d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

Transkrypt

1 d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω) є d (- ;x i ]} jest zdarzeiem losowym. Odwzorowaie X: Ω R azywamy 1-wymiarowym wektorem losowym (zmieą losową), jeśli dla każdego x є R zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω) є (- ;x]} jest zdarzeiem losowym. {ω є Ω: X(ω) є (- ;x]} = {ω є Ω: X(ω) x } = X -1 ((- ;x])

2 Ad. 1 Rozważamy jedokroty rzut moetą O zdarzeie elemetare, wyrzuciliśmy orła R zdarzeie elemetare, wyrzuciliśmy reszkę Zbiór zdarzeń elemetarych Ω = {O, R} Odwzorowaie X: Ω R zdefiiowae astępująco: ω O R X(ω)=x j 0 1 P(X=x j )=p j jest zmieą losową poieważ dla dowolego x є R 1) x < 0 {ω: X(ω) є (- ;x]} = 2) x є [0;1) {ω: X(ω) є (- ;x]} = {O} 3) x є [1; ) {ω: X(ω) є (- ;x]} = {O, R} = Ω p 1 + p 2 = = 1

3 Ad. 2 Rzucaie sześcieą kostką do gry tak długo, aż pojawi się szóstka A₁ zdarzeie elemetare, wyrzuciliśmy 6 za pierwszym razem, A₂ zdarzeie elemetare, wyrzuciliśmy 6 za drugim razem, A₃ zdarzeie elemetare, wyrzuciliśmy 6 za trzecim razem,. A k zdarzeie elemetare, wyrzuciliśmy 6 za k-tym razem. Zbiór zdarzeń elemetarych Ω = {A 1, A 2, A 3,,A k, } Odwzorowaie X: Ω R zdefiiowae astępująco: ω A₁ A₂ A₃ A k X(ω)=x j k P(X=x j )=p j ⅙ ⅙(⅚) ⅙(⅚) 2 ⅙(⅚) k-1 jest zmieą losową poieważ dla dowolego x є R 1) x < 1 {ω: X(ω) є (- ;x]} = 2) x є [1;2) {ω: X(ω) є (- ;x]} = {A 1 } 3) x є [2;3) {ω: X(ω) є (- ;x]} = {A 1, A 2 } itd. p 1 + p 2 + p p k + = ⅙+⅙(⅚)+⅙(⅚) 2 + +⅙(⅚) k-1 + = p i = ⅙(⅚) i-1 =(?)

4 Ad. 3 Sprawdzamy liczbę mszyc pojawiających się a koiczyie A₀ zdarzeie elemetare, zaleźliśmy 0 3 mszyce A₁ zdarzeie elemetare, zaleźliśmy 4 7 mszyc A₂ zdarzeie elemetare, zaleźliśmy 8 11 mszyc A₃ zdarzeie elemetare, zaleźliśmy mszyc. A 9 - zdarzeie elemetare, zaleźliśmy mszyc Zbiór zdarzeń elemetarych Ω={A 0, A 1, A 2,,A 9 } Odwzorowaie X: Ω R zdefiiowae astępująco: ω A 0 A 1 A 2 A k A 9 X(ω)=x j 1,5 5,5 9,5 37,5 P(X=x j )=p j 0,02 0,08 0,11 0,01 jest zmieą losową poieważ dla dowolego x є R 1) x < 1,5 {ω: X(ω) є (- ;x]} = 2) x є [1,5;5,5) {ω: X(ω) є (- ;x]} = {A 1 } 3) x є [5,5;9,5) {ω: X(ω) є (- ;x]} = {A 1, A 2 } itd. p 0 + p p 9 = 1

5 Ad. 4 Zliczamy liczbę oworodków o daej wadze [g]. A 1 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (1500;2500] A 2 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (2500;3500] A 3 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (3500;4500], itd. A 7 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (7500;8500] Odwzorowaie X: Ω R zdefiiowae astępująco: ω A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 X(ω)=x j P(X=x j )=p j 0,02 0,12 0,3 0,38 0,12 0,05 0,01 jest zmieą losową poieważ dla dowolego x є R mamy: 1) x < 2000 {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = Ø 2) x Є [2000;3000) {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = {A 1 } 3) x Є [3000;4000) {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = {A 1, A 2 }, itd. 4) x Є [8000; ) {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = {A 1, A 2,,A 7 } = Ω p 1 + p 2 + p p 7 = 1

6 Szereg rozdzielczy wagi oworodków prosty skumuloway Waga dzieci (w gramach) Liczba dzieci Częstość i dzieci w i Waga dzieci (w gramach) Skumulowaa liczba dzieci Dystrybuata empirycza (1500;2500] 2 0,02 (2500;3500] 10 0,12 (3500;4500] 26 0,3 (4500;5500] 33 0,38 (5500;6500] 10 0,12 (6500;7500] 4 0,05 (7500;8500] 1 0,01 (1500;2500] 2 0,02 (2500;3500] 12 0,14 (3500;4500] 38 0,44 (4500;5500] 71 0,83 (5500;6500] 81 0,94 (6500;7500] 85 0,98 (7500;8500] 86 1 przedziały klasowe w i = i / częstość dzieci w klasie

7 Miary tedecji cetralej Moda (wartość modala) to ajczęściej występująca wartość zmieej X. W przypadku, gdy kilka wartości jest osiągaych taką samą liczbę razy, wówczas każda z ich jest modą. Jeśli cecha X przyjmuje wartości {x 1, x 2, x 3,, x }, wówczas jej wartością średią (oczekiwaą, przeciętą) azywamy liczbę x = p i x i W przypadku szeregu rozdzielczego mamy średią ważoą: x = w i x i = 1 i x i

8 Ad. 4 Zliczamy liczbę oworodków o daej wadze [g]. A 1 - zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (1500;2500] A 2 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (2500;3500] A 3 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (3500;4500], itd. A 7 zdarzeie elemetare, arodziy dziecka o wadze (7500;8500] Odwzorowaie X: Ω R zdefiiowae astępująco: ω A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 X(ω)=x j P(X=x j )=p j 0,02 0,12 0,3 0,38 0,12 0,05 0,01 jest zmieą losową poieważ dla dowolego x є R mamy: 1) x < 2000 {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = Ø 2) x Є [2000;3000) {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = {A 1 } 3) x Є [3000;4000) {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = {A 1, A 2 }, itd. 4) x Є [8000; ) {ω: Z(ω) Є (- ;z]} = {A 1, A 2,,A 7 } = Ω p 1 + p 2 + p p 7 = 1 x = 4650

9 Miary tedecji cetralej Mediaą (wartością środkową) cechy X, przyjmującej wartości {x 1, x 2, x 3,, x }, azywamy środkowy wyraz ciągu (x (1), x (2), x (3),, x () ), gdy jest liczbą ieparzystą lub średią arytmetyczą dwóch wyrazów środkowych, gdy jest liczbą parzystą. Uwaga Ciąg (x (1), x (2), x (3),, x () ) powstaje przez iemalejące uporządkowaie wartości {x 1, x 2, x 3,, x }, czyli x (1) x (2) x (3) x ()

10 Miary rozrzutu Niech p є (0;1) Jeśli cecha X przyjmuje wartości {x 1, x 2, x 3,, x }, wówczas kwatylem rzędu p cechy X azywamy liczbę x (k), taką że k 1 < p k i ozaczamy q p. Uwaga Kwatyl rzędu p to liczba, która dzieli (iemalejąco uporządkoway) ciąg wartości daej cechy a części w proporcjach 100%p i 100%(1-p). Kwartyl to kwatyl rzędu p=k/4 dla k=1, 2, 3. Zatem pierwszy kwartyl to Q 1 =q 1/4 drugi kwartyl to mediaa Q 2 =q 1/2 trzeci kwartyl to Q 3 =q 3/4 ostęp między kwartylowy Q 3 - Q 1

11 Miary rozrzutu Jeśli cecha X przyjmuje wartości {x 1, x 2, x 3,, x }, wówczas jej średi błąd (przecięte odchyleie od średiej) defiiujemy astępująco d = p i x i x W przypadku szeregu rozdzielczego mamy średi błąd: d = gdzie x to wartość średia. Uwaga w i x i x = 1 i x i x Moża zdefiiować odchyleie przecięte wartości próbki od pewej stałej a astępująco d = p i x i a

12 Miary rozrzutu Jeśli cecha X przyjmuje wartości {x 1, x 2, x 3,, x }, wówczas jej wariacją azywamy liczbę s 2 = p i x i x 2 W przypadku szeregu rozdzielczego mamy wariację: gdzie x to wartość średia. Uwaga s 2 = w i x i x 2 = 1 i x i x 2 Moża pokazać, że wariacja ma astępującą własość s 2 = 1 i x 2 i Odchyleie stadardowe s 2 = s x 2

13 Współczyik korelacji liiowej Pearsoa jest opisową miarą siły i kieruku zależości korelacyjej dwóch cech mierzalych. Jeśli cecha X przyjmuje wartości {x 1, x 2, x 3,, x l }, cecha Y wartości {y 1, y 2, y 3,, y m }, wówczas współczyik korelacji liiowej wyraża się wzorem r xy = cov(xy) s x s y = m l j=1 p ij x i x y j y l p i x i x 2 j=1 m p j y j y 2 W daych zgrupowaych w tablicę korelacyją wartość współczyika korelacyjego wyraża się wzorem r xy = 1 1 j=1 m l ij x i y j x y l i x 2 i x 2 1 j=1 m j y 2 j y 2

14 Współczyik korelacji liiowej Pearsoa Ozaczeia liczość próby i liczość odpowiadająca zmieej X, j liczość odpowiadająca zmieej Y, x - średia arytmetycza zmieej X y - średia arytmetycza zmieej Y l j=1 m i = j = x i - wartość środka i-tego przedziału klasowego zmieej X y j - wartość środka j-tego przedziału klasowego zmieej Y

15 Przykładowa bibliografia 1. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza w zadaiach. cz. II Statystyka matematycza, PWN, Warszawa 1986, 2. J. Ombach, Wprowadzeie do metod probabilistyczych wspomagae komputerowo MAPLE, PWSZ, Nowy Sącz 2006, 3. J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2012, 4. A. Plucińska, E. Pluciński, Rachuek prawdopodobieństwa. Statystyka matematycza. Procesy stochastycze, WNT, Warszawa 2000.