Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Zadanie. Korzystając z definicji oblicz pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f ) gdy f) = + 5 b) f ) gdy f) = + c) f ) gdy f) = 4 + d) f ) gdy f) = e Zadanie. Korzystając z definicji oblicz pochodne następujących funkcji: a) f) = b) f) = cos c) f) = cos d) f) = sin e) f) = log f) f) = 7 log + g) f) = e +5 + WSKAZÓWKA do b,c,d: Skorzystaj ze wzorów na różnicę sinusów i różnicę cosinusów. Zadanie. Oblicz, jeśli istnieje, pochodną funkcji f w punkcie 0, jeśli: { sin dla 0 a) f) =, 0 = 0 b) f) = 0 dla = 0, 0 = 0 { { c) f) = sin dla 0 0 dla > 0 0 dla = 0, 0 = 0 d) f) = + ) dla 0, 0 = 0 { { e) f) = + + dla arctg dla <, dla 0 0 = f) f) = 0 dla = 0, 0 = 0 g) f) = { e, 0 = 0 h) f) = + + dla + 4 dla >, 0 = i) f) = sin π), 0 = n Z j) f) = ma{, }, 0 = Zadanie 4. Zbadaj różniczkowalność następujących funkcji: a) f) = sgn b) f) = + + c) f) = 6 d) f) = e e) f) = ) Zadanie 5. Dobierz parametry a, b, c, d R tak, by funkcja f była różniczkowalna na R, jeśli: { a + b dla 0 sin dla < 0 a) f) = a b) f) = c + b dla 0 + d dla 0, ] dla > { c) f) = + 4 dla a + b dla >
Zadanie 6. Sprawdź, że następujące funkcje sa ciągłe zerze, ale nie są różniczkowalne w tym punkcie: a) f) = b) f) = Zadanie 7. Dobierz parametry a i b, tak by funkcja f dana poniżej była ciągła na R. Czy jest ona wówczas różniczkowalna na R? a + dla < f) = dla [, ) + + b dla Zadanie 8. Znadaj różniczkowalność funkcji f) = sin + w przedziale [ π, π ]. Zadanie 9. Załóżmy, że funkcje f i g maja pochodną w punkcie a. Oblicz granice: a) lim a fa) af) a b) lim a f)ga) fa)g) a c) lim a f)e fa) f) cos fa), a = 0, f 0) 0 Zadanie 0. Niech f0) = 0, istnieje f 0) oraz k N. Oblicz lim 0 [ f) + f ) + f ) +... + f k )]. Zadanie. Zbadaj, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe we wskazanych punktach: a) f) = sin 5, 0 = 0 b) f) =, 0 = 0 Zadanie. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadź wzory na pochodne następujących funkcji: a) f) = arcsin b) f) = c) f) = e d) f) = ctg Zadanie. Funkcja f : R R ma pochodną na R. W jakich punktach R istnieje pochodna funkcji f? Zadanie 4. Korzystając z reguł różniczkowania oblicz pochodne następujących funkcji: a) y = 4 + + 5 7 b) y = e) y = 4 + 45 + c) y = + ln + d) y = 5 cos + e + +5 f) y = 4 g) y = 4 h) y = sin +cos cos sin i) y = 4 5 + ) 5 + ln sin ) + + j) y = e + cos 5 + cos + ) k) y = sin + + 4) 4 + cos 5 l) y = sin ) m) y = ln [ tg π + ) ] 4 n) y = + + e sin + 4 cos o) y = 7e ln + 5 ln0) p) y = tg + esin r) y = arctg ln + )+arctg s) y = ln + + )+ln ln t) y = ln +
u) y = arcctg v) y = b ac a+b b ac a+b+ b ac w) y = 6 + tg) sin ) y = ) + y) y = arctg arctg z) y = sin ) 7 + + + ln ) + e ) ab) y = + bc) y = cos log 7 + ) cd) y = + sin[sin sin )] de) y = sinh arcsin a ef) y = + ) 49 fg) y = arccos 8 ) log ) 0,5 gh) y = log 4 arcctg + ) ij) y = ln [ + ln + ln )] jk) y = a b ) b ) a a) b, a, b > 0 kl) y = 6 7 + +log +cos ) arcctg5 ) lm) y = mn) y = arcsin [6 cos )] ln tg 7 ) 0+5 ) +arctg 6 ) +ln +0 ) tg ) Zadanie 5. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe, oblicz pochodne funkcji: a) y = log f) g) b) y = arctg f) g) c) y = [f)] + [g)] Zadanie 6. Uzasadnij, że pochodna funkcji: a) parzystej jest funkcją nieparzystą b) nieparzystej jest funkcją parzystą c) okresowej jest funkcją okresową o tym samym okresie Korzystając z powyższych faktów oblicz: i) f 4), jeśli f jest parzsta oraz f 4) = ii) f 0), jeśli f jest parzysta i ma pochodną w zerze iii) f ), jeśli f jest nieparzysta oraz f ) = iv) g 5), jesli g) = f), f jest funkcją okresową o okresie T = oraz f ) = 4 v) f 5), jeśli f jest nieparzysta, okresowa o okresie T = 4 oraz f ) = Zadanie 7. Oblicz pochodne rzędu drugiego następujących funkcji: a) f) = + + b) f) = arccos c) f) = e sin d) f) = + )arctg e) f) = Zadanie 8. Sprawdź, że funkcja f) = e +e spełnia równanie f )+ f ) f) = 0. 4 Oblicz f 0). Zadanie 9. Zbadaj, czy istnieje f 0), jeśli: { a) f) = 4 dla 0 b) f) = sin 4 dla > 0 Zadanie 0. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = 0, y 0 ), gdy: a) f) =, 0 = b) f) = ln, 0 = c) f) = + ), P =, f )) d) f) =, P =, f))
Zadanie. W jakim punkcie styczna do linii y = 9 + jest równoległa do osi O? Zadanie. Jaki kąt z osią O tworzy styczna do paraboli y = + 8 w punkcie o odciętej =? Zadanie. Na wykresie funkcji y = ln znajdź punkt, w którym styczna jest równoległa do prostej y + = 0. Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do paraboli y = : a) tworzy z osią O kąt 45? b) jest prostopadła do prostej 6y + 5 = 0? c) jest równoległa do siecznej przeprowadzonej przez punkty o odciętych =, =? Zadanie 5. Dla jakich wartości parametrów b i c krzywa y = + b + c jest styczna do prostej y = w punkcie P =, )? Zadanie 6. Czy pochodna funckji różniczkowalnej jest zawsze funkcją ciągłą? Różniczka funkcji Zadanie 7. Oblicz różniczkę funkcji: a) e b) ln + ) Zadanie 8. Za pomocą różniczki oblicz przybliżoną wartość wyrażeń: a) ln0, 96) b) e,97 c), 06 d) sin e) arctg, 05) Zadanie 9. Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością mm i otrzymano 5mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole powierzchni całkowitej tego sześcianu? Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego Zadanie 0. Udowodnij, że jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest w tym punkcie ciągła. Zadanie. Korzystając z własności Darbou udowodnij, że: a) równanie 4 = ma dokładnie jeden pierwiastek ujemny b) równanie + ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale, ) Zadanie. Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle a na przedziale [, ]: a) f) = ) b) f) = 4
Zadanie. Korzystając z twierdzenia Rolle a uzasadnij, że: a) równanie g ) = 0 ma rozwiązanie w przedziale [, ], gdzie g) = 6 5 6 4 + 6 b) wielomian w) = 5 0 + 60 + 5 nie może mieć dwóch różnych pierwiastków w przedziale, ) c) na wykresie funkcji f) = 4 + istnieje taki punkt P 0 = 0, f 0 )), że 0, ) oraz styczna do wykresu tejże funkcji w punkcie P 0 jest równoległa do osi O Zadanie 4. Niech f) = + 6. Bez liczenia pochodnej uzasadnij, że równanie f c) = 0 ma rozwiązanie w przedziale, ). Zadanie 5. Nie znajdując pochodnej funkcji f) = + ) ) 4) 5) oblicz liczbę pierwiastków rzeczywistych równania f ) = 0 i podaj przedziały, w których leżą te pierwiastki. Zadanie 6. Na paraboli y = obrano dwa punty P i P o odciętych = oraz =. Przeprowadzono przez te punkty prostą sieczną. Korzystając z twierdzenia Lagrange a o wartości średniej podać punkt, w którym styczna do paraboli jest równoległa do otrzymanej siecznej. Zadanie 7. *) Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnij, że: a) a b a < ln a < a b α β, dla 0 < b < a b) b b cos β tgα tgβ α β cos α, dla 0 < β α < π c) sin sin y y, dla, y R d) + < ln + ) <, dla > 0 e) e > +, dla > 0 f) cos 00 cos 00 y 00 y, dla, y R WSKAZÓWKA do d), e): Rozważyć przedziała [0, ]. Zadanie 8. Korzystając z reguły de l Hôspitala oblicz granice: a) lim 0 sin b) lim ln c) lim 0 e e sin d) lim 0 sin e) lim 0 sin cos arctg f) lim + a g) lim b 0 e h) lim arctg+ π i) lim 0 e sin 5 j) lim 0 cos + sin k) lim ) π arctg l) lim m) lim + ln + ) 0 n) lim 0 cos o) lim π sin π ) e p) lim e ) cos 0 cos q) lim π e π e sin π ) sin r) lim 5 4 +5 6 4 s) lim 6 t) lim 0 sin 5 tg4 u) lim e e + + sin ) v) lim 0 + ln +) sin w) lim ln cos ) + ) lim arcctg 0 y) lim 0 sin tg z) lim 0 a b c d e ab) lim 6 arcsin arcsin e 0 bc) lim cos + 0 cd) lim 0 de) lim cos ef) lim ln fg) lim 0 + ln ctg gh) lim 0 + ln hi) lim ln sin ) + ij) lim π 4 cos tg tg π 4 +) 5
jk) lim 4 kl) lim e e 0 ctg lm) lim sinh +e no) lim 0 + ln sin a) ln sin b) op) lim 0 + ln ln e ) Zadanie 9. Korzystając z reguły de l Hôspitala oblicz granice: a) lim 0 + ln b) lim 0 e )ctg c) lim 0 ctg d) lim + )e e) lim + π arctg) ln f) lim 0 + ln g) lim )tg π h) lim i) lim e ) j) lim cos π ln ) k) lim tg π l) lim 0 ln [ln + )] m) lim sin arcctg ) o) lim [+)e ] p) lim 0 sin [ s) lim 0 +ctg ) t) lim 0 ln + + ) ln +) w) lim 0 + ln ) ) lim + e ) y) lim 0 + n*) lim [ + ) q) lim ln ] ) e ] sin + r) lim 0 sin ) u) lim v) lim π tg ln tg) ) tg ) a) z) lim a tg π a ab) lim 0 + bc) lim ) e cd) lim ) tg ) de) lim 0 +[lnln + ))] ef) lim 0 + 5 +7 ln fg) lim 0 +tg) tg gh) lim 0 + tg 4 ln 5 hi) lim ij) lim 0 e + ) mn) lim +4 +8 qr) lim 0 [cos sin )] uv*) lim [e jk) lim a ) +b 0 kl) lim cos ) lm) lim 0 cos ) ) ) no) lim + op) lim arcsin ) 0 ) ] + rs) lim π arctg) vw) lim ) arcctg st) lim 0 e +7) 5 pq) lim tg ) 0 tu) lim sin ) 0 WSKAZÓWKA do uv) : Wyciągnij przed nawias e, a następnie skorzystaj z reguły de [ + ]. l Hôspitala, aby oszacować granicę lim ) e Zadanie 40. Zbadaj, czy do obliczenia poniższych granic można zastosować regułę de l Hôspitala. Oblicz te granice. a) lim + e e b) lim c) lim + sin +sin d) lim + +cos e) lim 0 cos sin Zadanie 4. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange a R n dla podanej funkcji f, punktu 0 oraz n N, gdy: a) f) =, 0 =, n = b) f) =, 0 =, n = Zadanie 4. Napisz wzór Maclaurina dla podanych funkcji z resztą R n : a) f) = sin, n = 4 b) f) = e, n N ustalone c) f) = cos, n = 4 6
4 Badanie funkcji danej równaniem y = f) Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema funkcji: a) f) = + 9 b) f) = )e + c) f) = ln d) f) = e) f) = e f) f) = e g) f) = e h) f) = + ) ln + ) i) f) = 4 4 4 + 4 + 4 j) f) = ) ln ) k) f) = ) ln + 4 l) f) = + )arctg π 8 ) m) f) = 4 n) f) = tg o) f) = e p) f) = ln ) + ln q) f) = ) +) +) r) f) = ) + + +... + n! n! e, n N s) f) = ) t) f) = arctg ln + 00 Zadanie 44. Korzystając z definicji uzasadnij, że podane funkcje mają ekstrema we wskazanych punktach: a) f) = +, 0 = b) f) = 4 00, 0 = 0 { { dla 0 dla c) f) = 0 dla = 0, 0 = 0 d) f) = dla >, 0 = Zadanie 45. Czy podane funkcje mają ekstremum w zerze? a) f) = b) f) = c) f) = Zadanie 46. Wyznacz ekstrema lokalne podanych funkcji. Rozstrzygnij, czy są to minima czy maksima. a) f) = ) +) b) f) = sin + cos c) f) = cos cos d) f) = ln + 0 e) f) = ln ln f) f) = g) f) = h) f) = i) f) = 5 j) f) = 4 k) f) = l) f) = e +) m) f) = arcsin + n) f) = e p) f) = sin + cos Zadanie 47. Posługując sie pochodnymi wyższych rzędów rozstrzygnij, czy podane funkcje osiągają ekstremum w zerze. Jeśli tak, to jest to minimum czy maksimum? a) f) = 4 b) f) = 4 c) f) = e + e + cos d) f) = Zadanie 48. Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji ciągłych. Wskazać punkty, w których funkcje te mają ekstrema lokalne. 7
a) b) Zadanie 49. Liczbę 8 przedstaw jako sumę takich dwóch składników, żeby suma ich sześcianów była najmniejsza. Zadanie 50. Funkcja f jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. przyjmuje ekstrema lokalne, jeśli Wskaż punkty, w których f f ) = 7) ) 0 ) 5 ) 6 + ) + 5) 9 + 0) ) 4. Zadanie 5. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji we wskazanym przedziale: a) f) = ln, [, e] b) f) = arctg, [0, ] c) f) =, [, ] d) f) = arcsin +, [, ] e) f) = + arctg ), [, ] Zadanie 5. Określ przedziały wypukłości / wklęsłości funkcji i wskaż punkty przegięcia: a) f) = + b) f) = arctg c) f) = ) +) e) f) = 9 5 e f) f) = ln e ) d) f) = )e g) f) = + ln cos h) f) = ln e i) f) = ln j) f) = e sin k) f) = e l) f) = log 5 ) e 5 m) f) = arccos 6 +9 n) f) = +) o) f) = + sin Zadanie 5. Wykorzystując pochodne wyższych rzędów rozstrzygnij, czy punkt 0, f0)) jest punktem przegięcia krzywej y = f), gdy: a) f) = b) f) = 6 c) f) = e + sin + cos jest malejąca i wklęsła jed- Zadanie 54. Wyznacz przedziały, w których funkcja f) = ln nocześnie. Zadanie 55. Uzasadnij, że funkcja f) = e jest różnowartościowa na przedziale, + ). Zadanie 56. Udowodnij, że funkcja f) = arctg+arcsin + ) jest stała na przedziale, + ) 8
Zadanie 57. Dana jest funkcja f) = { dla 0 dla > 0. Czy istnieje f 0)? Czy f ma w zerze ekstremum lokalne? Czy f ma w zerze punkt przegięcia? Zadanie 58 *). Dana jest funkcja f) = { sin dla 0 0 dla = 0. Uzasadnij, że f jest ciągła i różniczkowalna na R. Czy f jest funkcją klasy C na R? Czy f ma w zerze ekstremum lokalne? Czy f ma w zerze punkt przegięcia? Zadanie 59. Naszkicuj kształt wykresu funkcji f na podstawie wykresu jej pochodnej f. a) b) Zadanie 60. Na rysunku przestawiono wykres pierwszej i drugiej pochodnej pewnej funkcji f. Podaj przedziały monotoiczności i wypukłości funkcji f. Wskaż jej ekstrema lokalne i punkty przegięcia. Zakładając że f0) = 0, naszkicuj kształt wykresu funkcji f. Zadanie 6. Narysuj wykresy funkcji spełniających następujące warunki: a) lim f) = 0, lim 0 + f) =, f - parzysta b) lim f) =, lim 0 f) =, lim f) + ) = 0 c) lim f) =, lim 4 f) =, lim 4 + f) = 0 d) lim f) =, lim f) nie istnieje, f - nieparzysta 9
e) f nieparzysta, w = ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju, w = ma punkt przegięcia, = 5 to jej asymptota obustronna, w = 6 ma punkt niciągłości pierwszego rodzaju f) f jest okresowa o okresie podstawowym T =, w = ma maksimum lokalne, = 5 to asymptota pionowa lewostronna nie prawostronna), w = 8, 5 jest ciągła ale nie różniczkowalna Zadanie 6. Wyznacz asymptoty pionowe, ukośne, poziome podanych funkcji. W przykładach a)-e) naszkicuj wykres funkcji. a) f) = e b) f) = + c) f) = + 4 d) f) = arctg e) f) = 4 +7 4+4 f) f) = 6+ sin g) f) = h) f) = ln) 5 i) f) = j) f) = ln e + ) k) f) = arccos l) f) = e 4 m) f) = + 9 + e 9 n) y = arctg + o) y = + ) ln + + ) p) f) = 5 + 4 4)+) + ln ) q) f) = arcctg r) f) = 4 ++) +6 +)+) Zadanie 6. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f) = b) f) = e c) f) = e ) d) f) = ln e) f) = + cos f) f) = arcsin + g) f) = h) f) = + i) f) = log j) f) = 4 Odpowiedzi Zadanie. a) b) 9 c) d) e Zadanie. a) f ) = b) f ) = sin c) f ) = sin + cos d) f ) = sin ln cos e) f ) = ln f) f ) = 7 ln log +) g) f ) = e+5 e +5 +) Zadanie. a) f 0) = 0 b) f 0) nie istnieje c) f 0) = 0 d) f 0) nie istnieje e) f ) nie istnieje f) f 0) nie istnieje g) f 0) nie istnieje h) f ) = i) f n) = 0 j) f ) nie istnieje Zadanie 4. a) różniczkowalna na R\{0} b) różniczkowalna na R\{, } c) różniczkowalna na R \ {, } d) różniczkowalna na R \ {0, } e) różniczkowalna na R \ {} Zadanie 5. a) b =, a dowolne b) a = d =, b = 0, c dowolne c) a = 5, b = 5 Zadanie 7. a =, b =, nie jest wówczas różniczkowalna Zadanie 8. f 0) nie istnieje Zadanie 9. a) fa) af a) b) ga)f a) fa)g a) c) f 0)+f0) f 0) 0
Zadanie 0. f 0) [ + +... + k ] Zadanie. a) pochodna niewłaściwa równa b) różne pochodne jesnostronne niewłaściwe Zadanie. Funkcja f jest różniczkowalna w tych punktach, dla których f) 0. Zadanie 4. a) f ) = 4 + + 5 4 b) f ) = 9 ) c) f ) = ln + + + + ln d) f ) = 5 4 cos 5 sin + e +5) e) f ) = 4 7 +) +5) + 45 + f) f ) = 4 9 7 6 g) f ) = 4 4 h) f ) = i) f ) = 54 cos sin ) 5 + ) 4 8 5) + ctg + + j) f ) = e + 5 cos 5 4 sin + ) k) f ) = sin ln cos 4 + 4) + 5 sin 5 l) f ) = sin m) f ) = cos n) f ) = 9 + + 4 cos e sin 8 sin cos o) f ) = 8e ln ln p) f ) = 4 tg cos sin esin r) f ) = arctg s) f ) = + + t) f ) = + ln + ) u) f ) = v) f ) = + w) f ) = 6 6 ln + ) + tg) sin [cos ln tg) + +c) a+b cos ] ) f ) = + ) ln + ) + ) y) f ) = + arctg arctg) z) f ) = 7 sin 6 + + ) cos + + ln +) +) ln +) + e ln ln ) [ln ln ) + ln ] + ee ln [e ln + e ] ab) f ) = ln +) bc) f ) = cos ln sin log ) 7 + ) + 6cos + ) ln 7 cd) f ) = [arcsin )] + cos [sin sin )] cos sin ) cos de) f ) = a ) cosh + sinh 9 ef) f ) = [49 + ) 48 + + ) 49 4 ln + )] fg) f ) = 8 + 8 ln 8 8 log ) ln a ) arccos 8 ) gh) f ) = +) + ln 4 arcctg + ij) f ) = + ln +ln )[ ] jk) f ) = a + ln b ) b )a a )b [ln a + b a] b kl) f ) = [arcctg5 )] log + cos )) ) lm) f ) = [6 5 7 + + 6 7 + sin ln 7 4+)+ ln +cos ) ] arcctg5 + 5 ln 5 6 7 + + +5 ) +arctg 6 ) tg ) [ tg ) +ln +0 +[tg ) ] ] arctg 6 ) ln + ) +ln +0 +arctg 6 ) cos ) 4 + ) ln +arctg +ln +0) 4+ arctg mn) f ) = arcsin 6 cos )) ln 6 ) ) +ln +0 6 6 8 + 6 ) ) ) +ln +0) + 8 +4 sin )) ln tg 7 ) 0+5 +arcsin 6 cos 0+5 )) tg 7 ) tg7 ) 70+5 ) cos 7 ) tg 7 )5 ln 5 6 cos )) 0+5 ) g ) Zadanie 5. a) y g) = ln f)) f ) ln g)) f) b) y = f )g) f)g ) c) y = g)) f)) +g)) [f)) + g)) ] f)f ) + g)g )) Zadanie 6. i) f 4) = ii) f 0) = 0 iii) f ) = iv) g 5) = v) f 5) = Zadanie 7. a) f ) = 6 4 b) f ) = ) c) f ) = e sin cos + cos sin ) d) f ) = arctg + + e) f ) = [ln +) + ] Zadanie 8. f 0) = Zadanie 9. a) nie istnieje b) f 0) = 0
Zadanie 0. a) y = 6 b) y = c) y = 4 ) d) 4ln + ) 4 ln + ) Zadanie. w punktach, 7) oraz, 5) Zadanie. 4 π Zadanie. punkt, 0) Zadanie 4. a), ) b), 9 ) c), 4) 4 4 Zadanie 5. b =, c = Zadanie 6. nie Zadanie 7. a) + )e d b) + d Zadanie 8. a) 0, 04 b) 0, 97e c), 0 d) π + ) e) π + 0.05 80 4 Zadanie 9. 5 cm Zadanie. a) tak b) nie Zadanie 5. trzy licząc z krotnościami) pierwiastki leżące w przedziałach, ),, 4), 4, 5) Zadanie 6., 4) Zadanie 8. a) b) c) d) e) f) g) ln a h) i) 9 j) 6 b 50 k) l) m) n) o) 4 p) 4 q) r) 40 s) 6 t) 5 u) v) 0 9 4 w) ) 0 y) z) ln a b ab) bc) cd) de) ef) 0 fg) 0 gh) ln c d hi) ij) jk) 0 kl) lm) mn) no) op) Zadanie 9. a) 0 b) c) d) e) 0 f) 0 g) h) i) j) 0 k) 4 l) π π 0 m) n*) e o) p) 0 q) r) s) 0 t) u) v) w) ) e 4 y) z) ab) bc) cd) de) ef) e 5 7 fg) gh) hi) ij) e jk) ab e kl) lm) e mn) 4 no) e op) e 6 pq) qr) e rs) e π st) e 9 5 tu) e 6 uv) vw) 0 Zadanie 40. a) b) można, ale nie upraszcza to problemu c) d) e) nie można Zadanie 4. a) c, ) = )+ ) ) c ) 4, c, ) b) = + ) 8 + ) 6 c 5, Zadanie 4. a) sin = 4 + sin c), c 0, ) b) c+n)e c n, c 0, ) c) cos = + 4 cos c, c 0, ) n! 4 e = +! +! +... + n n )! + Zadanie 4. a) f rosnąca dla, ),, ), f malejąca dla, 0), 0, ), w = maksimum lokalne, w = minimum lokalne b) f rosnąca dla, 0),, ), f malejąca dla, ), 0, ), w = ± minimum lokalne, w = 0 maksimum lokalne c) f rosnąca dla e, ), f malejąca dla 0, ),, e), w = e minimum lokalne d) f rosnąca dla, 0), f malejąca dla 0, ), w = 0 maksimum lokalne e) f rosnąca dla, ), 4, ), f malejąca dla, ),, 4), w = maksimum lokalne, w = 4 minimum lokalne f) f rosnąca dla, ),
, ),, ), f malejąca dla, ),, ), w = minimum lokalne, w = maksimum lokalne g) f rosnąca dla, ), 0, ), f malejąca dla, 0),, ), w = ± maksimum lokalne, w = 0 minimum lokalne h) f rosnąca dla, ), f malejąca dla, ), w = minimum lokalne e e e i) f rosnąca dla, ), 4, 8), f malejąca dla, ),, 4), w = oraz = 4 minimum lokalne, w = maksimum lokalne j) f rosnąca dla +, ), e + e, ), f malejąca dla, + e ),, + e ), w = + e maksimum lokalne, w = + minimum lokalne k) f rosnąca dla 0, ), e, ), e f malejąca dla, e), w = maksimum lokalne, w = e minimum lokalne l) f rosnąca dla, 0),, ), f malejąca dla 0, ), w = 0 maksimum lokalne, w = minimum lokalne m) f rosnąca dla, ), f malejąca dla, ),, ), w = minimum lokalne, w = maksimum lokalne n) f rosnąca dla π, π), f 4 4 malejąca dla π, π), π, π), w = π minimum loklane, w = π maksimum lokalne 4 4 4 4 o) f rosnąca dla, ), 0, ), f malejąca dla, 0),, ), w = ± maksimum lokalne, w = 0 minimum lokalne p) f rosnąca dla 0, ), e, ), e f malejąca dla, ),, e), w = maksimum lokalne, w = e minimum lokalne e e q) f rosnąca dla, ), f malejąca dla ),,, ), w = maksimum lokalne r) Dlan parzystych, f malejąca, brak ekstremów, dla n parzystych f rosnąca dla < 0, malejąca dla > 0, w = 0 maksimum globalne) s) f rosnąca dla, 0), 0, ),, ), f malejąca dla, ), w = maksimum lokalne, w = minimum lokalne t) f malejąca dla 0, ), tj. w całej dziedzinie, brak ekstremów Zadanie 45. a) b) tak, minimum c) nie Zadanie 46. a) funkcja rosnąca w całej dziedzinie, brak ekstremów b) w punktach = ± π +kπ, k Z f ma maksima lokalne, w = lπ, l Z minima lokalne c) w punktach = ± π + kπ, k Z f ma minima lokalne, w = lπ, l Z maksima lokalne d) w = maksimum lokalne e) w = ±e minimum lokalne f) w = minimum lokalne g) w = 0 minimum lokalne e h) w = 0 minimum lokalne i) brak ekstremów j) w = 0 oraz = minima lokalne k) w = 4 minimum globalne l) w = 0 minimum lokalne m) w = minimum lokalne, w = maksimum lokalne n) w = ± maksimum lokalne, w = 0 minimum lokalne p) w = π + kπ, = π + kπ, = π + kπ, k Z minima lokalne, w = 5 π + kπ, = kπ, 4 4 = π + kπ, k Z maksima lokalne Zadanie 47. a) c) tak, minimum b) tak, maksimum d) nie Zadanie 48. a) w = 4 minimum lokalne, w = maksimum lokalne b) w = ± minimum lokalne, w = 0 maksimum lokalne Zadanie 49. 8 = 4 + 4 Zadanie 50. = oraz = 5 Zadanie 5. a) wartość najmniejsza f) = 0, wartość największa fe) = e b) wartość najmniejsza f0) = 0, wartość największa f) = π c) wartość najmniejsza f ) = f0) = 4 f) = 0, wartość największa f) = 7 d) wartość najmniejsza f0) =, wartość największa f±) = π e) wartość najmniejsza f) =, wartość największa f ) = + arctg
Zadanie 5. a) f wypukła dla, ), 0, ), f wklęsła dla, 0);, f )) punkt przegięcia b) f wypukła na R; brak punktu przegięcia c) f wypukła dla, ), f wklęsła dla, );, ),, f)) punkt przegięcia d) f wypukła dla, 0), 0, ), f wklęsła dla, );, 5 5 5 f)) punkt przegięcia e) f wypukła dla 0, 5 5), 5 6 5+ 5, ), f wklęsła dla, 0); 5 5, 5+ 5), 5± 5, f 5± 5)) punkt przegięcia 6 6 6 6 6 f) f wypukła dla, 0), f wklęsła dla, ); brak punktu przegięcia g) f wypukła dla e π +kπ, π +kπ), k Z, f wklęsła dla π +kπ, π +kπ), π +kπ, π +kπ), k Z; 4 4 4 4 π + k π, 4 fπ + k π)) punkt przegięcia h) f wypukła dla 4 e ),, f wklęsła dla 0, e ); e, f e )) punkt przegięcia i) f wypukła dla 0, e 5 ), f wklęsła dla 0, e 5 ); e 5, fe 5 )) punkt przegięcia j) f wypukła dla 0, arcsin 5 ), f wklęsła dla arcsin 5, π); arcsin 5, farcsin 5 )) punkt przegięcia k) f wypukła dla, 0), 8, ), f wklęsła dla 0, 8); 0, f0)) oraz 8, f8)) punkt przegięcia l) f wypukła dla, 5), 0, 5), czyli w całej dziedzinie; brak punktu przegięcia m) f wypukła dla, ),, ), f wklęsła dla, ); ±, f±)) punkt przegięcia o) f wypukła na R; brak punktu przegięcia Zadanie 5. a) tak b) c) nie Zadanie 54. e, 0) Zadanie 57. f 0) nie istnieje, w = 0 minimum globalne, 0, f0)) punkt przegięcia Zadanie 58. f nie jest ciągła w = 0, dla = 0 nie ma ani ekstremum, ani punktu przegięcia Zadanie 60. f rosnąca dla, 0),, ), f malejąca dla, ), 0, ), w = ± minimum lokalne, w = 0 maksimum lokalne, f wypukła dla, ),, ), f wklęsła dla, ),, f )) oraz, f)) to punkty przegięcia Zadanie 6. a) = 0 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w ± b) = 0 asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w ± c) = ± asymptota pionowa obustronna, y = asymptota pozioma w ± d) brak asymptot pionowych, y = π asymptota ukośna w, y = + π asymptota ukośna w e) = asymptota pionowa obustronna, y = asymptota ukośna w ± f) brak asymptot pionowych, y = 6 asymptota ukośna w ± g) = asymptota pionowa lewostronna, = asymptota pionowa prawostronna, y = asymptota ukośna w, y = asymptota ukośna w h) = 0 asymptota pionowa prawostronna, = 5 asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota pozioma w i) brak asymptot pionowych i ukośnych j) = asymptota pionowa lewostronna, y = + asymptota ukośna w ± k) brak asymptot pionowych, y = π asymptota pozioma w ± l) = e e asymptota pionowa obustronna, y = 0 asymptota pozioma w m) = ± asymptota pionowa obustronna, brak asymptot ukośnych n) = 0 asymptota pionowa prawostronna, y = π asymptota ukośna w, y = π asymptota ukośna w o) = asymptota pionowa prawostronna, y = + ) ln asymptota ukośna w ± p) =, = asymptota pionowa obustronna, = asymptota pionowa lewostronna, y = asymptota ukośna w q) brak asymptot pionowych,y = 0 asymptota pozioma w, y = π asymptota ukośna w r) = asymptota pionowa obustronna, y = + asymptota ukośna w 4