Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Transkrypt

1 Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego b) Oblicz sumę 5 początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego, w którym trzeci i piąty wyraz są odpowiedio trzecim i piątym wyrazem daego ciągu geometryczego Odp: a) Ciąg sum częściowych jest rosący (rozwaŝay ciąg geometryczy ma wszystkie wyrazy dodatie a =, q = ; b) 85 4 (pierwszy wyraz ciągu arytmetyczego jest rówy 4, a róŝica wyosi 9 8 ) Zad : a) W ciągu geometryczym (a ) dae są: a =, a = x x Dla jakich wartości x szereg a + a + a + jest zbieŝy? Dla jakich wartości x suma tego szeregu jest rówa x? b) Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometryczego (a ) wyosi 0 Zajdź wzór ogóly takiego ciągu arytmetyczego (b ), Ŝe b = a, b = a, b 5 = a *c) WykaŜ, Ŝe z ciągu ieskończoego ( ) ie moŝa wybrać trzech wyrazów tworzących ciąg arytmetyczy Odp: a) RozwaŜay szereg jest zbieŝy dla x ( ) ( + ) ; ; Suma tego szeregu jest rówa x dla x = + 5 b) b = 4 (b =, r = 4) lub b = 0 (b = 0, r = 0) Zad : ( k k ) Dla jakich wartości parametru k graica ciągu a = 5 jest liczbą ie większą + + x + x x + x x + x iŝ pierwiastek rówaia x + x K = x? 4 8 Przyjmij za k ajwiększą liczbę całkowitą spośród zalezioych wartości parametru Zbadaj mootoiczość otrzymaego ciągu (a ) Oblicz sumę wszystkich ujemych wyrazów tego ciągu Który wyraz ciągu (a ) jest rówy zeru? Odp: k + ; (rozwiązaiem rówaia jest x = ) Największą liczbą całko- witą z tego przedziału jest k = Dla tej wartości parametru ciąg (a ) jest rosący Suma wyrazów ujemych wyosi 0,9 śade wyraz ciągu ie jest rówy zero Zad 4: RozwiąŜ ierówość Odp: x (;+ ) x x K+ + K < ( x + ) ( x + ) Zad 5: RozwiąŜ rówaie tgx + tg x + tg x+ K= lim + 05

2 Odp: x = 6 + k, gdzie k C Zad 6: RozwiąŜ rówaie lim( si α si α si α) 5 Odp: α = lub α = K + = dla α (0;) Zad 7: RozwiąŜ ierówość ( logx) + ( logx) + ( logx) + logx Odp: x 0; 00) Zad 8: RozwiąŜ rówaie + log si x + log si x + log si x+ K = dla x 0; Odp: x = lub x = 8 8 Zad 9: (profil matematyczo-fizyczy) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć wartość iloczyu K dla i udowodij go, stosując zasadę idukcji zupełej/ Odp: K = + Zad 0: (profil matematyczo-fizyczy) Oblicz sumę ieskończoego ciągu geometryczego, w którym wyraz pierwszy a i iloraz q K + spełiają waruki: a = lim, q = si dla si = α α Odp: 5 ( a =, q = 5) lub ( a = q = 5) 49, Zad : (profil matematyczo-fizyczy) a) W ciągu geometryczym (a ) dae są: a = i a = log x Dla jakich wartości x szereg a + a + a + jest zbieŝy? Dla jakich wartości x suma tego szeregu jest miejsza od? b) Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometryczego (a ) wyosi 0 Zajdź wzór ogóly takiego ciągu arytmetyczego (b ), Ŝe b = a, b = a, b 9 = a *c) WykaŜ, Ŝe z ciągu ieskończoego ( + ) ie moŝa wybrać trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczy Odp: a) Szereg jest zbieŝy dla x (;8) Suma szeregu jest miejsza od dla x (4;8) b) b = (b =, r = ) lub b = 0 (b = 0, r = 0) Zad : (profil matematyczo-fizyczy) RozwiąŜ rówaie + Odp: x = x + + K = x x x

3 Zad : (profil matematyczo-fizyczy) Dla jakich wartości parametru m rówaie x + x + x + = x + m ma dokładie jede pierwiastek? Odp: m ( ;0 {} Zad 4 (profil matematyczo-fizyczy) RozwiąŜ rówaie log 6 x + (log 6 x) + (log 6 x) + = Odp: x = 8 Zad 5: (profil matematyczo-fizyczy) Zazacz a płaszczyźie zbiór wszystkich puktów o współrzędych (x, y), dla których szereg geometryczy + log x+ K+ log x+ K jest zbieŝy y y > Odp: Współrzęde x, y puktów muszą spełiać waruki y > x lub y > x y 0 < y < y < x y < x Zad 6: (profil matematyczo-fizyczy) Daa jest fukcja f(x) = + si x + si 4 x +, gdzie si x a) RozwiąŜ ierówość f(x) b) Zajdź te rozwiązaia rówaia + si x = + si x dla x 0;, które aleŝą do f( x) cos x zbioru rozwiązań ierówości + cosx cosx Odp: a) x + k; + k, gdzie k C; b) x = 4 4 Zad 7: x x x a) Oblicz trzeci wyraz ciągu geometryczego o wyrazach,,,k, wiedząc, Ŝe x + x + + x 0 = 0 i x 7 = 4 *b) Udowodij, Ŝe suma kwadratów dowolie wybraych trzech kolejych wyrazów ciągu geometryczego o wyrazach całkowitych róŝych od zera jest podziela przez sumę tych wyrazów x Odp: a) 6 = = 64 Zad 8: Zbadaj liczbę pierwiastków rówaia mx x = K w zaleŝości od wartości 4 8 parametru m Odp: Rówaie ie ma pierwiastków dla m ( ; ), ma jede pierwiastek dla m = i dla m =, ma dwa pierwiastki dla m ( ; ) ( ; + ) Zad 9: 4 RozwiąŜ ierówość x + x + 4x + K Odp: x ( ; 07

4 Zad 0: RozwiąŜ rówaie K = ax, gdzie a jest pierwiastkiem rówaia x x 5 x + 5 x = 40 Odp: x = 7 (a = ) Zad : Zajdź te rozwiązaia rówaia (x ) + (x ) 4 + (x ) 6 + =, które aleŝą do zbioru wartości fukcji f( x) = x 7x + 4 ( x ) Odp: x = (liczby fukcji f jest przedział ( ; ) oraz + spełiają dae rówaie, zbiorem wartości Zad : a) Dla jakich wartości x suma wszystkich wyrazów ciągu geometryczego + (x ) + (x ) + ma skończoą wartość? Zajdź zbiór tych wartości x, dla których suma ta jest miejsza od 4 b) Zajdź wzór ogóly ciągu arytmetyczego o wyrazach, (x ) +, (x ) +, *c) WykaŜ, Ŝe z ciągu ieskończoego ( ) ie moŝa wybrać trzech wyrazów tworzących ciąg arytmetyczy Odp: a) Suma wszystkich wyrazów szeregu jest skończoa dla x (0;) Suma jest miejsza od 4 dla x ( 0; ) b) a = (x = 0) lub a = 5 4 (x = ) Zad : RozwaŜmy ieskończoe ciągi geometrycze, w których suma trzech początkowych wyrazów jest rówa kwadratowi wyrazu pierwszego Dla jakich wartości ilorazu suma wszystkich wyrazów ciągu osiąga wartość ajmiejszą? Oblicz tę ajmiejszą wartość Odp: g =, S = Zad 4: Dla jakich wartości x 0; suma ieskończoego ciągu geometryczego o wyrazach: six tgx, cos x( cosx), cos x( cosx), jest miejsza od? x ; ; Odp: ( ) ( ) Zad 5: + tgx + tg x+ K+ tg x+ K a) RozwiąŜ rówaie = + si x tgx + tg x+ K+ ( ) tg x+ K *b) RozwiąŜ rówaie tg (x + y) + ctg (x + y) = x x Odp: a) x = k, gdzie k C; b) x =, y = + + k lub y = + k, gdzie k C 4 4 Zad 6: (profil matematyczo-fizyczy) Zajdź zbiór tych liczb rzeczywistych, które moŝa przedstawić w postaci sumy ieskończoego ciągu geometryczego K dla pewej wartości zmieej x ( x ) ( x ) x 08

5 Odp: A = ( ) ( + ) ; ; Zad 7: (profil matematyczo-fizyczy) K + a) RozwiąŜ ierówość ( ) lim si x si x si x *b) WykaŜ, Ŝe jeŝeli rówaie x + ax + bx + c = 0 ma trzy pierwiastki x, x, x, to a b Odp: a) x = 6 + k, gdzie k C Zad 8: Suma wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego o wyrazach, x, (x ), jest rówa Które wyrazy tego ciągu są miejsze od 0,05? Odp: Wszystkie wyrazy o umerach większych od 6 Zad 9: Suma wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego o wyrazach, x, (x ), jest rówa Które wyrazy tego ciągu są miejsze od 0,05? Odp: Wszystkie wyrazy o umerach większych od 6 Zad 0: Dla jakich wartości parametru m rówaie x + x + x + = x + m ma dwa rozwiązaia? Odp: m (0;) Zad : Wyzacz zbiór wszystkich puktów płaszczyzy, których współrzęde spełiają ierówość + log ( x + y ) + log ( x + y ) + K log x + y { x, y : x y } Odp: ( ) < + ( ) Zad : Daa jest fukcja f(x) = + (x 5x + 5) + (x 5x + 5) +, gdzie prawa stroa wzoru jest sumą ieskończoego ciągu geometryczego a) Zajdź dziedzię fukcji f oraz wartości argumetów, dla których spełioa jest rówość f(x) = *b) Zajdź zbiór wartości fukcji f Odp: a) Dziedzią fukcji f jest zbiór (;) (;4) Rówaie f(x) = jest spełioe dla x = x = + 5 lub b) Zbiorem wartości fukcji f jest przedział ( ) ;+ Zad : a) Zajdź zbiór tych wartości x, dla których suma (x ) + (x ) + (x ) + ieskończoego ciągu geometryczego ma skończoą wartość Oblicz tę wartość b) RozwiąŜ ierówość (x ) + (x ) + (x ) + 5 *c) RozwiąŜ rówaie x + x + x + = x 09

6 x Odp: a) x (0;), S = ; b) Nierówość ie ma rozwiązań x c) x = lub x = 0