DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

Transkrypt

1 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza się aż do dwóch zagadnień. Należy oreślić częstość drgań własnych uładu w przypadu drgań swobodnych oraz wartość amplitudy przemieszczenia w przypadu drgań wymuszonych obciążeniem zewnętrznym. Znajomość częstości drgań własnych onstrucji pozwala uninąć zjawisa rezonansu. Nie wolno obciążać onstrucji urządzeniami, tórych częstość ołowa porywa się z częstością drgań własnych, gdyż wtedy amplitudy przemieszczeń uładu wzrastają w sposób nieontrolowany. W drugim typie zadań uład obciążony jest urządzeniem o znanej sile wymuszania i częstości drgań. Trzeba wtedy wyliczyć amplitudy przemieszczeń i porównać je z dopuszczalnymi. Analizę uładu należy rozpocząć od ustalenia stopnia swobody dynamicznej (niezależne, możliwe ieruni ruchu masy). Dalej należy zapisać równania ruchu po ierunach swobody dynamicznej, oreślić wartości przemieszczeń powstałych od sił dynamicznych. W uładach statycznie wyznaczalnych przemieszczenia liczymy w prosty sposób orzystając z równania pracy wirtualnej. W uładach statycznie niewyznaczalnych obliczenia ompliują się, gdyż potrzebne są wyresy momentów od sił jednostowych w uładach niewyznaczalnych. Przemieszczenia od sił jednostowych (wyznaczony w ten sam sposób ja w metodzie sił) dają uład zwany macierzą podatności [D]. Ten sposób rozwiązywania zadania nazywa się często rozwiązaniem przez podatność. Istnieją jedna ułady, tóre prościej rozwiązuje się metodą przemieszczeń aniżeli metodą sił (naład pracy jest mniejszy). Tego typu ramy łatwiej rozwiązać przez sztywność, lasyczną metodą przemieszczeń przyjmując uład podstawowy (muszą być zabloowane ieruni swobody dynamicznej) obciążony siłami dynamicznymi. W tym przypadu trzeba stworzyć macierz sztywności uładu [K], czyli oreślić reacje od jednostowych przemieszczeń. Ramy statycznie wyznaczalne rozwiązujemy zazwyczaj orzystając z oncepcji metody sił (wyznaczamy macierz podatności), natomiast ułady statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy orzystając z metody przemieszczeń (wyznaczając macierz sztywności) lub metody sił. Podział ten wynia z naładu pracy, jaą trzeba wyonać przy rozwiązywaniu uładu poszczególnymi metodami. W uładach statycznie wyznaczalnych obliczenie współczynniów δ i nie jest sompliowane. Ten sam uład, rozwiązywany metodą przemieszczeń wymagałby zapewne bloowania obrotów i przesuwów, co zwięszyłoby liczbę współczynniów r i. Obie macierze charaterystyczne: podatności [ D]=[ i ] i sztywności [ K ]=[r i ] są symetryczne: oraz zachodzi między nimi zależność: i = i r i =r i [ D] =[ K ] [ D] [ K ]=[ K ] [ D]=[ I ]

2 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH Rozwiązywanie przez sztywność (metoda przemieszczeń) Dla dowolnego uładu o zadanej geometrii, sposobie podparcia i rozładzie masy J, A J, A 0 J, A ρ, μ znamy wzory transformacyjne na przywęzłowe momenty przęsłowe, siły tnące i normalne. M N N M M 0 M T T T 0 N N T 0 Niewiadome przemieszczenia z węzła (φ, u, v ) i (φ, u, v ) wyznaczymy zapisując dla ażdego z tych węzłów równania równowagi: X Y M Otrzymany w ten sposób uład równań jednorodnych, ma rozwiązanie nieosobliwe wówczas, gdy wyznaczni tego uładu będzie równy zero. Otrzymywane w ten sposób równanie charaterystyczne umożliwia wyliczenie częstości drgań własnych. Metodę tę przybliżymy rozwiązując zadanie. Zadanie Obliczyć częstości ołowe i postacie drgań własnych dla uładu z rysunu 5.. m, I m Rys. 5.. Rama obciążona masą supioną Parametry geometryczne i fizyczne uładu są następujące:

3 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... EJ =6000 N m m=00 g I m =5 gm Masa ma możliwość ruchu tylo w jednym ierunu (SSD = ). Kierune ten (w = φ) i siłę dynamiczną B będącą wyniiem działania bezwładności masy opisuje rys. 5.. R, φ w, B Rys. 5.. Kieruni stopni swobody dynamicznej i uład podstawowy metody przemieszczeń Funcja rozwiązująca różniczowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać: w t =a sin t ẅ t = a sin t (5.) Zapiszmy zatem równanie anoniczne metody przemieszczeń: R =r w t r P (5.) Aby wyznaczyć wartości współczynniów r i r P musimy zapisać sumy momentów w węźle, olejno w stanie φ = oraz P: a) r EJ 6 b) B = -I m w (t) r P 4 EJ 4 EJ 4 Z sumy momentów w węźle otrzymamy: Rys. 5.. Wartości momentów: a) w stanie φ =, b) w stanie P r,5 EJ EJ =,5 EJ r P =I m ẅ t Podstawiając te wartości do równania anonicznego (5.) dostajemy różniczowe równanie ruchu: Wyorzystując funcję (5.) otrzymujemy rozwiązanie:,5 EJ w t I m ẅ t (5.)

4 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 4,5 EJ a sin t I m a sin t (5.4) Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do równania jednorodnego: Równanie to ma nietrywialne rozwiązanie (a 0), gdy:,5 EJ I m a (5.5),5 EJ I m (5.6) zatem:,5 EJ = (5.7) I m Po podstawieniu danych liczbowych do rozwiązania (5.7) otrzymujemy: =, =600 5 [ rad s ] Postać drgań własnych w przypadu SSD = ogranicza się do jednej amplitudy przemieszczenia a, tóra może przyjmować dowolną, różną od zera wartość. Przemieszczeniem (ieruniem swobody dynamicznej) w tym zadaniu jest ąt obrotu (rys. 5.4). a Rys Postać drgań własnych 5.. Rozwiązanie przez podatność (metoda sił) Zastosowanie oncepcji metody sił w obliczeniach częstości ołowych drgań własnych poażemy na przyładach uładów statycznie wyznaczalnych. Zadanie Znaleźć częstości ołowe drgań własnych i narysować ich postacie, dla uładu z rys. 5.5.

5 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5 m Rys Rama obciążona masą supioną Parametry geometryczne i fizyczne uładu są następujące: EJ =000 N m = EJ 4 m=00 g Masa ma możliwość ruchu w dwóch ierunach (SSD = ), ich ieruni i siły dynamiczne będące wyniiem działania bezwładności masy przedstawiono na rys m w, B B = -mw (t) B = -mw (t) w, B Rys Uład obciążony dynamicznie Funcja rozwiązująca różniczowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać: w i t =a i sin t ẅ i t = a i sin t (5.8) Wiemy, że na przemieszczenie w danym ierunu wpływ mają obie siły: { w t = B B w t = B B (5.9) Po podstawieniu wyrażeń na siły bezwładności otrzymujemy uład równań różniczowych:

6 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 6 w t = m ẅ t m ẅ t w t = m ẅ t m ẅ t Wyorzystując funcję (5.8) otrzymujemy: { a sin t= m a sin t m a sin t a sin t= m a sin t m a sin t Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do uładu równań jednorodnych: { m a m a m a m a (5.0) (5.) Dla ułatwienia obliczeń zastosujemy podstawienie: = EJ m = ij EJ ij (5.) Wówczas po przeształceniach mamy: { a a a a (5.) Jest to uład równań jednorodnych, tóry posiada rozwiązanie, gdy: det Z warunu (5.4) otrzymujemy równanie charaterystyczne: (5.4) (5.5) Teraz obliczymy współczynnii równania δi, narysujmy więc wyresy od stanów jedynowych: B =,5,5,0 Rys Obciążenie po ierunu pierwszym M

7 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 7 B = 0,5 M Rys Obciążenie po ierunu drugim Na podstawie rys. 5.7 i 5.8 obliczamy współczynnii δi : = EJ 4 EJ = EJ 4 EJ =EJ =5,5 =EJ =6,5 Po podstawieniu do równania (5.5): Otrzymujemy dwa pierwiasti rzeczywiste: 5,5 6,5 (5.6) z tórych wyliczmy częstości drgań własnych: =6,5 =5, I = 5,5 00 [ 0 rad II =54,4 [ rad s ] s ] (5.7) (5.8) Ponieważ z uładu (5.) otrzymujemy dwa niezależne równania. Zmienne a i są rozprzężone dlatego mając nawet wartości własne nie możemy stworzyć wetora własnego. Amplituda przemieszczenia a może zmieniać się niezależnie od amplitudy a. Przyjmując a = otrzymujemy: i na odwrót dla a = dostaniemy: 6,5 5,5 a a

8 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 8 a Rys Postacie drgań Zadanie Znaleźć częstości ołowe drgań własnych i narysować ich postacie dla uładu z jedną masą (rys. 5.0). m W zadaniu przyjęto następujące wartości liczbowe: Rys Uład z jedną masą EJ =9000 N m m=400 g W uładzie o dwóch stopniach swobody dynamicznej przyjęto dwa prostopadłe do siebie ieruni przemieszczeń (rys. 5.). w, B w, B Rys. 5.. Kieruni stopni swobody dynamicznej Podobnie ja poprzednio przyjęto funcję opisującą przemieszczenia: w i t =a i sin t ẅ i t = a i sin t (5.9)

9 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 9 Do równań ruchu: podstawiamy wyrażenia na siły bezwładności: { w t = B B w t = B B (5.0) w t = m ẅ t m ẅ t w t = m ẅ t m ẅ t Równania różniczowe rozwiązujemy przyjmując postać funcji rozwiązującej (5.9): { a sin t= m a sin t m a sin t a sin t= m a sin t m a sin t { m a m a m a m a (5.) (5.) Po wprowadzeniu symboli zastępczych: = EJ m = ij EJ ij (5.) mamy: { a a a a (5.4) Uład równań jednorodnych posiada rozwiązanie, gdy: det To prowadzi do równania charaterystycznego: (5.5) (5.6) Aby obliczyć współczynnii podatności δ i, narysujmy wyresy od stanów jedynowych:

10 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 0 M M Rys.5.. Wyresy momentów od obciążeń jednostowych Na podstawie rys. 5. obliczamy współczynnii δ i : = EJ =EJ =4,5 = EJ =EJ,8 I podstawiamy do równania (5.6): otrzymujemy: 4,5 0,8 (5.7) =4,5,8 Stąd częstość drgań własnych: I = ,5 400 =70,707 [ rad s ] II = ,8 400 =64,67 [ rad s ] (5.8) Postacie drgań własnych dla rozprzężonych amplitud przemieszczeń przedstawiono na rys. 5.. a 0 a a a 0 Rys. 5.. Postacie drgań Zadanie 4 Sprawdzić czy dla uładu z rys. 5.4 możliwe jest dobranie taiej wartości współczynnia, aby drgania uległy rozprzężeniu. Jeżeli ta, to oreślić wartość sztywności podpory podatnej.

11 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... m 6 Rys Rama obciążona masą Uład ma dwa stopnie swobody dynamicznej przemieszczenie liniowe i ątowe. Masa może przemieszczać się tylo w poziomie, ale z uwagi na gabaryty może też się obracać. Mamy do czynienia z bezładnością liniową i ątową. w, B m w, B 6 Rys Kieruni swobody dynamicznej gdzie: [g /m ] to rozład masy, J 0 [m 4 ] to moment bezwładności obrotowej. B = m ẅ B = J 0 ẅ (5.9) Do wyznaczenia współczynniów podatności potrzebne są wyresy momentów (rys. 5.6, rys. 5.7) B = M Rys Obciążenie jednostowe po ierunu pierwszym

12 Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... B = M Rys Obciążenie jednostowe po ierunu drugim = EJ 6 = 6 EJ 4 Aby drgania uległy rozprzężeniu w uładzie równań ruchu (5.) współczynni zero. Stąd otrzymujemy zależność: powinien być równy 6 EJ 4 z tórej wynia poszuiwana wartość parametru : = EJ 4