Wykład 11. a, b G a b = b a,

Transkrypt

1 Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada elemet eutraly to zaczy e G a G a e = e a = a. (iii) Każdy elemet jest odwracaly względem to zaczy a G a G a a = a a = e gdzie e jest elemetem eutralym tego działaia. Jeśli dodatkowo (iv) Działaie jest przemiee to zaczy a b G a b = b a to grupę azywamy grupą abelową (albo przemieą). Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożoej ze zbioru i działaia (G ). Każdy elemet grupy jest odwracaly. Elemet odwroty do a ozaczać będziemy przez a 1. Niepusty podzbiór H grupy G azywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli: (i) h 1 h H h 1 h H. (ii) e H. (iii) h H h 1 H. Łatwo zauważyć że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura (H ) jest grupą. Przykłady grup 1. (Z +) (R +) są grupami abelowymi.. Jeśli (P + ) jest pierścieiem to (P +) jest grupą abelową oraz (P ) jest grupą (gdzie P ozacza zbiór elemetów odwracalych pierścieia P ). W szczególości zbiór macierzy ad daym ciałem K o wyzacziku iezerowym jest grupą ( dla > 1 ieabelową). Grupę tą ozaczamy przez Gl (K) i mamy: Gl (K) = {A M (K) : det A 0} 1

2 Grupa ta jest azywaa grupą liiową macierzy. 3. Zbiór Sl (K) = {A M : det A = 1} jest podgrupą grupy Gl (K) (azywaą specjalą grupą liiową). 4. Ozaczmy przez S zbiór wszystkich permutacji zbioru {1... } (czyli wzajemie jedozaczych odwzorowań zbioru {1... } a siebie). Zbiór te wraz z działaiem składaia przekształceń tworzy grupę (dla > ieabelową). Jest to przykład grupy skończoej (to zaczy takiej w której zbiór G ma skończoą ilość elemetów) bo S ma dokłaie! elemetów. Na przykład S 3 = {σ } gdzie: ( ) ( ) ( ) σ 0 = 1 = 1 3 = 3 1 ( ) ( ) ( ) σ 3 = = = Sprawdza się bezpośredio że podgrupami grupy S 3 są podzbiory: {σ 0 } {σ 0 1 } {σ 0 } {σ 0 3 } {σ } S 3 5. Podgrupą grupy S jest zbiór A złożoy ze wszystkich permutacji parzystych zbioru {1... }. Na przykład A 3 = {( ) ( 3 1 ) ( Grupa (A ) ma! elemetów i jest ieabelowa dla > Przekształceie płaszczyzy (lub przestrzei) które jest bijekcją i które ie zmieia odległości puktów azywamy izometrią płaszczyzy. Przykładami izometrii są obroty oraz symetrie. Przekształceiem które ie jest izometrią jest a przykład rzutowaie a prostą. Zbiór izometrii płaszczyzy z działaiem składaia przekształceń jest grupą (ieabelową). 7. Niech F będzie pewą figurą a płaszczyźie. Izometrią własą figury F azywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzy które przekształcają F a siebie. Zbiór izometrii własych figury F wraz z działaiem składaia przekształceń jest grupą. )}

3 Figurę F azywamy -kątem foremym jeśli ma rówych boków i rówych kątów. Na przykład trójkątem foremym jest trójkąt rówoboczy czworokątem foremym jest kwadrat itd. Ozaczmy przez D grupę izometrii własych -kąta foremego. Nietrudo jest zauważyć że grupa D ma elemetów: symetrii względem prostych i obrotów względem środka figury. Na przkład D 4 jest izometrii własych kwadratu. Wprowadźmy ozaczeia r 0 jest obrotem o 0 stopi r 1 jest obrotem o 90 stopi r obrotem o 180 stopi i r 3 obrotem o 70 stopi s 1 jest symetrią względem prostej przechodzącą przez środek pary rówoległych boków s jest symetrią względem prostej przechodzącą przez środek drugiej pary rówoległych boków s 3 i s 4 są symetriami względem prostych przechodzących przez aprzeciwległe wierzchołki. s 3 s s s 4 3 Po poumerowaiu wierzchołków liczbami od 1 do 4 każda izometria kwadratu wyzacza jedozaczą permutację wierzchołków r 0 = (1)()(3)(4) r 1 = (1 3 4) r = (1 3)( 4) r 3 = (1 4 3 ) s 1 = (1 )(3 4) s = (1 4)( 3) s 3 = ( 4) s 4 = (1 3). Własości grup (1) Każda grupa posiada dokładie jede elemet eutraly. () Każdy elemet grupy posiada dokładie jede elemet odwroty. (3) Jeśli w grupie zachodzi rówość ax = ay to x = y. (4) Każde rówaie ax = b ma w grupie jedozacze rozwiązaie x = a 1 b. (5) Dla każdego elemetu a G mamy (a 1 ) 1 = a. (6) Dla każdej pary elemetów a b G mamy (ab) 1 = b 1 a 1 3

4 W grupie (G ) możemy zdefiiować potęgowaie elemetu a G: a 0 = e a 1 = a a = a a } {{ } jeśli > 0 oraz a = a} 1 {{ a 1 } Potęgowaie ma astępujące własości: (i) a m a = a m+. (ii) (a m ) = a m. Uwaga W grupie możemy stosować zapis addytywy (często stosuje się go w przypadku grup abelowych) (G +). Wtedy elemet eutraly ozacza się przez 0 a elemet odwroty do a ozacza się przez a. Zamiast potęgowaia wykouje się możeie przez liczby całkowite: 0a = 0 a = a a ( )a = ( a) ( a) } {{ } } {{ } Wtedy ta operacja ma aalogicze własości jak potęgowaie: (i) ( + m)a = a + ma. (ii) (m)a = (ma). Niech a będzie elemetem grupy G. Najmiejszą iezerową liczbę aturalą taką że a = e azywamy rzędem elemetu a. Jeśli taka liczba ie istieje to mówimy że elemet a ma rząd ieskończoy (w przypadku zapisu addytywego rzędem azywamy ajmiejszą liczbę iezerową dla której a = 0). Przykłady ( ) 1. Permutacja = (1 3) ma rząd 3.. Elemet 3 grupy (Z ) ma rząd bo = Elemet eutraly e ma rząd rówy 1. Twierdzeie 1 Jeśli grupa G jest skończoa i ma elemetów to każdy elemet ma skończoy rząd. Dowód Niech a będzie elemetem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elemetu a: {1 a a a 3...} Elemety te ależą do G. Poieważ G jest zbiorem skończoym to zbiór potęg elemetu a też jest skończoy a to ozacza że istieją liczby aturale i j że a i = a j i jeśli i < j to a j i = e. To ozacza że rząd elemetu a jest skończoy. 4

5 Twierdzeie Jeśli G 1 i G są grupami to zbiór G 1 G z działaiem określoym astępująco: jest grupą. (g 1 h 1 )(g h ) = (g 1 g h 1 h ) Niech G będzie dowolą grupą i iech a G. Wtedy przez < a > ozaczamy zbiór wszystkich potęg elemetu a to zaczy: < a >= {... a 3 a a 1 a 0 a a a 3...} Wtedy < a > jest podgrupą grupy G. Jeśli w grupie G istieje elemet a taki że: G =< a > to G azywamy grupą cykliczą. Twierdzeie 3 Jeśli G jest grupą cykliczą to G jest abelowa. 5