Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Transkrypt

1 Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau Defiicja Niech X ma rozkła o ystrybuacie F (x), a X - rozkła o ystrybuacie F (x) Ciąg zmieych losowych X, X 2, jest zbieży weług rozkłau (i słabo zbieży) o zmieej losowej X, jeżeli F (x) F (x) la każego takiego x, w którym F (x) jest ciągła Ozaczeie: X X, F F Fakt (a) Jeżeli X (b) Gy X X, to X X X, gzie (X = a) = la pewej stałej a, to X (c) Jeżeli X z pr X, to X X X Uwaga: W zbieżościach z prawopoobieństwem, stochastyczej, w przestrzei L r graicza zmiea losowa X jest określoa z prawopoobieństwem, tz jeżeli X i X są graicami ciągu X, to (X = X ) = W zbieżości słabej określoy jest tylko rozkła graiczy aego ciagu i każa zmiea losowa X o takim rozkłazie może reprezetować słabą graicę tego ciągu

2 Twierzeie e Moivre a-laplace a Cetrale twierzeie graicze S Z WL Beroulliego wiemy, że p > ɛ 0 la owolego ɛ > 0, gzie S to ilość sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p ytaie: S Jaka jest szybkość zbieżości, tz la jakiego mamy p > ɛ < δ, gzie δ > 0 jest ustaloe? Iymi słowy, la jakiego prawopoobieństwo, że popełimy błą rzęu ɛ przyjmując częstość otrzymaą z prób jako prawopoobieństwo sukcesu p, było małe rzęu δ? Twierzeie e Moivre a-laplace a (XVIII w) Niech S bęzie liczbą sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p Wtey S p = S ES Y D2 S gzie Y ma staarowy rozkła ormaly N (0, ) Iaczej mówiąc, la owolego x R S p < x Φ(x) gzie Φ(x) = x e t2 2 t to ystrybuata staarowego rozkłau ormalego N (0, ) Uwaga: Twierzeie e Moivre a-laplace a mówi o tym, że liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p po staaryzacji (tz uormowaiu o zmieej losowej o śreiej 0 i wariacji ) ąży weług rozkłau o staarowego rozkłau ormalego, gy Zatem la użych liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p ma asymptotyczie rozkła ormaly N (p, ) Rówoważie, częstość występowaia sukcesów S ( ) ma asymptotyczie rozkła ormaly N p, p( p) Oszacowaie okłaości przybliżeia w twierzeiu e Moivre a-laplace a: sup x R la pewej stałej C < 0, 8 S p < x Φ(x) C p2 + ( p) 2 2

3 Zastosowaie twierzeia e Moivre a-laplace a Oszacowaie prawopoobieństwa błęu w WL Beroulliego: S p S > ɛ = p > ɛ 2 Φ ɛ p( p) la ostateczie użych Błą oszacowaia ie przekracza, 6 p2 + ( p) 2 2 rzybliżoy sposób obliczaia (S < k) Z twierzeia e Moivre a-laplace a moża w przybliżoy sposób szybko obliczyć prawopoobieństwa wystąpieia k sukcesów w próbach Beroulliego la użych i p z wętrza przeziału (0, ), oległych o 0 i o (S < k) = (S < k 0, 5) k 0, 5 p Φ (S k) = (S < k + 0, 5) k + 0, 5 p Φ (S k) = (S > k 0, 5) k 0, 5 p Φ (S > k) = (S > k + 0, 5) k + 0, 5 p Φ z błęem, który ie przekracza 0, 8(p2 + ( p) 2 ) k + 0, 5 p k 0, 5 p (S = k) = (k 0, 5 < S < k + 0, 5) Φ Φ z błęem, który ie przekracza, 6(p2 + ( p) 2 ) rzykłay o za 6 3

4 Cetrale Twierzeie Graicze WL Beroulliego (tw Borela) to szczególy przypaek WL la ciągu iezależych zmieych losowych o jeakowym rozkłazie o skończoej śreiej (gy rozkła te jest zerojeykowy B(, p)) oobie, twierzeie e Moivre a-laplace a jest szczególym przypakiem ogóliejszego Cetralego Twierzeia Graiczego (CTG) Lieberga-Lévy ego: Cetrale Twierzeie Graicze Lieberga-Lévy ego Niech (X ) bęzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jeakowym rozkłazie, przy czym 0 < D 2 X = σ 2 < Ozaczmy m = EX (ta wartość oczekiwaa istieje a mocy założeia, że istieje wariacja) Wówczas S m σ Y, gzie Y ma staarowy rozkła ormaly N (0, ) Iaczej mówiąc, la owolego x R gzie Φ(x) = x ( S m σ < x ) Φ(x) e t2 2 t to ystrybuata staarowego rozkłau ormalego N (0, ) Oszacowaie okłaości przybliżeia w CTG Lieberga-Lévy ego: Nierówość Berry-Essea Niech (X ) bęzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jeakowym rozkłazie, przy czym E X 3 < oato iech m = EX, σ 2 = D 2 X > 0 (ta wartość oczekiwaa i wariacja istieją a mocy założeia o rozkłazie) Wówczas sup x R ( ) S m σ < x Φ(x) C E X m 3 σ 3, la pewej stałej C, która spełia ierówość C < 0, 8 4

5 Uwagi: Jeżeli zmiee losowe X maja iezerową skończoą wariację, to o szacowaia szybkości zbieżości w WL Kołmogorowa moża stosować metoy aalogicze o tych otyczacych WL Beroulliego, opartych a twierzeiu e Moivre a- Laplace a 2 Twierzeie e Moivre a-laplace a, CTG Lieberga-Lévy ego to przykłay cetralych twierzeń graiczych CTG la zmieych o różych rozkłaach to p twierzeie Lieberga-Fellera, twierzeie Lapuowa 3 CTG Lieberga-Lévy ego to wyikaie: istieje iezerowa wariacja = zbieżość uormowaych sum o staarowego rozkłau ormalego Iterpretacja CTG Lieberga-Lévy ego: Jeżeli wielkość fizycza jest opisaa zmieą losową i jest wyikiem sumowaia wielu iezależych jeakowych statystyczie efektów, przy czym rozkła efektu ma skończoą wariację, to wielkość ta ma asymptotyczie rozkła ormaly rzykłay o za 62 5