Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Transkrypt

1 Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski A- p.223

2 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości średiej Twierdzeie Rolle a Zbieżość Symbole O i o 2/20

3 Czym jest aaliza umerycza? Aaliza umerycza obejmuje: tworzeie, badaie, aalizę algorytmów, których celem jest rozwiązywaie umerycze problemów matematyczych (fizyczych) wykoywaie obliczeń aukowych. 3/20

4 Podstawowe pojęcia Graica fukcji Ciągłość fukcji Pochoda fukcji lim 0 f L c f L c 00 lim f f c c d f f c f ' c f lim d c c c 4/20

5 Podstawowe pojęcia Zbiór fukcji ciągłych 2 f f C C / C g g Zbiór fukcji, których pochoda jest ciągła C C C h h h C C 5/20

6 Podstawowe pojęcia 3 si gdy 0 f, f C, f C 0 gdy 0 2 Zbiór fukcji, których -ta pochoda jest ciągła C C 2 C C Zbiór fukcji, których wszystkie pochode są ciągłe 2 C C C C g e g C 6/20

7 Wzór Taylora Jeżeli to f C a, b k0 f a, b f f c c E k! k k E f c! c c k k f f 0 E k0 k! E f! 7/20

8 Szereg Taylora si cos k 2k 2k! k 0 k 2k k 0 k0 k 2 k! k k l k k k 8/20

9 Twierdzeie o wartości średiej Szczególy przypadek wzoru Taylora dla = 0 Jeżeli f f C a, b ' a, b to ' f f c f c ' f b f a f b a f ' f h f h 2h 9/20

10 Twierdzeie Rolle a Szczególy przypadek twierdzeia o wartości średiej f Ca, b : f ' 0 Jeżeli f ' a, b ab, to f a f b 0/20

11 Wzór Taylora (2) Jeżeli f C a b,, h a, b to k h k f h f E h k0 k! h E h f! h h /20

12 Wzór Taylora(2) Wyrazić za pomocą wzoru Taylora A +h i zaleźć wartość przybliżoą dla 0,000 f A l f A A k h h A A l A E h k k! k 2, l 0 0 l , /20

13 Zbieżość W wielu przypadkach program komputerowy geeruje ciąg przybliżeń rozwiązaia. Zbieżość określa jak szybko uzyskamy dostateczie dobre przybliżeie. lim e2, , , , , , , /20

14 Zbieżość, 0, 2 0, ,5 0, ,5, 46667, ,4423 4/20

15 Rząd zbieżości Niech będzie ciągiem zbieżym do. Zbieżość jest co ajmiej liiowa jeśli istieją stała c < i liczba całkowita N takie, że c N * * * Zbieżość jest co ajmiej adliiowa jeśli istieje ciąg zbieży do 0 i liczba całkowita N takie, że * * N 5/20

16 Rząd zbieżości Niech będzie ciągiem zbieżym do. Zbieżość jest co ajmiej kwadratowa jeśli istieją stała dodatia C i liczba całkowita N takie, że * * 2 C N Zbieżość jest co ajmiej rzędu a jeśli istieją stała dodatia C, stała a> i liczba całkowita N takie, że * * a C N * 6/20

17 Symbole O i o Niech i będą dwoma różymi ciągami. a jeśli istieją takie stałe i, że 0 dla każdego. jeśli lim 0. Istieje ciąg liczb ieujemych a zbieży do 0 taki, że. O a Ca C 0 o a a 7/20

18 Symbole O i o Jeśli to ciąg dąży do 0 co ajmiej tak szybko jak. Jeśli oraz 0, a 0 to ciąg dąży do 0 szybciej iż. O a oraz 0, a 0 a o a O 5 2 e O a o l o l e o 2 8/20

19 Symbole O i o dla fukcji Notacji tej używa się ie tylko dla ciągów. 3 5 si O 0 6 Istieją otoczeie puktu 0 i stała C takie, że w tym 3 otoczeiu 5 si C. 6 Istieją takie stałe i, że dla każdego r. r C f C g f O g 2 O 9/20

20 Symbole O i o dla fukcji * f O g C f C g jeśli istieją takie stałe i otoczeie puktu takie, że w tym otoczeiu. * Podobie * f o g f jeśli lim 0. * g 20/20