dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że"

Sabina Stachowiak
4 lat temu
Przeglądów:

1 KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l ; +3 ; ; m ; +a ++b, a, b R; ń o p !!! 6!! ; k, k N ; ó + ; ; r + ; s a, a > 0 ; ś ; t ; u ; w x +x+x +x 3 +x, x ; x e +/ ; y k x, x R, k N ; z! e +p, p N ; ż Obliczyć sume = a, jeśli a = x x a ; b, x ± ; + x x c q, q < d q, q < ; e ++ ; f +3+6 ; g +++3 ; h i ; j ; + + ; k = Obliczyć sume Obliczyć sume 5 p,q! = = = k p q, tu każda liczba p q wyste puje jede raz awet wtedy, gdy = 6 Wykazać, że dla dowolego zbieżego =0 g liczb dodatich b, którego graica jest, że Nie ma wie c ajwoliej zbieżego a o wyrazach dodatich istieje taki a b jest szeregiem zbieżym =0

2 Idukcja, ierówości, kresy, graice 7 Wykazać, że dla dowolego rozbieżego a o wyrazach dodatich istieje g =0 taki liczb dodatich b, którego graica jest 0, że Nie ma wie c ajwoliej rozbieżego a b jest szeregiem rozbieżym 8 Dowieść, że szereg a jest bezwzgle die zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego gu b zbieżego do 0 szereg a b jest zbieży 9 Dowieść, że jeśli a jest dowolym giem liczb dodatich rzeczywistych, to szereg a jest zbieży Niech P = lim +a +a +a + a + a + a = Wyrazić sume za pomoca P [, ] 0 Dowieść, że szereg a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy a > Dowieść, że szereg =0 =0 Dowieść, że jeśli szereg =0 a jest zbieży bezwzgle die wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 a + a jest zbieży, to g a ma skończoa graice = Podać przyk lad świadcza cy o ieprawdziwości twierdzeia odwrotego 3 Dowieść, że jeśli a jest ściśle rosa cym giem liczb dodatich, to szereg = a a + jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy g a jest ograiczoy Dowieść, szereg jest bezwzgle die zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego = a gu b zbieżego do 0 szereg 5 Dowieść, że jeśli = jest ograiczoy, to szereg 6 Dowieść, że szereg wtedy, gdy = a b jest zbieży = a + a <, lim a = 0 i g sum cze ściowych a b jest zbieży = a b jest zbieży dla każdego zbieżego b wtedy i tylko a + a < = 7 Dowieść, że szereg a b = jest zbieży dla każdego cze ściowych jest ograiczoy, wtedy i tylko wtedy, gdy = = b b, którego g sum = a + a < i lim a = 0 8 Niech a = = b Wykazać, że iloczy szere a i b jest rozbieży 9 Czy ze zbieżości a wyika zbieżość a? 0 Czy ze zbieżości a o wyrazach dodatich wyika zbieżość a? Czy ze zbieżości a wyika zbieżość a 3? =

3 Idukcja, ierówości, kresy, graice Czy ze zbieżości a o wyrazach dodatich wyika zbieżość a 3? 3 Udowodić aste puja ce twierdzeie Cesàro: Jeśli szeregi i sa zbieże i dla każdego zachodza wzory c = lim Udowodić, że jeśli oba szeregi 5 Niech sx = =0 =0 a =0 a i b i, s = c 0 + c + + c, to i=0 s0 + s + + s = a b a, = a b = =0 =0 =0 b i ich iloczy sa zbieże, to zachodzi rówość = a 0 b + a b + + a b 0 =0 x+ +! i cx = =0 zbieże dla każdej liczby rzeczywistej x 6 Udowodić, że prawdziwe sa rówości: x! Udowodić, że oba szeregi sa =0 a cx + sx = dla każdej liczby x R ; b cxcy sxsy = cx + y dla dowolych x, y R ; c cxsy + sxcy = sx + y dla dowolych x, y R, gdzie cx, sx sa szeregami zdefiiowaym w poprzedim zadaiu 7 Dowieść, że jeśli g a sk lada sie z liczb dodatich oraz < lim a szereg jest zbieży =0 a Wsk: porówać szereg a z szeregiem, < p < g p 8 Dowieść, że jeśli g a sk lada sie z liczb dodatich oraz > lim a szereg jest rozbieży =0 a b a + = g, to a +, to 9 Podać przyk lad takiego gu a o wyrazach dodatich dodatich, dla którego zachodzi rówość lim a a + = i szereg a jest rozbieży =0 30 Podać przyk lad takiego gu a o wyrazach dodatich dodatich, dla którego zachodzi rówość lim a a + = i szereg a jest zbieży 3 Dowieść, że jeśli ierosa cy g a sk lada sie z liczb dodatich a szereg =0 zbieży, to lim a = 0 Czy twierdzeie odwrote jest prawdziwe? 3 Niech wyrazy zbieżego = a be da dodatie Udowodić, że dla każdego k N zbieże sa rówież szeregi a i k a a + a +k = 33 Dowieść, że jeśli x, to + x x + x 8 x3 6 < 0,005 = 3 Dowieść, że jeśli szereg =0 a jest bezwzgle die zbieży i b = a 0+a + + a +, to 3 =0 a jest

4 Idukcja, ierówości, kresy, graice zachodzi rówość =0 a = =0 b 35 Za lóżmy, że wyrazy rozbieżego a sa dodatie i s = a + a + + a dla = =,, Dowieść, że szereg a a +a jest rozbieży; b c e = = a s jest zbieży; d a + a = może być zbieży lub rozbieży = = a s a jest rozbieży; + a jest zbieży; 36 Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej x istieje dok ladie jede taki g liczb ca lkowitych ieujemych a =, że: dla każdego zachodzi ierówość a, przy czym jest oa jest ostra dla ieskończeie wielu liczb aturalych, oraz x = a +! a + 3! a 3 + Dowieść, że x Q wtedy i tylko wtedy, gdy dla prawie wszystkich zachodzi rówość a = 0 37 Dowieść, że jeśli 0 < x, to istieje dok ladie jede taki g liczb aturalych, że < k k k 3 oraz x = k + k k + k k k 3 +, przy czym liczba x jest wymiera wtedy i tylko wtedy, gdy istieje taka liczba aturala 0, że dla 0 zachodzi rówość k = k 0 38 Czy zbieżość a wyika z tego, że dla każdej liczby p N zachodzi wzór lim a + + a a +p = 0? 39 Szereg =0 a jest zbieży Czy wyika sta d zbieżość : a a + a + a + a 3 + a 8 + a 7 + a 6 + a 5 + a 6 + a 5 + a + a 3 + a + a + a 0 + a 9 + a a 7 + a 6 + ; b a + a + a 3 + a + a 5 + a 7 + a 6 + a 8 + a 9 + a + a 3 + a 5 + a 0 + a + a + a 6 + a a 3 + a a 3 +? 0 Dowieść, że szereg Dowieść, że szereg l = l = jest rozbieży jest zbieży Dla jakich a R szereg = l a jest zbieży? 3 Dla jakich a R szereg = a l jest zbieży? Dla jakich a R szereg = a e a jest zbieży? 5 Czy szereg = l jest zbieży? 6 Niech a be dzie giem liczb dodatich Udowodić, że aste puja ce trzy waruki sa rówoważe: i szereg = a jest zbieży; ii g p o wyrazie p = + a + a + a jest zbieży; iii istieje taka liczba k N, że g q o wyrazie q = a k a k+ a ma graice dodatia i skończoa Uwaga Jeśli a dla każdego, to moża przyja ć, że k = 7 Obliczyć sume 8 Obliczyć sume = cos π 5 = 5+cos π

5 9 Czy szereg Idukcja, ierówości, kresy, graice = +π si 50 Wykazać, że szereg = 5 Dowieść, że l = + 5 Czy szereg jest zbieży? Jeśli tak, to czy bezwzgle die? si jest rozbieży ! e jest zbieży? = 53 Dowieść, że jeśli N, to zachodzi wzór l+ l = = Korzystaja c z wzoru z poprzediego zadaia obliczyć l i l 5 z dok ladoś do pie ciu miejsc po przeciku bez użycia sprze tu elektroiczego 55 Dla jakich x R szereg jest zbieży? a = p x, p R ; b = 3 + x ; c! =! x + ; g = i d = e = a x, a 0, ; f = x ; j k l = m = l = x ; x ; h = x ; + cos π x ;, gdzie a > 0, b > 0 ; a + b x+ = = 0l x, l to liczba cyfr liczby 56 Wykazać, że arctg = 3π 57 Wykazać, że = arctg + + = π = si x ; px ; 5

Podobne dokumenty

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10. Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,