli X, Y są iezależymi zmieymi losowymi całkowalymi, to zaczy X, Y L 1 (Ω, F, P ), to: 1. XY L 1 (Ω, F, P ), 2. E(XY ) = EXEY. Wiosek 3.9. Jeżeli X, Y są iezależymi zmieymi losowymi, a f 1,... f d : (R, B) (R, B) fukcjami borelowskimi takimi, że E f i (X i ) < + dla i {1,... d}, to f 1 (X 1 )... f d (X d ) jest całkowalą zmieą losową oraz: E(f 1 (X 1 )... f d (X d )) = Ef 1 (X 1 )... Ef d (X d ) B 6

7 Defiicja 3.5. Mówimy, że zmiee losowe {X i } i I są ieskorelowae, jeżeli dla wszystkich i, j I, i j mamy: cov(x i, X j ) = 0. Jeżeli zmiee losowe są iezależe, to są ieskorelowae. Twierdzeie Jeżeli X 1,..., X d są ieskorelowaymi zmieymi losowymi, to D 2 ( X i ) = D 2 (X i ) Schematem Beroulliego azywamy skończoy ciąg iezależych powtórzeń tego samego doświadczeia o dwóch możliwych wyikach azywaych sukcesem i porażką. W schemacie Beroullego: 1. Poszczególe doświadczeia wykoywae są iezależie. 2. Wyikiem doświadczeia jest sukces (symboliczie 1) lub porażka (symboliczie 0). 3. Prawdopodobieństwo sukcesu jest dla każdej próby takie samo i wyosi p (0, 1) oraz prawdopodobieństwo porażki wyosi 1 p. Przestrzeń probabilistycza odpowiadająca temu schematowi: Ω = {(ω 1,..., ω ) : ω i {0, 1}, i = 1,..., } F = 2 Ω ω i P ((ω 1,..., ω )) = p (1 p) ω i Twierdzeie Prawdopodobieństwo pojawieia się dokładie k sukcesów w schemacie prób Beroullego, z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedyczej próbie rówym p, wyosi ( k) p k (1 p) k. Jeżeli S jest zmieą losową, która opisuje to prawdopodobieństwo, to: 1. ES = p 2. D 2 (S ) = p(1 p) 7