będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Transkrypt

1 Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi parametrami dodatimi. Wszystkie zmiee są iezależe. Weryfikujemy hipotezę H : przy alteratywie 0 H : testem o obszarze krytyczym X, X,, X 6 c Y, Y,, Y max K max 6 gdzie c jest stałą dobraą tak, by test miał rozmiar 0,. Moc tego testu jest rówa 0,97 (B) 0,96 (C) 0,998 (D) 0,950 (E) 0,765,

2 Zadaie iech zmiea losowa S będzie liczbą sukcesów w ( ) próbach Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. O zdarzeiu losowym A wiemy, że k Pr( A S k) a dla k 0,,...,, gdzie a jest zaą liczbą, 0 a. Oblicz E( S A). p p (B) ap ( ) (C) p ( ) (D) p (E) ap

3 Zadaie 3 iech X,, X, X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu ormalego o iezaej wartości oczekiwaej i iezaej wariacji ozacza estymator ieobciążoy o miimalej wariacji parametru średiokwadratowy tego estymatora, czyli jest rówy E T,. iech T. Wtedy błąd (B) ( ) ( ) ( ) (C) ( ) (D) (E) ( ) ( ) 3

4 Zadaie Rozważamy sumę losowej liczby zmieych losowych: S S X i i, gdy, i S S 0, gdy, gdzie składiki X i mają jedakowy rozkład prawdopodobieństwa, są iezależe od siebie awzajem i od zmieej losowej. iech E ( Xi) 0, Var ( Xi) i zmiea losowa ma rozkład o fukcji prawdopodobieństwa k P ( k) 0,5 dla k 0,,,. Współczyiki a,b fukcji liiowej a S b, która ajlepiej przybliża zmieą losową w sesie średiokwadratowym, to zaczy spełia są rówe E ( a S b ) mi E( as b, ) a, b (B) (C) (D) (E) a 5 5, b 50 5 a 5 5, b 5 a 50 5, b 5 a 5 5, b 50 5 a 5 5, b 5

5 Zadaie 5 W urie zajduje się 00 kul poumerowaych od do 00. Losujemy bez zwracaia 5 kul i zapisujemy umery, a astępie wrzucamy kule z powrotem do ury. Czyość powtarzamy 5 razy. Oblicz wartość oczekiwaą liczby kul, które zostały wylosowae co ajmiej razy. 66,7 (B) 33,3 (C) 63,3 (D) 36,7 (E) 6, 5

6 Zadaie 6 Rozważmy astępujące zagadieie testowaia hipotez statystyczych. Dyspoujemy próbką X,..., X z rozkładu ormalego o iezaej średiej i zaej wariacji rówej. Przeprowadzamy ajmociejszy test hipotezy H : 0 przeciwko 0 alteratywie H : a poziomie istotości /. iech ozacza prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju, dla rozmiaru próbki. Wybierz poprawe stwierdzeie: lim / (B) lim e / (C) lim e / (D) lim e / 8 (E) lim e / 6

7 Zadaie 7 Zmiea losowa X ma rozkład o gęstości gdy x f ( x) x 0 w przeciwymprzypadku gdzie 0 jest iezaym parametrem. ie obserwujemy zmieej X ale zmieą Y rówą X, gdy X jest większe od. ie wiemy, ile było obserwacji zmieej X ie większych iż ai jakie były ich wartości. W wyiku tego eksperymetu otrzymujemy próbkę losową Y, Y,, Y8. a podstawie próbki budujemy przedział ufości dla parametru postaci c T, ct, gdzie T jest estymatorem ajwiększej wiarogodości parametru, a stałe c i c dobrae są tak, by P ct P ct 0, 05. Wtedy długość przedziału ufości jest rówa,596t (B),9T (C),6T (D) 0,798T (E) 0,573T 7

8 Zadaie 8 iech U i V będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (0,). iech / U Z, / U V E Z U / V jest rówe wtedy (B) (C) (D) (E)

9 Zadaie 9 iech X,, 0 X, X, będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu wykładiczego o wartości oczekiwaej. iech będzie zmieą losową o rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą E iezależą od zmieych X,, 0 X, X,. iech M mi X 0, X,, X. Wyzacz Cov( M, ). (B) (C) (D) ( ) e e e e (E) 9

10 Zadaie 0 iech X,, X, X, będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym o wartości oczekiwaej. iech będzie zmieą losową o rozkładzie geometryczym o fukcji prawdopodobieństwa P k dla k 0,,,, 5 5 iezależą od zmieych X, X,, X,. iech Wtedy 5 P jest rówe S S X i 0 i k gdy gdy 0 0 0,8 0,e (B) 0,8( e ) (C) (D) 0,e e (E) 0,( e ) 0

11 Egzami dla Aktuariuszy z paździerika 0 r. Prawdopodobieństwo i Statystyka Arkusz odpowiedzi Imię i azwisko :... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja B A 3 E B 5 D 6 E 7 C 8 A 9 A 0 C Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.