Temat 15. Rozwinięcie Sommerfelda. Elektronowe ciepło właściwe.

Transkrypt

1 emat 5 Rozwiięcie Sommerfelda letroowe ciepło właściwe letroy podleają rozładowi ermieo-diraca wedł tóreo prawdopodobieństwo że sta o eerii jest zajęty przez eletro wyosi f 5 ep dzie wielość jest zaa pod azwą potecjał chemiczeo W staie podstawowym dla rozważoym w temacie 4 obsadzoe są te i tylo te poziomy tórych eerie spełiają ierówość cja rozład 5 msi więc spełiać ware lim f 5 > Dla zodości rozład 5 z raicą 5 oiecze jest więc by lim 5 W przypad > wład eletroów do eerii wewętrzej U w przybliżei iezależych eletroów jest smą eerii poziomów jedoeletroowych pomożoą przez średią liczbę eletroów a daym poziomie f U f 54 dzie możi wyia z istieia dwóch eletroów o różym spiie odpowiadających jedem staowi wetora zaś związe eerii z wetorem falowym jest opisay wprowadzoym wcześiej wzorem 4 h 55 m Podobie ja wcześiej dla sta podstawoweo emat 4 dooay we wzorze 54 przejścia raiczeo dla N V U f dω 5 8 dzie V/8 D jest wyzaczoą wcześiej rys 4 i wzór 45 i ęstością dozwoloych poziomów w przestrzei zaś dω jest elemetem objętości w przestrzei Stąd ęstość eerii U/V f dω 57 4 Podobie ja eerię eletroów 54 możemy zapisać całowitą liczbę eletroów N N f 58 sąd po przejści raiczym dla N otrzymamy ęstość eletroową N/V f dω 59 4 Całi we wzorach 57 i 59 mają oólą postać dω 5 4 7

2 dzie jest fcją odpowiedią dla wyzaczaej wielości albo Wyorzystjąc fat że fcja podcałowa jest zależa od wetora tylo poprzez eerię związaą z modłem wetora możemy przedstawić elemet objętości w postaci sfery dω 4 d 5 Następie przejdziemy od zmieej do zmieej wyorzystjąc związe 55 4 d dω d 5 dzie m m h h 5 < Wyorzystjąc wprowadzoą powyżej fcję całi ze wzorów 57 i 59 możemy teraz zapisać w postaci oraz Obie powyższe całi mają postać f d 54 f d 55 H f d 5 a ich wyzaczeie jest dość złożoe Wprowadźmy fcję K zdefiiowaą wzorem K H ' d' 57 sąd wyia że d K H 58 d Do obliczeia całi 5 zastosjmy całowaie przez części f H f d [ K f ] K d 59 Wyraz K f zia dla bo K przy f a taże zia dla bo fcja f dąży do zera szybciej iż K do Zaważmy że temperatra w pratyce jest zwyle zaczie miejsza od temperatry ermieo 47 przyjmjącej wartości rzęd 4 K cja ermieo f daa wzorem 5 dla temperatry poojowej odchyla się zacząco od prostoąteo rozład dla tylo w iewielim otoczei woół o szeroości il rys 5 Wartość całi 59 jest wiec zdetermiowao zachowaiem się fcji K w tym wąsim otoczei dyż tylo tam pochoda f / różi się istotie od zera 7

3 Rys 5 cja ermieo daa wzorem 5 dla pewej staloej wartości oraz temperatr a b / Rozwińmy zależość K w szere potęowy woół pt oraiczając się do trzech pierwszych wyrazów i wyraźmy pochode fcji K poprzez H zodie ze wzorem 58 d K K K d d K d K d H K H 5 d Po podstawiei szere 5 do wzor 59 otrzymjemy f f H f H f d K d H d d 5 dzie f / jest fcją parzystą armet i cała z fcji ieparzystej f / wzlędem msi się zerować Po zastosowai owej zmieej / otrzymjemy dzie f H f H f d K d d 5 f e d d e zaś ostatia cała jest fcją Riemaa zaą z tablic fcji specjalych f e d d e Po podstawiei wzorów 57 5 i 54 szere 5 praszcza się do postaci 5 54 H H f d H d 55 azywaej rozwiięciem Sommerfelda Możliwe jest wyzaczeie taże wyrazów wyższeo rzęd jedaże dla temperatr poojowych oleje wyrazy różią się o czyi rzęd /m ~ -4 i zwyle ie są istote w obliczeiach Zastosjmy rozwiięcie 55 do ęstości eerii 54 i ęstości eletroowej 55 przeswając przy tym dolą raicę całowaia do w związ z zerowaiem się dla < d 5 d 57 7

4 7 Dalej poażemy że wartość potecjał chemiczeo ze wzrostem temperatry bardzo iezaczie odbiea od swej wartości dla Stąd całi taie ja we wzorach 5 i 57 możemy rozwiąć jao d d H H H 58 otrzymjąc d 59 d 5 W metalach ęstość eletroowa jest stała więc wartość we wzorze 5 msi być rówa całce ozaczającej ęstość dla 5 sąd otrzymjemy 5 a po rozwiięci i wedł wzor 5 5 Dla temperatr poojowych wyraz zależy od temperatry jest rzęd -4 Związe 5 wyorzystamy taże do proszczeia wzor 59 podstawiając przy tym do wyrazów o ajmiejszych wartościach 54 dzie jest ęstością w staie podstawowym przy Stąd ciepło właściwe az eletrooweo w metal v c 55 W szczeólym przypad eletroów swobodych ęstość eletroowa N/V jest opisaa wyprowadzoym wcześiej wzorem 47 zaś eeria ermieo wzorem 49 Wyorzystjąc te wzory oraz rozwiięcie fcji wedł wzor 5 moża poazać że 5 Podstawiając wzór 5 do 55 otrzymamy v c 57 Przewidywaa liiowa zależość eletrooweo ciepła właściweo metali od temperatry jest jedą z ważiejszych osewecji statystyi ermieo-diraca 5 Dla temperatry poojowej rezltat te jest miejszy ooło razy od stałej wartości c v / wyiającej z zastosowaia rozład Mawella-oltzmaa do eletroów w lasyczej teorii metali Drdeo

5 W metalach oprócz eletroów taże draia joów woszą swój wład do całowiteo ciepła właściweo i wład te jest domijący w wysoich temperatrach W isich temperatrach joowe ciepło właściwe jest opisae prawem Debye a i wraz ze spadiem temperatry spada poiżej ciepła eletrooweo tóre maleje jedyie liiowo Całowite ciepło właściwe metal w isich temperatrach ma zatem postać c v γ A 58 Czło liiowy i sześciey stają się porówywale dla temperatr rzęd il elwiów Stałe γ i A moża dopasować do daych doświadczalych jao współczyii prostej wyreśloej we współrzędych c v / oraz c v γ A 59 74