40:5. 40:5 = υ5 5p 40, 40:5 = p 40.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40."

Michał Tomczak
8 lat temu
Przeglądów:

1 Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje się więc w tzw portfele Suma składek wpływających do portfela powia wystarczyć a wypłaty odszkodowań Przykład Rozważmy portfel 50 polis a dożycie, z czasem trwaia 5 lat, dla 40-latków Każda polisa jest a sumę zł i od każdej pobieraa jest składka 0000A Te składki tworzą fudusz portfela Zakładamy, że ie ma żadych iych kosztów Jakie jest prawdopodobieństwo, że fudusz zbakrutuje, tz że ie wystarczy a pokrycie zobowiązań? Na początku mamy A = υ5 5p 40, a po akumulacji + r A = p 40 Całkowita wypłata jest zmieą losową Niech T, T,, T 50 będą przyszłymi czasami życia osób ubezpieczoych w tym portfelu Zakładamy, że te zmiee są iezależe Niech X k = T k 5 Wtedy całkowita wypłata wyosi i iewypłacalość pojawi się, gdy Prawdopodobieństwo tego zdarzeia wyosi Pr 0000 X k, X k > p 40 X k > p X k 50 5 p 40 > p 405 q 40 Zmiea 50 X k ma rozkład Beroullego z parametrami = 50, p = 5 p 40 Poieważ prawdopodobieństwo 5 p 40 obliczoe a podstawie publikacji GUS Trwaie życia w 009r wyosi 0,9800 dla mężczyz i 0,9933 dla kobiet, więc p = λ jest zbyt duże, aby przybliżać te rozkład rozkładem Poissoa Zatem w celu oszacowaia prawdopodobieństwa powołamy się a cetrale twierdzeie graicze Twierdzeie Moivre a-laplace a Jeśli X, X,, X są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie zero-jedykowym, tz PrX k = = p, PrX k = 0 = p = q, to lim Pr X k p u = Φu, pq

polisa jest a sumę 0 000 zł i od każdej pobieraa jest składka 0000A Te składki tworzą fudusz portfela Zakładamy, że ie ma żadych iych kosztów Jakie jest prawdopodobieństwo, że fudusz zbakrutuje, tz

2 gdzie Φu jest dystrybuatą rozkładu ormalego Zatem Pr 0000 X k > p 40 Φ0 = Te przykład pokazuje, że składka etto to zbyt mało, aby zapewić wysokie prawdopodobieństwo realizacji zobowiązań Stuprocetowe bezpieczeństwo zapewiłaby kwota , ale składki jej ie zapewią Postawimy sobie skromiejszy cel: wyliczymy kwotę h 0 jaką ależy mieć w chwili t = 0 aby z prawdopodobieństwem 0,95 zaspokoić wszystkie roszczeia ubezpieczoych Poszukamy rozwiązaia w postaci h 0 = 50 C + ɛa, gdzie C = 0000 jest sumą ubezpieczeia Liczba ɛ to tzw współczyik względego arzutu bezpieczeństwa relative safety loadig, azyway też współczyikiem arzutu a ryzyko Pytamy więc o miimalą wartość h 0, dla której Pr CX k h 0 0, 95 Zastosujemy przybliżeie wyikające z cetralego twierdzeia graiczego Twierdzeie cetrale twierdzeie graicze Jeśli X, X,, X są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z wartością oczekiwaą EX k = m i wariacją VarX k = σ, to lim Pr X k m σ u = Φu, gdzie Φu jest dystrybuatą rozkładu ormalego Obliczamy: Ma być Pr CX k h 0 Φ Φ A A CX k 50 C + ɛa = Xk A = X k A 50 VarX A A 50 VarX 0,95 = Φ,645,

zaspokoić wszystkie roszczeia ubezpieczoych Poszukamy rozwiązaia w postaci h 0 = 50 C + ɛa, gdzie C = 0000 jest sumą ubezpieczeia Liczba ɛ to tzw współczyik względego arzutu bezpieczeństwa relative

3 czyli A A,645 Zatem ajmiejszą liczbę ɛ wyzaczymy z rówaia Poieważ A = υ5 5p 40, więc,645 A A ɛ = 50A ɛ =, p 40 Podstawiając prawdopodobieństwo 5 p 40 0,9800 dla mężczyz i 0,9933 dla kobiet obliczamy ɛ Dla mężczyz ɛ 0, 033, a dla kobiet ɛ 0, 09 Ozacza to, że jeśli będzie się pobierać składkę o 3,3% większą dla mężczyz bądź o,9% większą dla kobiet, to z prawdopodobieństwem 0,95 ie astąpi ruia tego portfela Przykład Portfel polis a życie w wysokości C płatych a koiec roku śmierci, dla 40-latek Niech Z, Z, ozaczają zormalizowae tz w wysokości wartości obece tych polis Zakładamy, że zmiee Z k są iezależe Pytamy, ile musi wyosić h 0 = C + ɛa 40, by Pr CZ k h 0 0, 95 Poieważ zalezieie rozkładu Z k jest trude, awet przy jakimś aalityczym prawie śmiertelości, zastosujemy przybliżeie wyikające z cetralego twierdzeia graiczego Twierdzeie 3 cetrale twierdzeie graicze Jeśli X, X,, X są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z wartością oczekiwaą EX k = m i wariacją VarX k = σ, to lim Pr X k m σ u = Φu, gdzie Φu jest dystrybuatą rozkładu ormalego 3

ruia tego portfela Przykład Portfel polis a życie w wysokości C płatych a koiec roku śmierci, dla 40-latek Niech Z, Z, ozaczają zormalizowae tz w wysokości wartości obece tych polis Zakładamy, że

4 Obliczamy Pr CZ k h 0 CZ k C + ɛa 40 = Zk A 40 ɛa40 = Z k A 40 VarZ ɛa 40 VarZ ɛa40 Φ A 40 A 40 Aalogiczie jak w Przykładzie ma być ɛa40 Φ Φ, 645, A 40 A 40 ɛa40, 645 A 40 A 40 Zatem ajmiejszą liczbę ɛ wyzaczymy z rówaia ɛ =, 645 A 40 A 40 A40 Poieważ A 40 = k=0 υk+ kp 40 q 40+k, więc wykorzystując tablice trwaia życia dla kobiet i przyjmując techicza stopę procetową r = 5% zajdujemy przy pomocy arkusza kalkulacyjego A 40 = 0,5089, A 40 = 0,04046 i obliczamy ɛ =, 645 0,0773 0,5089 =,45638 Liczba ɛ zależy, jak widać, od Zatem h 0 = C +, ,5089 Np dla = 00 mamy h 0 = 7, 75C, a dla = 000 mamy h 0 = 57, 743C Moża też wyrazić wartość W t tego portfela w chwili t Przypuśćmy, że koleje chwile śmierci osób z tego portfela to T < T < < T Wtedy h 0 e δt 0 t < T h0 e W t = δt C e δt T T t < T h0 e δt C e δt T C T T t < T 3 4

arkusza kalkulacyjego A 40 = 0,5089, A 40 = 0,04046 i obliczamy ɛ =, 645 0,0773 0,5089 =,45638 Liczba ɛ zależy, jak widać, od Zatem h 0 = C +,45638 0,5089 Np dla = 00 mamy h 0 = 7, 75C, a dla = 000

5 Oczywiście waże są tylko te momety śmierci, które astąpią w czasie trwaia ubezpieczeia Składki brutto Bieżące koszty, jakie poosi firma ubezpieczeiowa to koszty akwizycji koszty pobieraia składki koszty admiistracyje zarządzaia polisą Koszty akwizycji są związae z wystawieiem owej polisy reklama, prowizja ageta, koszty ageta p przejazdy, koszty badań medyczych, itp Zakładamy, że są oe proporcjoale do sumy ubezpieczeia Współczyik proporcjoalości ozaczamy przez α Koszty pobieraia składki są pooszoe tylko w latach, w których jest pobieraa składka Zakładamy, że są oe proporcjoale do składki brutto Współczyik proporcjoalości ozaczamy przez β Koszty admiistracyje to wszystkie pozostałe, a więc wyagrodzeia pracowików, czysze lub koszty obsługi własych budyków, koszty usług telekomuikacyjych i iformatyczych, podatki, itp Te koszty są pobierae w całym okresie ważości polisy Zakładamy, że są oe proporcjoale do sumy ubezpieczeia Współczyik proporcjoalości ozaczamy przez γ Składką brutto expese-loaded premium azywamy poziom składki P br taki, który przeciętie zapewi pokrycie przyszłych wypłat z tytułu ubezpieczeia i i wszystkich ww kosztów Zatem P br = P + P α + P β + P γ, gdzie P jest składką etto, a pozostałe składiki dotyczą kosztów Np składka brutto dla ubezpieczeia a życie i dożycie spełia a mocy powyższych ustaleń rówaie Stąd możemy wyzaczyć ä x: P br x: = A x: + α + βp br x: äx: + γä x: P br x: = A x: + α + γä x: βä x: 5

proporcjoale do sumy ubezpieczeia Współczyik proporcjoalości ozaczamy przez α Koszty pobieraia składki są pooszoe tylko w latach, w których jest pobieraa składka Zakładamy, że są oe proporcjoale do

Podobne dokumenty

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.