Wstęp. zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution).
|
|
- Ignacy Białek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wstęp,, S P przestrzeń probabilistycza (Probability space), zbiór wszystich zdarzeń elemetarych (sample space), S zbiór zdarzeń, (evets), P prawdopodobieństwo (probability distributio). P : S R
2 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. (Radom variable) Zmieą losową X azywamy fucję (pratyczie ażdą) przyporządowującą zdarzeiom elemetarym liczby rzeczywiste. X : Ω R
3 (doładiej: przeciwobrazy zbiorów borelowsich powiy ależeć do - ciała zdarzeń S, : X ( x S ). ) x R
4 Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fucję F: R R oreśloą wzorem: F( x) P( X x) P ((, x)) (distributio fuctio of the radom variable X). X
5 Własości dystrybuaty (properties): a) F jest fucją iemalejącą (odecreasig), b) F jest fucją lewostroie ciągłą (leftcotious), c) F( ) 0; F( ),
6 d) dystrybuata zmieej losowej wyzacza jedozaczie jej rozład, e) P( a X b) F( b) F( a); a b f) P( X a) F( a ) F( a); gdzie F( a ) ozacza graicę prawostroą, (jeśli a jest putem ciągłości dystrybuaty to P(X = a ) = 0).
7 Zmiea losowa jest soowa (dysreta) jeśli zbiór wszystich jej wartości jest sończoy lub przeliczaly. (A radom variable is said to be of the discrete type if it taes values belogig to a set which is at most coutable)
8 Rozład zmieej losowej soowej często oreślamy za pomocą fucji prawdopodobieństwa (probability fuctio): P( X x ) p (własość: p ; p 0) Liczby p azywamy soami (jump), a wartości x putami soowymi (jump poits).
9 Zmiea losowa X o dystrybuacie F jest ciągła jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R A radom variable X is said to be of the cotiuous type if there exists a o-egative fuctio f(x) such that for every real umber x the followig relatio holds: x F( x) f ( t) dt x R where F(x) is the distributio fuctio of X. The fuctio f(x) is called the probability desity of the radom variable X.
10 gdzie f jest fucją spełiającą warui: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i azywamy ją gęstością prawdopodobieństwa (probability desity ) zmieej losowej X.
11 Własości zmieej losowej ciągłej: a) b) c) a, P( X a) f ( x) dx F( a) P( a P( a X b) P( a X b) b a X b) P( a f ( x) dx F( b) F( a) P( X b) f ( x) dx F( b), b X b) d) P( X a) 0, dla dowolego a R ; (bra putów soowych), e) F jest fucją ciągłą i prawie wszędzie różiczowalą F ( x) f ( x) (rówość zachodzi dla putów ciągłości gęstości). Wyzaczając gęstość przez różiczowaie dystrybuaty, w putach w tórych F ie jest różiczowala moża przyjąć, że gęstość jest rówa zero.
12 Twierdzeie Lebesgue'a o rozładzie dystrybuaty. Każdą dystrybuatę F moża przedstawić w postaci gdzie F c F cf c3f3 c c c3, c, c, c3 F - dystrybuata soowa, F - dystrybuata ciągła, F 3 - dystrybuata osobliwa, 0
13 Wartość oczeiwaa (Expectatios). Ozaczeie EX lub m. Dla zmieej losowej soowej EX i x i p i (jeśli ewetualy szereg jest zbieży bezwzględie, taie szeregi są "odpore" p. a zmiaę olejości wyrazów).
14 Dla zmieej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewetuala cała iewłaściwa jest zbieża bezwzględie).
15 Własości wartości oczeiwaej (properties) a) Ec = c; c stała, b) E(aX) = ae(x), c) E(X + Y) = EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y iezależe, to E(XY) = EXEY g) Jeśli Y g(x ), to EY i g( x ) p i g( x) i f ( x) dx gdy X gdy X soowa ciagla ciągła,
16 Wariacja (Variace). Ozaczeie D X lub lub VX. D X = E(X EX) Dla zmieej losowej soowej D X ( xi EX ) p Dla zmieej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx i
17 Własości wariacji (properties) a) D c = 0; c stała, b) D (ax) = a D (X), c) D (X + b) = D X, b stała, d) X, Y iezależe, to D (X Y) = D X + D Y e) D X = E(X ) (EX).
18 Wyorzystaie własości e) D X i x x i p i EX gdy X soowa f ( x) dx EX gdy X ciagla ciągła
19 Odchyleie stadardowe (Stadard deviatio). Ozaczeie DX lub. DX D X
20 Momet rzędu ( - liczba aturala) (momet of order ) m W szczególości m E m X EX własość e) wariacji moża zapisać D X = m m.
21 Własość. Jeśli istieje m to istieje m s dla ażdego s <.
22 Momet cetraly rzędu ( - liczba aturala) (cetral momet) E X EX Zauważmy, że w szczególości = 0, = D X.
23 Rozłady soowe (radom variable of the discrete type) Rozład jedoputowy (oe-poit distributio) Oreślamy: P(X = c) = gdzie c ustaloa liczba.
24 EX = c, D X = 0 (tylo te rozład ma zerową wariację!!!)
25 Rozład dwuputowy (zerojedyowy) (two-poit distributio, zero-oe distributio) Niech p ( 0, ) będzie ustaloą liczbą. Oreślamy: P(X = 0) = q, P(X = ) = p ; gdzie q = p. Umowa: 0 - poraża (failure) - suces (success)
26 EX = p, D X = pq
27 Rozład dwumiaowy (biomial distributio) Dla daych p ( 0, ), N oreślamy fucję prawdopodobieństwa P( X ) p q gdzie q = p = 0,,,...,. (wzór Beroulliego)
28 Sprawdzeie 0 P( X ) 0 p q p q
29 EX = p, D X = pq
30 Przyład Rzucamy 4 razy ostą sześcieą. Jaie jest prawdopodobieństwo, że w co ajmiej 3 rzutach liczba ocze będzie podziela przez 3?.
31 Szuae prawdopodobieństwo to P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4), gdzie sucesem jest uzysaie 3 lub 6 ocze, więc p = /3.
32 Zatem ) ( 3 X P ) ( 0 4 X P ) ( 3) ( 3) ( X P X P X P
33 Przyład Obliczymy wartość oczeiwaą rozładu dwumiaowego. p q p p q p p q p q p EX 0 ) ( )! )!( ( )! ( )!!(!
34 Rozład geometryczy (geometric distributio) X - liczba prób Beroulliego poprzedzających pierwszy suces P( X ) pq q = - p = 0,,,...
35 Sprawdzeie 0 P( X ) 0 pq p q
36 EX = q/p; D X = q/p a q p 9 q q
37 Rozład Poissoa (Poisso distributio) Dla > 0 oreślamy fucję prawdopodobieństwa P( X )! e = 0,,,...
38 Sprawdzeie!! ) ( e e e e X P
39 EX = D X = a 3 m, , m
40 Przyład Obliczymy wartość oczeiwaą rozładu Poissoa. e e e e EX 0 )! (!
41 dla > 9 rozład Poissoa moża przybliżać rozładem N(, ), zachodzi wtedy P( X ) 0,5 0, 5 gdzie - dystrybuata rozładu N(0, )
42 Rozład Poissoa (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych (pratyczie 30) i małych p (pratyczie p 0,) przybliżać rozład dwumiaowy (przybliżeie Poissoa) p q e! gdzie p
43 Rozłady ciągłe (radom variable of the cotiuous type) Rozład jedostajy (uiform distributio) Rozład tórego gęstość jest stała w pewym przedziale azywamy jedostajym (rówomierym). Gęstość rozładu jedostajego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b)
44 Poieważ gęstość ta ma oś symetrii w pucie x = (a + b)/ to EX = (a+b)/
45 Poażemy, że DX = (b a) /
46 Przyład Najpierw obliczymy EX b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a Zatem 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D
47 a 0, 8
48 Rozład wyładiczy (expoetial distributio) Rozład te występuje często w zagadieiach rozładu czasu między zgłoszeiami (awariami) lub czasu oczeiwaia a obsługę w systemach olejowych. Gęstość rozładu wyładiczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x 0 x 0 (szczególy przypade rozładu gamma)
49 dystrybuatą tego rozładu jest fucja ax e x 0 F( x) 0 x 0 (uzasadieie: F'(x) = f(x))
50 Przyład Obliczymy EX EX 0 D X xae a ax ax ax dx xe e a a 9 0 a d = 0 Uwaga 0 x e ax m dx! a! a! a ( ) j j! (a > 0) j
51 Własość. ) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie olejowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozład Poissoa o parametrze T, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłączych przedziałach czasu są iezależe to czas X między olejymi zgłoszeiami ma rozład wyładiczy o parametrze a = /. ) Dla dowolych t, T > 0 mamy T X P t X T t X P (własość brau pamięci) T X P e e e t X P T t X P t X P t X T t X P t X T t X P Ta ta a T t ) ( Jest to jedyy rozład ciągły o tej własości.
52 Rozład gamma ) (0,, p ) ( ) ( x x p e x x f p x p Uwaga. - fucja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) ( (dla p = jest to rozład wyładiczy o parametrze a = /
53 EX = p; D X = p a 6 3 p p m p( p )...( p )
54 Rozład Erlaga a > 0, m N m a x f ( x) ( m )! 0 m e ax x 0 x 0 (szczególy przypade rozładu gamma) Dla m = jest to rozład wyładiczy. Uwaga. Suma m iezależych zmieych losowych o rozładzie wyładiczym z parametrem a ma rozład Erlaga.
55 EX = m/a; D X = m/a a 6 3 m d = (m - )/a m m m( m )...( m ) a
56 Rozład ormaly (Gaussa) N ( m, ) (ormal distributio) Dla m R, ( 0, ) Oreślamy gęstość rozładu f ( x) e ( xm) x R
57 Uwaga Jeśli X ma rozład N(m, ) to zmiea losowa Y = (X m)/ ma rozład N(0, ) (taie przeształceie azywamy stadaryzacją).
58 Wartości dystrybuaty dla argumetów ujemych wyzaczamy a podstawie zależości ( x) = (x)
59 Przyład Czas wyoaia pewego detalu (mi.) jest zmieą losową o rozładzie ormalym N(m; ). Wiadomo, że 80% robotiów wyouje te detal dłużej iż 0 miut a 60% robotiów dłużej iż miut. a) wyzacz parametry rozładu czasu wyoaia detalu m i, b) jai odsete robotiów wyouje te detal w czasie rótszym iż 6 miut? X czas wyoaia detalu.
60 P ( X 0) 0,8 stąd m 0 0,84 m 0, P ( X ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy uład rówań otrzymamy m =,85; = 3,39. P( X 6) P X,85 6,85 3,39 3,39 (,0) (,0) 0,07, 7% PY,0
61 Prawo trzech sigm (the "three-sigma" rule) Jeśli X ma rozład N(m, ) to P( m X m ) P( m X m ) 0,683 0,955, P ( m3 X m3 ) 0,997 Ostatia rówość świadczy o tym, że chociaż rozład ormaly ma gęstość różą od zera a całej prostej to pratyczie iemal wszystie realizacje supiają się w przedziale ( m 3, m 3 ) własość tą azywamy prawem trzech sigm., m 38 m + 38 m
62 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ -WYMIAROWEJ. CIĄGI LOSOWE, S, P- ustaloa przestrzeń probabilistycza. X = (X, X,..., X ) - zmiea losowa - wymiarowa (wetor losowy, ciąg losowy). X : R (fucja borelowsa) P : X R [0, ] - rozład zmieej losowej X.
63 Dystrybuata F ( x,..., x ) P X x,..., X X azywamy zmieą losową soową jeśli jej zbiór wartości jest sończoy lub przeliczaly. x
64 X azywamy zmieą losową ciągłą jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci F x x ( x,..., x ) f ( u,..., u ) du... du dla pewej ieujemej fucji f zwaej gęstością.
65 Uwaga..W putach ciągłości fucji f zachodzi: ( ) F( x x,... x..., x ) f ( x,..., x.dla A ( R ) mamy P X ( A)... f ( x,..., x ) dx... dx A ).
66 Rozłady waruowe. Jeśli P,..., ( X x j,..., X xj ) 0 to rozład zmieej losowej soowej ( - ) wymiarowej oreśloej wzorem: P ( X x, j,..., X x j X x j,..., X x j ) P P ( X,..., ( X x j x, j,..., X..., X x j x ) j ) azywamy rozładem waruowym zmieej losowej X,..., X pod waruiem, że X x,..., X x j j. Jeśli gęstość f,..., 0 to rozład zmieej losowej ciągłej ( - ) wymiarowej oreśloej wzorem: f ( x,..., x x,..., x ) f ( x f ( x,,..., x..., x azywamy rozładem waruowym zmieej losowej X,..., X pod waruiem, że X x,..., X x. ) )
67 Niezależość zmieych losowych. Zmiee losowe X, X,..., X są iezależe jeśli F( x,..., x ) F ( x) F ( x )... F ( x ) dla dowolych x, x,..., x R. gdzie F i - dystrybuaty rozładów brzegowych jedowymiarowych. Dla zmieych losowych soowych odpowiedi warue ma postać: P( X x j,..., X xj ) P ( X x )... P ( X j j dla dowolych x j,..., xj R Dla zmieych losowych ciągłych odpowiedi warue ma postać: f ( x,..., x ) f( x) f ( x )... ( x dla dowolych x, x,..., x R. f ) x )
68 Parametry (mogą ie istieć ) Wartość oczeiwaa E ( X ) EX, EX,..., EX.
69 Wariacja ( X ) D X, D X,...,D X D.
70 Momet (zwyczajy) rzędu l + l l l l m l E X X... X l... l, l
71 Momet cetraly rzędu l + l l l l X EX X EX E... l... l l,
72 Macierz owariacji K = [ ij ], gdzie ij E cov( X i, X j E X i EX i X j EX j X X EX EX ) i j i j Uwaga ii = D X i, jest wariacją i - tej sładowej.
73 Macierz K jest wadratowa, symetrycza i słabo dodatio oreśloa ( w szczególości ma wyzaczi ieujemy).
74 Macierz orelacji ij cov( X, X ) DX i i DX Uwaga ii =. j j R = [ ij ], gdzie
75 Wielowymiarowy rozład Beroulliego. Dla daych N, p = [p, p,...,p ] T taiego, że 0 p i oraz i i = [i, i,...,i ] T gdzie i j {0,,..., } i j j oreślamy P(X = i) = i 0! i! i! i0 i p0 p...!... i! p i gdzie p 0 p i ; i i 0 i j. j
76 Wielowymiarowy rozład wielomiaowy. Jeśli w defiicji rozładu Beroulliego mamy p o = 0, i j j to otrzymay rozład azywamy rozładem wielomiaowym. Wielowymiarowy rozład Poissoa. Dla daego = [,,..., ] T oraz i = [i, i,...,i ] T gdzie i j {0,,..., } oreślamy P(X = i) = i... e i i! i 0! gdzie 0 i i.
77 Rozład ormaly - wymiarowy. K - macierz owariacyja, iech detk 0. Zmiea losowa - wymiarowa ma rozład ormaly - wymiarowy gdy gęstość tej zmieej losowej wyraża się wzorem: ) ( ) ( exp ) )( ( exp ),...,, ( ) ( /, / m x L m x L m x m x l L x x x f x f T j j j j gdzie ) ( i i X E m dla i =,,..., L = [l j ] j, =,,..., jest macierzą odwrotą do K. Dla = warue K 0 jest rówoważy waruowi.
78 Poieważ macierz K ma wtedy postać K to ) ( L Zatem gęstość rozładu ormalego - wymiarowego N(m, m,,, ) moża zapisać astępująco: exp ), ( m y m y m x m x y x f Powyższa fucja gęstości ma stałą wartość f(x, y) = h a elipsie: cost m y m y m x m x o środu w pucie (m, m ). gdzie l h. Dla 0 osie główe mają rówaia:
79 4 m x m y Dla = 0 osie rozpatrywaej elipsy są rówoległe do osi uładu współrzędych. Zauważmy, że gdy to jeda oś się wydłuża, a druga sraca, zależość między zmieymi staje się ściśle liiowa. Osie powyższej elipsy tworzą z osią OX ąty i + / gdzie tg
80 Fucja charaterystycza: ( t) expim T t t T Kt gdy = to ( t, t ) expi t t m t m t t t Twierdzeie. Dowoly rozład brzegowy ormalego rozładu -wymiarowego jest rozładem ormalym.
81 Twierdzeie. Jeśli sładowe ormalego rozładu -wymiarowego są parami iesorelowae to są iezależe.
82 Zbieżość ciągów losowych Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X z prawdopodobieństwem jeśli P : lim X ( ) X ( ) Średiowadratowa zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest średiowadratowo zbieży do zmieej losowej X jeśli lime X X 0 Rozpatrując te rodzaj zbieżości załadamy, że dla występujących tu zmieych losowych (X ), X istieje sończoy momet rzędu. Nieiedy stosuje się zapis od limit i mea ). l.i.m. X X (srót
83 Stochastycza zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest stochastyczie (wg prawdopodobieństwa) zbieży do zmieej losowej X jeśli lub rówoważie limp X X 0 X X 0 lim P 0
84 Zbieżość ciągu zmieych losowych wg dystrybuat (wg rozładu) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X wg dystrybuat jeśli ciąg ich dystrybuat F jest zbieży do dystrybuaty F w ażdym pucie jej ciągłości (F jest dystrybuatą zmieej losowej X). Zależości miedzy zbieżościami. ZBIEŻNOŚĆ Z PRAWDOPODOBIEŃSTWEM ZBIEŻNOŚĆ ŚREDNIOKWADRATOWA ZBIEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA ZBIEŻNOŚĆ WG DYSTRYBUANT zbieżość do stałej (tz. gdy graica ma rozład jedoputowy)
85 Przyład. Rozpatrzmy ciąg zmieych losowych soowych oreśloych a przedziale [0, ) w astępujący sposób gdy ; X ( ) 0 gdy [0, ) ; P( X ) ; P( X 0) Ciąg X 0, X 0, X, X 03, X 3, X 3,... zbieży stochastyczie do zera bo 0 lim P X lim 0 jest Natomiast ciąg te ie jest zbieży w żadym pucie przedziale [0, ) bowiem dla ażdego ustaloego putu otrzymujemy rozbieży ciąg zer i jedye (zera i jedyi występują a dowolie daleich miejscach).
86 Przyład. Ciąg zmieych losowych X ciągłych o rozładach jedostajych a przedziałach (0, /) jest zbieży do rozładu jedoputowego X ( P ( X 0) ) wg dystrybuat.
87 Uwaga. Putowa graica ciągu dystrybuat ie musi być dystrybuatą. Jeśli ciąg fucji charaterystyczych odpowiadających rozpatrywaemu ciągowi dystrybuat jest putowo zbieży do fucji ciągłej to graica tych dystrybuat jest dystrybuatą
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoUWAGI O GRANICZNYCH ROZKŁADACH EKSTREMALNYCH STATYSTYK POZYCYJNYCH
D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 5-6 (9-0) 009 Rafał Korzoe (Wrocław) UWAGI O GRANICZNYCH ROZKŁADACH EKSTREMALNYCH STATYSTYK POZYCYJNYCH Abstract. I may practical issues to deal with etreme
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoWykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoH brak zgodności rozkładu z zakładanym
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Test zgodości H : rozład jest zgody z załadaym 0 : H bra zgodości rozładu z załadaym statystya: p emp i p obszar rytyczy: K ;, i gdzie liczba ategorii p Przyład: Wyoujemy
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
Bardziej szczegółowo1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego
WYKŁD 4 3 Przestrzei Odwzorowaia Rząd acierzy Twierdzeie Croecera- Capellego 3 Przestrzeń Przestrzeń wetorowa Baza przestrzei wetorowej 78 (Przestrzeń ) Niech ozacza zbiór wszystich ciągów -eleetowych
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowonpq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi,
Zadaie aa jest fucja gęstości zmieej losowej X: 9 8 Wyzacz: F (X ; Q ; ; ( X ; 9 9 P X P Zadaie ( Statystya II, X a b F( b F( a X e! P m ( ; m E( X ( X V ( X X R P ( X R ( X V ( X jest fucją gęstości zmieej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski Zmienne losowe jednowymiarowe
Literatura (References) J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, 00. A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka, 000, M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu
Bardziej szczegółowoSMO. Procesy stochastyczne WYKŁAD 6
Procesy stochastycze WYKŁAD 6 SMO Systemy masowe obsługi (zastosowaie procesu urodzeń i śmierci) - przyłady: - cetrala telefoicza, - staca bezyowa, - asa biletowa, - system omputerowy. Założeia: - liczba
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH
.Kowalsi Wybrae zagadieia z rocesów sochasyczych EEMENTY SYSTEMÓW KOEJKOWYCH WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowalsi Warszawa 8 .Kowalsi Sysemy Obsługi ieraura:.kowalsi, maeriały dydaycze z rocesów sochasyczych.
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowo