AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

Transkrypt

1 AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/ 1 1 Zaleźć wszystkie pukty skupieia zbioru a Q b zbioru C złożoego ze wszystkih tyh puktów przedziału [0, 1], które moża zapisać w układzie trójkowym bez użyia yfry 1 Czy te zbiór zawiera jakiś przedział? Nieh Q( 2) {+y 2 :, y Q} Zaleźć wszystkie pukty skupieia zbioru Q( 2) d Nieh Z( 2) {+y 2 :, y Z} Zaleźć wszystkie pukty skupieia zbioru Z( 2) Uwaga Zbiór C zdefiioway w tym zadaiu zway jest zbiorem Catora 2 Udowodić, że dla każdego parzystego k istieje taka lizba < 0, że 3 Zaleźć lim Zaleźć lim i lim (1+)(1+2)(1+3) 1 5 Zaleźć lim 0 (1++ 6 Zaleźć lim 2 )(13+)( ) (2+271) 10 (1+)(6+)(11+)(17+)(24+) 7 Zaleźć lim ( 2 ++1) 3 e < ! + + k k! (1+)(6+)(11+)(17+)(24+)(31+) 8 Zaleźć lim ( 2 ++1) 3 9 Zaleźć lim Zaleźć lim Zaleźć lim ( 12 Zaleźć lim m ) 1 1 m 1, tu m, N Zaleźć lim Zaleźć lim Zaleźć lim Zaleźć lim

2 17 Zaleźć lim 0 18 Zaleźć lim 64 (1+) k 1, tu k, N Zaleźć lim Zaleźć lim Zaleźć lim Zaleźć lim 0 23 Zaleźć lim (1 24 Zaleźć lim )(1 3 )(1 4 ) (1 57 ) 1 (1 ) Zaleźć lim 3 ( 3 ( + 1) 2 3 ( 1) 2 ) ( 26 Zaleźć lim 2 1 ) +(+ 2 1 ), tu N 27 Zaleźć lim 0 1 b+ 28 Zaleźć lim b 2 4a b, lim b 2 4a, 0 b R, R a 0 2a a 0 2a 29 Dowieść, że jeśli stopień wielomiau w jest dodati i parzysty, to lim w() lim w() 30 Wykazać, że jeśli stopień wielomiau w jest ieparzysty, to graie lim w() i lim sa ieskońzoe i zahodzi rówość lim w() lim w() w() 31 Podać przykład takih dwu fukji f : R R i g : R R, że lim f() 0 i lim g() oraz 0 (a) lim f() + g() 0, (b) lim f() + g() 13, 0 0 () lim f() + g(), 0 (e) lim f() + g() ie istieje 0 (d) lim 0 f() + g(), 32 Podać przykład takih dwu fukji f : R R i g : R R, że lim f() 0 i lim g() 0 oraz 0 (a) lim f() g() 0, (b) lim f() g() 13, 0 0 () lim f() g(), 0 (e) lim f() g() ie istieje 0 (d) lim 0 f() g(), 2

3 33 Dowieść, że jeśli, {0, 2} dla każdego N i ( ) Nieh f , to Dowieść, że fukja f zdefiiowaa w zbiorze Catora C jest iagła w każdym dziedziy i przekształa zbiór Catora a przedział domkiety [0, 1] 34 Dowieść, że każda fukja iagła g : [0, 1] C jest stała 35 Dowieść, że jeśli a R \ Q, to każda lizba z przedziału [0, 1] jest puktem skupieia zbioru {a a : N} 36 Zbiór wyrazów {a : N} iagu (a ) jest ieskońzoy Dowieść, że iag (a ) ma graie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {a : N} ma dokładie jede pukt skupieia 37 Zdefiiować taka fukje a: N N R, że: (i) dla każdego k N istieja graie lim a(, k) i lim a(k, ); (ii) istieja graie lim lim a(, k) i lim lim a(, k); k k (iii) lim k lim a(, k) lim lim k a(, k) 38 Dowieść, że każda ieujema lizba rzezywista jest puktem skupieia zbioru kwadratów wszystkih lizb wymieryh 39 Dowieść, że jeśli każda fukja iagła f : A R ma własość przyjmowaia wartośi pośredih, tz jeśli lizba C zajduje sie miedzy lizbami f() i f(y), to istieje takie A (, y), że C f(), to zbiór A jest przedziałem Defiija Mówimy, że fukja f : P R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego P fukja y f(y) f() jest iemalejąa a zbiorze P \ {} y 40 Dowieść, że każda fukja wypukła f : (a, b) R jest iagła Podać przykład fukji wypukłej f : [0, 1) R, która ma pukt ieiagłośi 41 Podać przykład fukji f : R R, która jest ieiagła w pukie 0 i ma własość Darbou (przyjmowaia wartośi pośredih) 42 Załóżmy, że (a ) 0 i (b ) 0 sa takimi iagami, że dla pewej lizby 0 0 szeregi a 0 i b 0 sa zbieże Udowodić, że jeśli istieje taki iag ( j ) lizb różyh 0 0 od 0 zbieży do 0, że 43 Dowieść, że jeśli szereg a j 0 b j dla j 1, 2,, to a b dla 0, 1, 2, 0 a jest zbieży, to fukja daa wzorem f() 0 iagła w każdym pukie przedziału ( 1, 1] a jest 0 3

4 44 Udowodić, że jeśli fukje f : A R i g : A R sa iagłe, to fukje ma(f, g) i mi(f, g) zdefiiowae wzorami ma(f, g)() ma ( f(), g() ) i aalogizie mi(f, g)() mi ( f(), g() ) też sa iagłe 45 Podać przykład fukji f : R R, która ma dokładie jede pukt iagłośi 46 Udowodić, że istieje fukja f : R R, która ie jest ograizoa a żadym przedziale 47 Nieh (a ) bedzie iagiem lizb rzezywistyh Dowieść, że istieje fukja iemalejaa f : R R, której jedyymi puktami ieiagłośi sa lizby a 1, a 2, a 3, 48 Udowodić, że jeżeli fukja f : [a, ) R jest ograizoa a każdym przedziale ogra- ( ) izoym i istieje graia lim f( + 1) f(), to istieje rówież graia lim ( ) f() i spełioa jest rówość lim lim f( + 1) f() f() 49 Udowodić, że jeżeli fukja f : [a, ) R jest ograizoa a każdym przedziale f(+1) f() f() ograizoym i istieje graia lim, to istieje też graia lim i speł- +1 ioa jest rówość lim f() +1 f(+1) f() lim 50 Jeśli f : R R jest taka fukja iagł a w o ajmiej jedym pukie, że dla dowolyh, y R zahodzi rówość f( + y) f() + f(y), to istieje taka lizba a R, że dla każdej lizby rzezywistej zahodzi rówość f() a 51 Jeśli f : R R jest taka fukja mootoiza, że rówość f( + y) f() + f(y) ma miejse dla dowolyh lizb, y R, to istieje taka lizba a R, że dla każdej lizby rzezywistej zahodzi rówość f() a 52 Jeśli f : R R jest taka fukja ograizoa a przedziale (-1,1), że dla dowolyh lizb, y R ma miejse rówość f( + y) f() + f(y), to istieje taka lizba a R, że dla każdej lizby rzezywistej zahodzi rówość f() a 53 Nieh Q( 2) { + y 2 :, y Q} Zaleźć wszystkie takie fukje f : Q( 2) Q( 2), że f( + y) f() + f(y) dla dowolyh, y Q( 2) i f(1) 1 Uwaga: w zbiorze Q( 2) wykoale sa ztery działaia arytmetyze, miaowiie dodawaie, odejmowaie, możeie i dzieleie przez lizby róże od 0 54 Nieh Q( 2, 3) : {α + β 2 + γ 3 + δ 6 : α, β, γ, δ Q} Zaleźć wszystkie takie fukje f : Q( 2, 3) Q( 2, 3), re f( + y) f() + f(y) dla dowolyh, y Q( 2, 3) i f(1) 1 55 Dowieść, że jeśli wielomia v ie ma pierwiastków rzezywistyh i stopień wielomiau w ie jest wi ekszy iż stopień wielomiau v, to iloraz w v 56 Rozstrzygać zy: (a) kwadrat fukji ieiagłej musi być fukja ieiagł a; (b) sześia fukji ieiagłej musi być fukja ieiagł a 4 jest fukj a ograizoa a R,

5 57 Dowieść, że jeśli fukja f jest iagła, to fukja f też jest iagła Czy twierdzeie odwrote jest prawdziwe? 58 Dowieść, że dla każdego wielokata wypukłego istieje prosta, która dzieli jedoześie obwód i pole wielokata a połowy 59 Dowieść, że a brzegu każdego wielokata wypukłego leża ztery pukty, które sa wierzhołkami pewego kwadratu 60 Nieh f : R R bedzie taka fukja, a (0, 1) taka lizba, że dla dowolyh, y R jest spełioa ierówość f() f(y) y Udowodić, że istieje dokładie jeda lizba 0 R, dla której zahodzi rówość f( 0 ) 0 61 Podać przykład takiej fukji f : R R, że jeśli y, to f() f(y) < y dla, y R oraz f() > dla każdego R 62 Nieh f : [0, 1] [0, 1] bedzie fukja zdefiiowaa wzorem f() Nieh f () f(f( f() )) Dla każdego N ustalić lizbe }{{} rozwiazań rówaia literek f f () 63 Zaleźć wszystkie takie fukje f : R R, że dla dowolyh a, b R, a < b, obraz f([a, b]) przedziału [a, b] jest przedziałem o długośi b a 64 Nieh C R b edzie zbiorem domki etym (tz, zawierająym wszystkie swoje skońzoe pukty skupieia) i ograizoym a f : C C fukja iemaleja a Udowodić, że f(p) p dla pewego puktu p C dla [0, ] 65 Nieh 0 < < 1 i ieh f() Pukt ma okres wtedy 1 dla [, 1] 1 i tylko wtedy, gdy jest ajmiejsza z lizb aturalyh k 1, dla któryh zahodzi rówość f(f( f() )) Udowodić, że dla każdej lizby aturalej istieja }{{} k literek f pukty, które maja okres i że jest tyh puktów skońzeie wiele 66 Nieh f : (0, ) R bedzie taka fukja iagł a, że dla każdej lizby > 0 zahodzi rówość lim f ( ) 0 Udowodić, że lim f() Zaleźć wszystkie pukty iagłośi fukji f, jeśli f() f(1) f(2) 0 68 Zaleźć wszystkie pukty iagłośi fukji f, jeśli f() f(1) f ( 1 2) Zaleźć wszystkie pukty iagłośi fukji f, jeśli f() Zaleźć wszystkie pukty iagłośi fukji f, jeśli, gdy / Q, f() p, gdy p, q 1, p, q Z, NWD(p, q) 1 q+1 q dla / {1, 2} oraz dla {1, 1 2 } oraz 71 Zaleźć wszystkie pukty iagłośi fukji f, jeśli g jest fukja Riemaa i dla każdego R zahodzi rówość f() ( )g() 5