Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Transkrypt

1 Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Zadanie. Napisz definicje Heinego następujących granic: a) lim 0 f) = 0 b) lim f) = c) lim f) = d) lim e + f) = e) lim f) = Zadanie. Napisz definicje Cauchy ego następujących granic: a) lim 0 f) = 0 b) lim f) = e c) lim f) = d) lim + f) = e) lim f) = 5 Zadanie 3. Naszkicuj przykładowe wykresy funkcji f : R R, które spełniają jednocześnie wszystkie podane warunki: a) lim f) =, lim f) = 3, lim f) = 0 b) lim f) =, lim 0 f) = 0, lim 0 + f) =, lim f) = c) lim f) = 0, lim 3 f) =, lim f) = d) lim 0 f) nie istnieje, lim 4 f) = 4, lim 4 + f) =, lim f) = Zadanie 4. Stosując definicję Heinego granicy funkcji, wykaż że nie istnieją granice: a) lim sin b) lim 0 +e f) lim sin +) +sin c) lim 0 3 d) lim 3 e) lim e sin g) lim h) lim 0 cos i) lim tg Zadanie 5. Obliczając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją następujące granice: a) lim + b) lim 0 e c) lim 0 d) lim 0 e) lim sgn ) sgn 3 ) Zadanie 6. Niech lim 0 f) = oraz lim 0 g) = 5. Oblicz lim f) 3g) + f)g) )g) ] oraz lim g) f) 0 g) g)) )].

2 Zadanie 7. Podaj przykłady funkcji f i g takich, że nie istnieją granice właściwe ani niewłaściwe) lim 0 f), lim 0 g), ale istnieją granice właściwe: a) lim 0 f) + g)] b) lim 0 f) g)] c) lim 0 f) g) Zadanie 8. a) Uzasadnij, że lim 0 f 3 ) = g lim 0 f) = g. d) lim 0 f)] g) b) Podaj przykład funkcji f takiej, że istnieje lim 0 f 4 ), ale nie istnieje lim 0 f). Zadanie 9. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oblicz: a) lim a n n +a n n +...+a +a 0 ) b) lim +4 + c) lim 4 d) lim 4 + e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim n) lim l) lim m) lim o) lim 7 3 p) lim 0 q) lim r) lim ) s) lim 0 ++) ) 0 t) lim u) lim v) lim +m + 0 w) lim ) lim y) lim + + ) z) lim ) ab) lim bc) lim 0 +4 cd) lim 4 + de) lim 4 4 ) ef) lim ) fg) lim gh) lim kl) lim ) hi) lim 0 op) lim 0 sinh sinh pq) lim st) lim ij) lim lm) lim mn) lim 0 6 qr) lim 4 sin cos cos sin jk) lim no) lim 0 3 arctg rs) lim sin cos tg ) 3 0 sin +sin sin 3 sin + tu) lim sin ln + )) sin ln )] Wskazówka: wzór na różnicę sinusów) uv) lim arccos + ) Zadanie 0. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach oblicz: a) lim 0 sin b) lim +sin cos 3 ln c) lim d) lim + e) lim +) ln 3 +) f) lim e cos g) lim 0 h) lim Zadanie. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach oblicz: a) lim sin ) b) lim 0 c) lim 3 3 d) lim ctg Zadanie. a*) Wykorzystując definicję Cauchy ego granicy funkcji uzasadnij następujący fakt:

3 Jeśli funkcje f i g są określone w sąsiedztwie punktu 0 oraz lim 0 f) = 0, zaś funkcja g jest ograniczona, to wówczas lim 0 f)g) = 0. Powyższe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zastąpimy 0 przez ±. b) Wykorzystując powyższy fakt oblicz granice: lim sin, lim 0 cos, lim + sin, lim sin + sin ), lim arctg. Zadanie 3. Posługując się faktem lim 0 sin arcsin lim 0 =, lim 0 arctg = oraz lim 0 tg =, lim 0 sinα) α = uzasadnij, że =, dla α 0. Zadanie 4. Posługując sie faktem lim 0 + ) = e, oblicz: a) lim 0 log a +) a b) lim 0, gdzie a > 0 c) lim 0 +)α, gdzie α R Jakie granice otrzymujemy jeśli a = e? WSKAZÓWKA do b): Podstaw u = a i skorzystaj z podpunktu a). WSKAZÓWKA do c): Użyj podpunktu a). Zadanie 5. Korzystając ze znanych granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych takich jak sin tg arcsin arctg a lim 0 =, lim 0 =, lim 0 =, lim 0 =, lim 0 = ln a dla log a > 0, lim a +) 0 = log a e, lim 0 + ) = e, lim ± + ) +) = e, lim α 0 = α) oblicz: a) lim 0 sin 6 4 ] + tg 4 6 b) lim 0 c) lim sin 5 7 sin 0 + ] tg sin 3 tg d) lim sin ] + cos e) lim cos tg f) lim sin sin ) 0 g) lim 3 0 h) lim 0 sin 5 sin 3 sin i) lim 8 8 sin 8 8 ) j) lim +cos sin k) lim arcsin ) 4 l) lim 0 sin tg4 sin m) lim 4 sin 0 n) lim 3 ) sin 7 ) 0 sin 4 ) sin 6 ) o) lim 4 cos cos 4 sin sin 4 Wskazówka: wzory na sumy i różnice wartości funkcji tryg.) p) lim 0 cos cos 5 r) lim 0 sin 5 s) lim 0 sin +tg tg t) lim 0 )tg u) lim 0 ctg v) lim sin ctg w) lim 0 sin 3 ctg5 ) lim 0 arctg tg y) lim sin + ) z) lim sin ab) lim e 0 + ] 3 sin ] de) lim 0 sin ) 3 3tg) 3 +4 hi) lim sin ) 4 ef) lim 7 sin 7) 49 4 bc) lim 8 0 cd) lim e ] tg) tg tg5) fg) lim ) + ) ) ij) lim 0 sin 4 sin cos 5 5) cos 7 7) cos 9 9) cos 3 3) jk) lim )tg gh) lim 0 tg sin 3 3

4 kl) lim )tg tg lm) lim 7+0) cos 5 mn) lim sin 4 5) 0 cos ) sin sin ) no) lim sin 5 ) op) lim tg 3 4) sin +3 ) 7 49 ) ctg 47 )] tg7 7) 3 ] ln +) ln + pq) lim 0 qr) lim 3 ) ln+4 e 0 rs) lim ) ln cos ) st) lim 3 0 tu) lim e ln e uv) lim 0 ln cos ) sin vw) lim 0 + ) ctg Oblicz najpierw granicę ln + ) ctg ) w) lim 0 sin +arctg5+7 ln +3+sin )+e y) lim 0 + 3) 7 yz) lim + α) lim ) β) lim 5 + ) ) ) γ) lim + 3 δ) lim 3 4+) 6+ ε) lim +5+) + ζ) lim 3 ) η) lim 0 + sin θ) lim +3tg) ctg ι) lim 0 κ) lim ) + 3 µ) lim 3 4 ) 4 o) lim sin + sin ln ν) lim +) ξ) lim + ln 3 +) 0 + arcsin 3 3 arctg ) λ) lim +cos ) ) ) lim 4 sin )tg ρ) lim ln + ) ln σ) lim +tg +sin 0 τ) lim 3 0 +e ) v) lim + ) ϕ) lim ) log χ) lim a ) + +b + +c + 0, dla a, b, c > 0 a+b+c ) sin ψ) lim 0 + sin ω) lim + ) ln + ) + ) ln + ) + ln ] αβ) lim 3 5arctg 3) 6 ] sin 3 + 5) tg 3 6) 5arctg 3) βγ) lim 6 ] 3 3) arcsin 3 γδ) lim ) sin 3 + 5) tg 3 9) δε) lim 7 3 sin 8 )] tg + 3) sin ) ] Zadanie 6. Posługując się faktem lim log a = 0, dla a >, oblicz: a) lim 0 ln b) lim 0 sin c) lim ln ) Zadanie 7. Obliczając granice lewo- i prawostronne, zbadaj czy istnieją granice, bądź też oblicz podane granice jednostronne: a) lim b) lim ) c) lim +3 4 d) lim 3 9 e) lim 3 9 f) lim e 3 g) lim 0 )e h) lim 0 +e i) lim 5 e 5 j) lim 5 e +5 k) lim arctg l) lim 0 cos m) lim 0 8 n) lim ctg arcctg o) lim + ln p) lim 0 cos sin q) lim ++ r) lim 3 s) lim tg ) t) lim 0 e e + u) lim + sgn ) sgn 3 ) v) lim 0 Zadanie 8. Obliczając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją granice: 4

5 { sin dla > 0 a) lim 0 f), gdzie f) = sin dla < 0 { dla 0, ] b) lim f), gdzie f) = dla, ] c) lim 0 sgn d) lim 0 f), gdzie f) = e) lim 0 f), gdzie f) = Zadanie 9. Dana jest funkcja f) = { arctg dla > 0 0 dla 0 sin 3 dla > 0 dla = 0 +6 dla < 0 + dla 0, ) dla, ) dla, 3] a) Naszkicuj jej wykres. b) Badając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją granice lim f), lim f).. Zadanie 0. Zbadaj, czy istnieją granice lim 0 cos Zadanie. Dany jest wykres funkcji f: oraz lim 0 cos. Oblicz, jeśli istnieją: a) f 4), lim 4 f) b) f), lim f) c) f6), lim 6 f) Odpowiedzi do rozdziału Zadanie 5. a) b) d) nie c) e) tak Zadanie oraz 04 Zadanie 7. a) f) = cos, g) = cos b) f) = sin, g) = sin c) f) = g) = 5 + cos d) f) = ), g) = Zadanie 8. b) f) = sgn 5

6 Zadanie 9. a) gdy a n > 0, gdy a n < 0 b) c) 4 d) e) f) 7 g) h) 0 i) 5 j) k) 5 l) 6 m) n) 3 o) 7 p) 3 q) 0 r) s) t) 0 u) 0 v) m w) ) y) z) ab) bc) 4 cd) de) 6 4 ef) fg) gh) hi) ij) jk) granica nie sitnieje kl) lm) mn) no) 0 op) pq) qr) rs) st) 3 tu) 0 uv) 3 Zadanie 0. a) 0 b) c) d) 3 e) log 3 f) 0 g) h) 3 Zadanie. a) b) c) d) Zadanie. b) 0 we wszystkich przykładach Zadanie 5. a) 7 b) 6 c) d) e) f) g) h) i) 8 j) k) l) m) 6 n) o) p) r) s) t) u) v) w) 3 ) 0 5 y) ln 4 ln 8 z) ab) + ln 3 ln bc) cd) 46 de) ef) 0 fg) ln 7 ln gh) hi) ij) jk) kl) lm) mn) 0 no) op) pq) qr) rs) 0 st) tu) uv) vw) w) 3 y) e yz) α) e 0 β) e 3 γ) e e e δ) e ε) e ζ) e η) e θ) e 3 ι) e κ) e 5 λ) e µ) 5 ν) ξ) o) 3 ) e ρ) σ) τ) e v) ϕ) ln χ) a a b b c c ) a+b+c ψ) e ω)0 αβ) βγ) 0 γδ) 3 δε) 3 7 Zadanie 6. a) 0 b) c) Zadanie 7. a) lewostronna, prawostronna b) granica istnieje c) lewostronna, prawostronna d) lewostronna, prawostronna e) lewostronna, prawostronna f) lewostronna, prawostronna 0 g) lewostronna 0, prawostronna h) 0 granica istnieje i) lewostronna 0, prawostronna j) lewostronna 0, prawostronna k) lewostronna, prawostronna l) m) 0 granica istnieje n) granica istnieje o) p) q) 0 r) s) 0 t) u) v) 0 granica istnieje Zadanie 8. a) lewostronna 0, prawostronna nie istnieje b) granica istnieje c) lewostronna, prawostrona d) 0 granica istnieje e) 3 granica istnieje Zadanie 9. b) Pierwsza z granic istnieje i wynosi, druga nie istnieje. Zadanie 0. Granice nie istnieją. Zadanie. a) nie istnieje, b) 4, nie istnieje c) oraz 5 6

7 Ciągłość funkcji jednej zmiennej Zadanie. Zbadaj ciągłość funkcji w ich dziedzinach). W punktach nieciągłości zbadaj ciągłość jednostronną. Określ rodzaj punktów nieciągłości. { 5 dla 5 a) f) = +5 0 dla = 5 { c) f) = sin dla 0 0 dla = 0 dla, ) e) f) = dla = g) f) = 0 dla > dla 0 0 dla 0 < < log dla b) f) = d) f) = { sin dla 0 dla = 0 { dla + dla > dla f) f) = dla < < 0 dla 0 { cos dla h) f) = dla < i) f) = lim n n n n +n j) f :, ) R, f) = lim n + n k*) f) = sin ) WSKAZÓWKA do k): Dla obliczenia lim k f), k Z zastosuj tw. o trzech funkcjach. l) f) = lim e n + n, R m) f) = lim e n + n n 4 n + n +, 0 n Zadanie 3. Oblicz jeśli istnieje) lim 0 f). Czy funkcja f jest ciągła w zerze? a) f) = c) f) = e 0 ; > 0 5 ; = 0 sin 3 : < 0 e ; > 0 arctg ; = 0 5 +) sin 3 sin ; < 0 b) f) = e 3 ; > 0 5 ; = 0 tg 3 ; < 0 Zadanie 4. Naszkicuj przykładowy wykres funkcji f, która posiada wszystkie podane własności: jest parzysta, w = 6 ma punkt nieciągłości pierwszego rodzaju, w = 3 ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju. Zadanie 5. Dla jakich m funkcja f) = ciągła w zerze? { cos ; 0 m ; = 0 jest lewotronnie / prawostronnie Zadanie 6. Dla jakich wartości parametrów a, b, c R funkcja f jest ciągła? { 3 + dla a) f) = b) f) = a + 5 dla < dla 4 3 c) f) = + dla 3 a + b dla 3 < d) f) = dla > 3 + dla a + b dla < < 4 + e dla < 0 lim 0 + e ) dla = 0 sin a dla > 0 7

8 e) f) = sin a dla < 0 3 dla 0 < + +b ) b dla > c dla = Zadanie 7. Podaj przykład funkcji ograniczonej na 0, ], która nie osiąga na 0, ] ani swojego kresu górnego, ani kresu dolnego. Zadanie 8. Korzystając z własności Darbou uzasadnij, że podane równania mają rozwiązania we wskazanych przedziałach. a) = 4 w 0, ) b) e = w, ) c) ln = 3 w, 3) Zadanie 9. Uzasadnij, że równanie e = + + ma pierwiastek dodatni. Odpowiedzi do rozdziału Zadanie. a) ciągła na R b) ciągła na R c) ciągła na R d) ciągła na R \ {},w = prawostronnie ciągła, = punkt nieciągłości I rodzaju e) ciągła na, )\{}, = punkt nieciągłości I rodzaju, funkcja nie jest również jednostronnie ciągła w tym punkcie f) ciągła na R g) ciągła na R \ {0}, w = 0 prawostronnie ciągła, = 0 punkt nieciągłości I rodzaju h) ciągła na R \ { }, w = prawostronnie ciągła, = punkt nieciąfłości I rodzaju i) ciągła na R \ {0}, = 0 punkt nieciągłości I rodzaju, funkcja nie jest również jednostronnie ciągła w tym punkcie j) ciągła na, ) oraz na, ), = punkt nieciągłości I rodzaju, funkcja nie jest również jednostronnie ciągła w tym punkcie k) ciągła na R l) ciągła na R m) ciągła na R \ {0}, = 0 punkt nieciągłości II rodzaju Zadanie 3. a), nieciągła b), nieciągła c), ciągła 3 Zadanie 5. Dla m = f jest lewostronnie ciągła w zerze, dla m = f jest prawostronnie ciągła w zerze. Zadanie 6. a) a = 8 b) a =, b = 3 c) a =, b = d) a = e) a =, b = 5 5 0, c = { ; 0, ) Zadanie 7. f) = 0 ; = 0 lub = 8