L.Kowalski Zmienne losowe jednowymiarowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "L.Kowalski Zmienne losowe jednowymiarowe"

Transkrypt

1 Literatura (References) J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, 00. A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka, 000, M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, 007. L. Kowalski, Statystyka, 005. S.M. Ross, "Introduction to Probability Models", 7 ed, 000, D.D. Wackerly,... "Mathematical Statistics with Applications", 6 ed, 00

2 Wstęp ( Ω, S, P ) przestrzeń probabilistyczna (Probability space), Ω zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution). P : S R

3 A, B A B suma zdarzeń (sum or union of the events A, B) iloczyn zdarzeń A, B A B (product or intersection of the events A, B) zdarzenie przeciwne do zdarzenia A A Ω A (complement of the event A) różnica zdarzeń A B (difference of events A, B), A B 3

4 σ - ciało zdarzeń: (σ - algebra): Ω S (S-I) (S-II) Jeśli A S to A S (S-III) Jeśli A i S, i,,... to Υ A i S i 4

5 Émile Borel (87-956) - francuski matematyk, pionier teorii miary. 5

6 Henri Lebesgue (875-94) francuski matematyk, pionier teorii miary. 6

7 Aksjomaty prawdopodobieństwa: (Axioms of the theory of probability) A. Kołmogorow, "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Springer, Berlin, 933. (PI) P( A) 0 A S (PII) P( Ω ) (PIII) P ( A A...) P( A ) + P( A ) +... A i S; parami wykluczające się (pairwise exclusive events). 7

8 Andriej Kołmogorow ( ) rosyjski matematyk, m.in. sformułował aksjomaty prawdopodobieństwa. 8

9 Własności prawdopodobieństwa (Properties) P( ) 0 a) P( A ) P( A) b) c) P( A A ) P( A ) + P( A ) P( A A ) A, A S ; d) P( A ) P( A ) dla A A A, A S ; e) Jeśli A A A f) de Morgan U I, to P( A A ) P( A ) P( ) P A P A A S ' ( n ) ( n ) n ; n n 9

10 Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie wiele i są one jednakowo prawdopodobne to możemy skorzystać z tzw. klasycznej definicji prawdopodobieństwa. (classical definition of probability) P( A) A Ω A S 0

11 Dyskretna przestrzeń probabilistyczna. (discrete distribution) Niech { ω,,... ω } gdzie Ω, S ({ ω i }) pi P i p i 0, p i { } wtedy dla A ω, ω,... i i Ω mamy P( A) P ({ ω, ω,...}) P( { ω } { ω }...) i i i i P ({ ω }) + P( { ω }) +... p + p +... i i i i

12 Prawdopodobieństwo geometryczne (geometric distribution) Jeśli zdarzenia elementarne są podzbiorem o mierze skończonej przestrzeni R n i są one jednakowo prawdopodobne to stosujemy tzw. prawdopodobieństwo geometryczne. P( A) miara miara A Ω A S

13 Jeśli P( B) > 0, B S to określamy prawdopodobieństwo warunkowe dowolnego zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B: P( A B) P( A B) P( B) (Conditional probability) Pisząc ( A B) P ( B) > 0. A S P będziemy domyślnie zakładać, że 3

14 Zdarzenia A i B są niezależne gdy P( A B) P( A) P( B) A, B S (Independent events) Ogólnie. Zdarzenia A,..., An ( n ) są niezależne, jeśli P( A i i... A i i k )... i P( A k i n, )... k P( A i k ) 4

15 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. (Random variable) Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R 5

16 (dokładniej: przeciwobrazy zbiorów borelowskich powinny należeć do σ - ciała zdarzeń S, { Ω : X ( ω < x} S ω ). ) x R 6

17 Zdarzeniom są przyporządkowane podzbiory zbioru R, musimy tym podzbiorom przyporządkować odpowiadające im prawdopodobieństwa. Przyporządkowanie to nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i oznaczamy P X. 7

18 P X ( B) P ( X ( B) ) dla B Β( R), B(R) - zbiory borelowskie 8

19 Ω X BX(A) R AX - (B) P P X 0 P(A)P X (B) 9

20 Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F: R R określoną wzorem: F( x) P( X < x) P ((, x)) (distribution function of the random variable X). X 0

21 Własności dystrybuanty (properties): a) F jest funkcją niemalejącą (nondecreasing), b) F jest funkcją lewostronnie ciągłą (leftcontinous), c) F( ) 0; F( ),

22 d) dystrybuanta zmiennej losowej wyznacza jednoznacznie jej rozkład, e) P( a X < b) F( b) F( a); a < b f) P( X a) F( a + ) F( a); gdzie F( a + ) oznacza granicę prawostronną, (jeśli a jest punktem ciągłości dystrybuanty to P(X a ) 0).

23 Przykład. Poniższe funkcje są dystrybuantami. 0,5-0,5-0,5-3

24 Poniższe funkcje nie są dystrybuantami. 0,5 - - Nie sp. wł. b). Nie sp. wł. a), b), c). Nie sp. wł. a), c). 4

25 Przykład. Dla jakich wartości A, B, C, D funkcja A Bx F( x) C( x) + D dla dla dla dla x 0 < < x x > 0 x jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej? 5

26 A 0, D z własności c). Lewostronna ciągłość jest zapewniona. Należy sprawdzić własność a). Aby w przedziałach funkcje były niemalejące, musi być B 0, C 0; oprócz tego należy sprawdzić tą własność dla x i x. Dla x, C - dowolne. Dla x B C( - ) +, B. Zatem ostatecznie 0 B - dowolne, 0 C B -. 6

27 Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest skończony lub przeliczalny. (A random variable is said to be of the discrete type if it takes values belonging to a set which is at most countable) 7

28 Rozkład zmiennej losowej skokowej często określamy za pomocą funkcji prawdopodobieństwa (probability function): P( X xk ) pk (własność: pk ; pk > 0) k Liczby p k nazywamy skokami (jump), a wartości x k punktami skokowymi (jump points). 8

29 Znając funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej można wyznaczyć jej dystrybuantę F ( x ) x k p k k < x oraz jej rozkład prawdopodobieństwa P ( X B) x k B k p k 9

30 Zmienna losowa X o dystrybuancie F jest ciągła jeśli jej dystrybuanta da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R A random variable X is said to be of the continuous type if there exists a non-negative function f(x) such that for every real number x the following relation holds: x F( x) f ( t) dt x R where F(x) is the distribution function of X. The function f(x) is called the probability density of the random variable X. 30

31 gdzie f jest funkcją spełniającą warunki: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i nazywamy ją gęstością prawdopodobieństwa (probability density ) zmiennej losowej X. 3

32 Własności zmiennej losowej ciągłej: a) b) c) a, P( X < a) f ( x) dx F( a) P( a P( a < X b) P( a < X < b) b a X b) P( a f ( x) dx F( b) F( a) P( X > b) f ( x) dx F( b), b X < b) d) P( X a) 0, dla dowolnego a R ; (brak punktów skokowych), e) F jest funkcją ciągłą i prawie wszędzie różniczkowalną F ( x) f ( x) (równość zachodzi dla punktów ciągłości gęstości). Wyznaczając gęstość przez różniczkowanie dystrybuanty, w punktach w których F nie jest różniczkowalna można przyjąć, że gęstość jest równa zero. 3

33 Twierdzenie Lebesgue'a o rozkładzie dystrybuanty. Każdą dystrybuantę F można przedstawić w postaci gdzie F c + F + cf c3f3 c + c + c3, c, c, c3 F - dystrybuanta skokowa, F - dystrybuanta ciągła, F 3 - dystrybuanta osobliwa, 0 33

34 X - dana zmienna losowa ciągła o gęstości f. Y g(x) g - borelowska, tzn. g - (B) B(R) dla B B(R), Wyznaczyć gęstość g(y) zmiennej losowej Y. ) Jeśli g - ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to: g ( y) f ( ) ' h( y) h ( y) gdzie h g -. Należy pamiętać o przekształceniu przedziału koncentracji. 34

35 Przykład. Jeśli X ma rozkład o gęstości f ( x) 0 e x dla x 0 dla x > 0 Y X, wtedy h ( y) ( y + ), ( y) ( y + ) g(0) -, g( ), h, g 0 y) ( y + ) e ( ( y+ ) dla dla x x >, 35

36 ) Jeśli g - przedziałami ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to: g( y) k i f ( h ( y) ) i h ' i ( y) gdzie h i - funkcje odwrotne do g dla poszczególnych przedziałów, k - liczba wartości funkcji odwrotnej odpowiadających danemu y. 36

37 Przykład. Y X, wtedy ( y) f ( y) + f ( y) y > 0 g, 37

38 Przykład. Y X, wtedy g( y) f y > y y ( y ) + f ( y ) 0, 38

39 W niektórych zagadnieniach wyznaczania rozkładu funkcji zmiennej losowej najpierw wyznaczamy dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej Y g(x), wg schematu ( y) ( < y) P( g( X ) < y) P X g ((, y) ) F Y ( y) P Y < następnie jeśli to możliwe, wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa (gdy jest to rozkład skokowy) lub gęstość (gdy jest to rozkład ciągły). 39

40 Przykład. Jeśli X ma rozkład o gęstości 0 dla x [ 0, 3] f ( x) 3 dla x [ 0, 3] (rozkład jednostajny na [0, 3]) ( X ) Y max,, 40

41 wtedy F Y ( y) 0 y 3 ( < y) P( max(, X ) < y) P Y dla y dla < y 3 dla y > 3 4

42 Nie jest to ani rozkład skokowy ani ciągły. Nie można więc wyznaczyć ani funkcji prawdopodobieństwa ani gęstości. Jest to rozkład mieszany skokowo - ciągły i zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie dystrybuanty powyższą dystrybuantę można przedstawić w postaci F Y c + F cf F ( y) 0 dla y gdzie c /3, > dla y, c /3, F ( y) 0 y - dla dla dla y < y y > 3 3, 4

43 Wartość oczekiwana (Expectations). Oznaczenie EX lub m. Dla zmiennej losowej skokowej EX i x i p i (jeśli ewentualny szereg jest zbieżny bezwzględnie, takie szeregi są "odporne" np. na zmianę kolejności wyrazów). 43

44 Dla zmiennej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewentualna całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie). 44

45 Przykład Dla zmiennej losowej o gęstości f x) x 0 ( x x < wartość oczekiwana nie istnieje bo x dx dx ln x x x. 45

46 Własności wartości oczekiwanej (properties) a) Ec c; c stała, b) E(aX) ae(x), c) E(X + Y) EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y niezależne, to E(XY) EX EY g) Jeśli Y g(x ), to EY i g( x ) p i g( x) i f ( x) dx gdy X gdy X skokowa ciagla ciągła, 46

47 Uwaga. EX F( x) dx F( x) dx ( )

48 Bardziej ogólną definicję wartości oczekiwanej otrzymamy stosując całkę Stieltiesa EX xdf( x) przy założeniu, że powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Ponieważ sumy całkowe definiujące całkę b a xdf ( x) mają postać S n n i xˆ i ( F( x ) F( x )) to dla dystrybuanty kawałkami stałej wartość oczekiwana określona za pomocą całki Stieltiesa jest równa sumie iloczynów skoków dystrybuanty przez punkty skokowe i pokrywa się z określeniem podanym wcześniej. Natomiast dla dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej mamy F i i ( x ) F( x ) F ( xˆ )( x x ) f ( x )( x x ) i ˆ i i i i i czyli ( x) f dx df co również daje definicję podaną wcześniej. i i 48

49 Z addytywności całki Stieltiesa względem funkcji F mamy następującą własność: Jeśli zmienna losowa X jest skokowo - ciągła tzn. jej dystrybuanta da cię przedstawić w postaci F(x) cf (x) + (-c)f (x), c > 0, F - dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X, F - dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X. Wtedy EX cex + (-c) EX 49

50 Inny sposób liczenia wartości oczekiwanych zmiennych losowych skokowo - ciągłych jest następujący: Jeśli dystrybuanta F jest przedziałami ciągła i różniczkowalna wewnątrz przedziałów ciągłości to EX xf ( ) ( ( + x dx + x F x ) F( x )) i gdzie x i - punkty skokowe dystrybuanty. i i i, 50

51 Wzór ten pozwala też na wyznaczanie wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y g(x) bez znajomości rozkłady Y, mianowicie EY E ( ) + ( g( X )) g( x) F ( x) dx + g( x ) F( x ) F( x ) gdzie x i - punkty skokowe dystrybuanty F zmiennej losowej X. i i i i 5

52 5 Przykład. Jeśli zmienna losowa ma dystrybuantę > < + 0 0,5 0,5 0 0 ) ( x x x x x F to F(x) 0,5F (x) + 0,5F (x), gdzie > < 0 0,5 0 0 ) ( x x x x F > < ) ( x x x x x F Zatem EX 0,5 0,5+0,5 0,5 0,5.

53 II sposób. EX x 0,5dx + 0 ( 0 0,5 + 0,5) 0,5 + 0,5 0, 5 53

54 Wariancja (Variance). Oznaczenie D X lub σ lub VX. D X E(X EX) Dla zmiennej losowej skokowej D X ( xi EX ) p Dla zmiennej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx i 54

55 Własności wariancji (properties) a) D c 0; c stała, b) D (ax) a D (X), c) D (X + b) D X, b stała, d) X, Y niezależne, to D (X ± Y) D X + D Y e) D X E(X ) (EX). 55

56 Wykorzystanie własności e) D X i x x i p i ( EX ) ( EX ) gdy X skokowa f ( x) dx gdy X ciagla ciągła 56

57 Odchylenie standardowe (Standard deviation). Oznaczenie DX lub σ. DX D X 57

58 Własność Jeśli X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe σ > 0 X m Y to zmienna losowa σ ma EY 0 i DX. Zmienną losową Y nazywamy zmienną losową standaryzowaną. 58

59 Przykład Jeśli niezależne zmienne losowe X i (i,,..., n) mają taką samą wartość oczekiwaną m i takie samo odchylenie standardowe σ > 0 to zmienna losowa X będąca ich średnią EX X n m DX ; n i X i ma σ n 59

60 Nierówność Czebyszewa (Chebyshev inequality). Jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe σ > 0 to dla dowolnego ε > 0 mamy ( ) σ P X m ε ε 60

61 Moment rzędu k ( k - liczba naturalna) (moment of order k) m k W szczególności E m m ( k ) X EX własność e) wariacji można zapisać D X m m. 6

62 Własność. Jeśli istnieje m k to istnieje m s dla każdego s < k. 6

63 Moment centralny rzędu k ( k - liczba naturalna) (central moment) ( ) k ) µ E X EX k Zauważmy, że w szczególności µ 0, µ D X. 63

64 współczynnik asymetrii (skośności) (coefficient of skewness.) a µ 3 3 σ 64

65 i współczynnik skupienia (kurtozę) k µ σ

66 Zależności między momentami zwykłymi i centralnymi. k k i mk µ k im i 0 i 66

67 w szczególności m µ + m, m 3 + 3µ m + m 3 µ 3, 4 4 µ 4 + 4µ 3m + 6µ m m, m + 67

68 µ k k ( ) i 0 k k m i k i w szczególności µ m m, 3 µ 3 m 3 3mm + m, µ m 4m m + 6m m m m 4 i, 68

69 Kwantylem rzędu p (0 < p < ) zmiennej losowej X o dystrybuancie F nazywamy liczbę x p, taką, że + F x p F x ( ) ( ) p p 69

70 Zauważmy, że dla zmiennej losowej ciągłej x p wyznaczymy z równości ( x ) p F p Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy medianą. Kwantyle rzędu 0,5 ; 0,5; 0,75 nazywamy kwartylami (drugi kwartyl jest medianą). 70

71 Rozkłady skokowe (random variable of the discrete type) Rozkład jednopunktowy (one-point distribution) Określamy: P(X c) gdzie c ustalona liczba. 7

72 EX c, D X 0 (tylko ten rozkład ma zerową wariancję!!!) 7

73 Rozkład dwupunktowy (zerojedynkowy) (two-point distribution, zero-one distribution) Niech p ( 0, ) będzie ustaloną liczbą. Określamy: P(X 0) q, P(X ) p ; gdzie q p. Umowa: 0 - porażka (failure) - sukces (success) 73

74 EX p, D X pq 74

75 Rozkład dwumianowy (binomial distribution) Dla danych p ( 0, ), n N określamy funkcję prawdopodobieństwa n P( X k) k p k q n k gdzie q p k 0,,,..., n. (wzór Bernoulliego) 75

76 76

77 Jakub Bernoulli ( ) - szwajcarski matematyk i fizyk. 77

78 Jeśli przyjmiemy, że n oznacza liczbę niezależnych doświadczeń z których każde kończy się jednym z dwóch wyników: sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeniu) lub porażką i zmienna losowa X oznacza liczbę sukcesów to powyższy wzór wyznacza prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n doświadczeniach (próbach). 78

79 Sprawdzenie n n n P( X k) p k 0 k 0 k k q n k n ( p + q) 79

80 EX np, D X npq 80

81 Przykład Rzucamy 4 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w co najmniej 3 rzutach liczba oczek będzie podzielna przez 3?. 8

82 Szukane prawdopodobieństwo to P(X 3) P(X 3) + P(X 4), gdzie sukcesem jest uzyskanie 3 lub 6 oczek, więc p /3. 8

83 83 Zatem ) ( 3 X P ) ( 0 4 X P ) ( 3) ( 3) ( + + X P X P X P

84 84 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego. np q p np q p k n k n np q p k n k n k q p k n k EX n n k k n k n k k n k n k k n k + 0 ) ( )! )!( ( )! ( )!!(!

85 Rozkład geometryczny (geometric distribution) X - liczba prób Bernoulliego poprzedzających pierwszy sukces q - p k 0,,,... P ( X k) k pq 85

86 Sprawdzenie ( ) k p P X k pq k 0 k 0 q 86

87 EX q/p; D X q/p 87

88 Rozkład Poissona (Poisson distribution) Dla λ > 0 określamy funkcję prawdopodobieństwa k λ P( X k ) k! e λ k 0,,,... 88

89 Siméon Denis Poisson (78 840), francuski mechanik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami oznaczonymi, równaniami różnicowymi i różniczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 89

90 90 Sprawdzenie!! ) ( λ λ λ λ λ λ e e k e e k k X P k k k k k

91 EX λ D X λ 9

92 9 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu Poissona. λ λ λ λ λ λ λ λ λ e e k e e k k EX k k k k 0 )! (!

93 Rozkład Poissona (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych n (praktycznie n 30) i małych p (praktycznie p 0,) przybliżać rozkład dwumianowy (przybliżenie Poissona) n k p k q n k k λ e k! λ gdzie λ n p 93

94 Przykład W pudełku jest 400 żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest 5 żarówek wadliwych, jeśli wadliwość produkcji takich żarówek wynosi 0,5%? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku? 94

95 Zastosujemy przybliżenie Poissona, λ n p 400 0, 005. W tablicy rozkładu Poissona (tablica I) odczytamy, że: P(X 5) 0,036 Również w tablicy rozkładu Poissona odczytamy, że najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku to lub (dla obu tych liczb prawdopodobieństwo jest równe 0,707). 95

96 Rozkłady ciągłe (random variable of the continuous type) Rozkład jednostajny (uniform distribution) Rozkład którego gęstość jest stała w pewnym przedziale nazywamy jednostajnym (równomiernym). Gęstość rozkładu jednostajnego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 96

97 Ponieważ gęstość ta ma oś symetrii w punkcie x (a + b)/ to EX (a+b)/ 97

98 Pokażemy, że DX (b a) / 98

99 99 Przykład Najpierw obliczymy EX b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a + + Zatem ( ) 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D + + +

100 Rozkład wykładniczy (exponential distribution) Rozkład ten występuje często w zagadnieniach rozkładu czasu między zgłoszeniami (awariami) lub czasu oczekiwania na obsługę w systemach kolejkowych. Gęstość rozkładu wykładniczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x > 0 x 0 00

101 dystrybuantą tego rozkładu jest funkcja ax e x > 0 F( x) 0 x 0 (uzasadnienie: F'(x) f(x)) 0

102 Przykład Obliczymy EX EX 0 D X xae a ax ax ax dx xe e a 0 a 0

103 Własność. ) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozkład Poissona o parametrze λt, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłącznych przedziałach czasu są niezależne to czas X między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy o parametrze a /λ. ) Dla dowolnych t, T > 0 mamy P ( X t + T X t) P( X T ) (własność braku pamięci) P ( X t + T X t) ( e e t+ T ) a ta e Ta P P ( X t + T X t) P( X t) ( X T ) Jest to jedyny rozkład ciągły o tej własności. P ( X t + T ) P( X t) 03

104 Rozkład normalny (Gaussa) N ( m, σ ) (normal distribution) Dla m R, σ ( 0, + ) Określamy gęstość rozkładu f ( x) e σ π ( x m) σ x R 04

105 Carl Friedrich Gauss ( ) niemiecki matematyk i fizyk. Jego badania związane z teorią błędów doprowadziły do odkrycia rozkładu normalnego zmiennej losowej (nazywany także rozkładem Gaussa), który jest najważniejszym rozkładem w teorii prawdopodobieństwa. 05

106 06

107 Uwaga Jeśli X ma rozkład N(m, σ) to zmienna losowa Y (X m)/σ ma rozkład N(0, ) (takie przekształcenie nazywamy standaryzacją). 07

108 Wartości dystrybuanty dla argumentów ujemnych wyznaczamy na podstawie zależności Φ( x) Φ(x) 08

109 Przykład Dochód miesięczny (zł) w pewnej populacji osób ma rozkład normalny N(600; 300). Jaki procent osób w tej populacji ma dochód miesięczny poniżej 000 zł? X wysokość miesięcznego dochodu 09

110 P( X X < 000) P < P Y ( < ) Φ( ) Φ() 0,977 0,08,8% 0

111 Przykład Czas wykonania pewnego detalu (min.) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m; σ). Wiadomo, że 80% robotników wykonuje ten detal dłużej niż 0 minut a 60% robotników dłużej niż minut. a) wyznacz parametry rozkładu czasu wykonania detalu m i σ, b) jaki odsetek robotników wykonuje ten detal w czasie krótszym niż 6 minut? X czas wykonania detalu.

112 P ( X > 0) 0,8 stąd m 0 0,84 σ m 0, σ P ( X > ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy m,85; σ 3,39.,85 6,85 ( < X 6) < 3,39 3,39 P X P PY Φ(,0) Φ(,0) 0,07, 7% ( <,0 )

113 Prawo trzech sigm (the "three-sigma" rule) Jeśli X ma rozkład N(m, σ) to P( m σ < X < m + σ ) P( m σ < X < m + σ ) P ( m 3σ < X < m+ 3σ ) 0,683 0,955, 0,997 Ostatnia równość świadczy o tym, że chociaż rozkład normalny ma gęstość różną od zera na całej prostej to praktycznie niemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale ( m 3σ, m + 3σ ) własność tą nazywamy prawem trzech sigm., 3

114 Interpretacja graficzna parametrów rozkładu N(m, σ) 4

115 Trzy rozkłady ciągłe, które mają duże znaczenie w statystyce matematycznej: Rozkład chi kwadrat (chi-square distribution), Rozkład Studenta (Student's distribution), Rozkład F Snedecora (F -distribution) Rozkłady te są stablicowane. 5

116 Rozkład chi kwadrat (χ ) Y n n liczba stopni swobody (chi-square distribution with n degrees of freedom) Y n X X n X,..., Xn - niezależne, o rozkładzie N(0, ) EX n; DX n 6

117 Karl Pearson ( ) angielski matematyk, prekursor statystyki matematycznej 7

118 8 Gęstość rozkładu Y n > Γ ) ( y y n e y y f n y n Uwaga. Γ - funkcja Eulera, Γ 0 ) ( dx e x x α α np. Γ(n) (n - )!; Π Γ ) / ( ; Π + Γ n n n )!! ( ) (

119 mediana dominanta m e x 0,5 n - 0,67 d n -, n > 9

120 Odczyt z tablicy dla rozkładu chi kwadrat. (podobnie interpretujemy graficznie odczyt z tablicy F Snedecora.) P( Y k) n α Uwaga. ) Dla n, wykres gęstości rozkładu chi kwadrat jest inny (tylko część malejąca wykresu) ) dla n > 30 stosujemy przybliżenie rozkładem normalnym. ~ N( n ;) Y n 0

121 Rozkład Studenta n liczba stopni swobody (Student's distribution with n degrees of freedom) T n X, Yn - niezależne X o rozkładzie N(0, ); Yn o rozkładzie chi kwadrat z n stopniami swobody X Y n n EX 0 ; dla n > DX n/(n-) dla n >

122 Gęstość rozkładu Tn R t n t n n n t f n + Γ Γ + Γ + ` ) ( Uwaga. Γ - funkcja Eulera, Γ 0 ) ( dx e x x α α np. Γ(n) (n - )!; Π Γ ) / ( ; Π + Γ n n n )!! ( ) (

123 William Gosset ( ), statystyk angielski. Publikował pod pseudonimem Student (stąd nazwa wprowadzonego przez niego - w roku rozkładu prawdopodobieństwa: rozkład Studenta). 3

124 Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozkładu Studenta. P( T k) α n Uwaga. T n N ( 0, ) n 4

125 Rozkład F Snedecora (The F -distribution) n ; n N stopnie swobody Y Y ; n n F n, n n n - niezależne o rozkł. chi kwadrat Y Y n n ; 5

126 EX n n DX n ( n ) ( n 4) n ( n + n ) dla n > dla n > 4 6

127 7 gęstość > Γ Γ + + Γ ) ( x x n n x n n x n n n n x f n n n n W tablicy α ) ( F ; k P n n

128 TABLICE Tablica I. Rozkład Poissona. k λ P( X k ) k! e λ λ \ k , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0, , , , , , , , , , , , λ \ k , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0, , , , , , , , , , , , ,000 8

129 Tablica II. Dystrybuanta Φ(x) rozkładu normalnego N(0, ) Φ(-x) - Φ(x) x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 x 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0, 0,5793 0,583 0,586 0,590 0,5949 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0, 0,3 0,679 0,67 0,65 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,3 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,684 0,6879 0,4 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,5 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,7 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 0,9,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9047,,3 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,3,4 0,994 0,9073 0,90 0,9354 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0, ,9389,4,5 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,6,7 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,7,8 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,8,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,9,0 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869,0, 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574,, 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,,3 0,9898 0, , , , , ,9 06 0,9 06 0, ,9 576,3,4 0,9 80 0,9 04 0,9 40 0,9 45 0, , , , , ,9 363,4 9

130 x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x,5 0, , ,9 43 0, , , , , , ,9 50,5,6 0, , , , , , , , , ,9 647,6,7 0, , , , , , ,9 70 0, ,9 78 0,9 7365,7,8 0, , , , , , , , ,9 80 0,9 8074,8,9 0, , , , , ,9 84 0, ,9 85 0, ,9 8605,9 3,0 0, , , , , , , , , , ,0 3, 0, , , , , , ,9 3 0, , , , 3, 0, , , , , , , , , , , 3,3 0, , , , , , , , , , ,3 3,4 0, , , , , , , , , , ,4 3,5 0, , , , , , , , , , ,5 3,6 0, , , , , , , , , , ,6 3,7 0, , , , , , , , , , ,7 3,8 0, , , , , , , , , , ,8 3,9 0, , , , , , , , , , ,9 4,0 0, , , , , , , , , , ,0 4, 0, , , , , , , , , , , 4, 0, , , , , , , , , , , 4,3 0, , , , , , , , , , ,3 4,4 0, , , , , , , , , , ,4 4,5 0, , , , , , , , , , ,5 4,6 0, , , , , , , , , , ,6 4,7 0, , , , , , , , , , ,7 4,8 0, , , , , , , , , , ,8 4,9 0, , , , , , , , , , ,9 Wartości k gdy Φ (k) α. α 0,9 0,9 0,9 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 k,8,34,405,476,555,645,75,88,960,054,70,36,576 α 0,6 0,7 0,8 α 0,999 0,9999 0, , k 0,53 0,54 0,84 k 3,090 3,79 4,65 4,753 30

131 3 Tablica III. Tablica rozkładu chi kwadrat Tablica podaje wartości x α takie, że P Y x ( ) > α α, n - liczba stopni swobody α n 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 n ,000 0,00 0,5 0,97 0,554 0,87,39,646,088,558 3,053 3,57 4,07 4,660 5,9 5,8 6,408 7,05 7,633 8,60 8,897 9,54 0,96 0,856,54,98,879 3,565 4,56 4,953 0,0006 0,0404 0,85 0,49 0,75,34,564,03,53 3,059 3,609 4,78 4,765 5,368 5,985 6,64 7,55 7,906 8,567 9,37 9,95 0,600,93,99,697 3,409 4,5 4,847 5,574 6,306 0,004 0,03 0,35 0,7,45,635,67,733 3,35 3,940 4,575 5,6 5,89 6,57 7,6 7,96 8,67 9,390 0,7 0,85,59,338 3,09 3,848 4,6 5,379 6,5 6,98 7,708 8,493 0,06 0, 0,584,064,60,04,833 3,490 4,68 4,865 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,3 0,085 0,865,65,443 3,40 4,04 4,848 5,659 6,473 7,9 8,4 8,939 0,599 3,364 0,064 0,446,005,649,343 3,070 3,8 4,594 5,380 6,79 6,989 7,807 8,634 9,467 0,307,5,00,857 3,76 4,587 5,445 6,34 7,87 8,06 8,940 9,80 0,703,588,475 3,364 0,48 0,73,44,95 3,000 3,88 4,67 5,57 6,393 7,67 8,48 9,034 9,96 0,8,7,64 3,53 4,440 5,35 6,66 7,8 8,0 9,0 9,943 0,867,79,79 3,647 4,577 5,508 0,455,386,366 3,357 4,35 5,348 6,346 7,344 8,343 9,34 0,34,340,340 3,339 4,339 5,338 6,338 7,338 8,338 9,337 0,337,337,337 3,337 4,337 5,336 6,336 7,336 8,336 9,336,074,408 3,665 4,878 6,064 7,3 8,383 9,54 0,656,78,899 4,0 5,9 6,6 7,3 8,48 9,5 0,60,689,775 3,858 4,939 6,08 7,096 8,7 9,46 30,39 3,39 3,46 33,530,64 3,665 4,64 5,989 7,89 8,558 9,803,030,4 3,44 4,63 5,8 6,985 8,5 9,3 0,465,65,760 3,900 5,038 6,7 7,30 8,49 9,553 30,675 3,795 3,9 34,07 35,39 36,50,706 4,605 6,5 7,779 9,36 0,645,07 3,36 4,684 5,987 7,75 8,549 9,8,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,4 9,65 30,83 3,007 33,96 34,38 35,563 36,74 37,96 39,087 40,56 3,84 5,99 7,85 9,488,070,59 4,067 5,507 6,99 8,307 9,675,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,44 3,40 3,67 33,94 35,7 36,45 37,65 38,885 40,3 4,337 4,557 43,773 5,4 7,84 9,837,668 3,388 5,033 6,6 8,68 9,679,6,68 4,054 5,47 6,873 8,59 9,633 30,995 3,346 33,687 35,00 36,443 37,659 38,968 40,70 4,566 4,856 44,40 45,49 46,693 47,96 6,635 9,0,345 3,77 5,086 6,8 8,475 0,090,666 3,09 4,75 6,7 7,688 9,4 30,578 3,000 33,409 34,805 36,9 37,566 38,93 40,89 4,638 4,980 44,34 45,64 46,963 48,78 49,588 50,89 0,87 3,85 6,68 8,465 0,57,457 4,3 6,5 7,877 9,588 3,64 3,909 34,58 36,3 37,697 39,5 40,790 4,3 43,80 45,35 46,797 48,68 49,78 5,79 5,60 54,05 55,476 56,893 58,30 59,

132 3 Tablica IV. Tablica rozkładu Studenta Tablica podaje wartości x α takie, że P T x ( ) > α α, n - liczba stopni swobody α n 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 n ,58 0,4 0,37 0,34 0,3 0,3 0,30 0,30 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,6 0,35 0,89 0,77 0,7 0,67 0,65 0,63 0,6 0,6 0,60 0,60 0,59 0,59 0,58 0,58 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,55 0,54 0,54 0,53 0,50 0,445 0,44 0,44 0,408 0,404 0,40 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,77 0,67 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,54 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,530 0,530 0,530 0,59 0,57 0,56 0,54,376,06 0,978 0,94 0,90 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,86 0,86 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,85 0,848 0,845 0,84,963,386,50,90,56,34,9,08,00,093,088,083,079,076,074,07,069,067,066,064,063,06,060,059,058,058,057,056,055,055,050,046,04,036 3,078,886,638,533,476,440,45,397,383,37,363,356,350,345,34,337,333,330,38,35,33,3,39,38,36,35,34,33,3,30,303,96,89,8 6,34,90,353,3,05,943,895,860,833,8,796,78,77,76,753,746,740,734,79,75,7,77,74,7,708,706,703,70,699,697,684,67,658,645,706 4,303 3,8,776,57,447,365,306,6,8,0,79,60,45,3,0,0,0,093,086,080,074,069,064,060,056,05,048,045,04,0,000,980,960 3,8 6,965 4,54 3,747 3,365 3,43,998,896,8,764,78,68,650,64,60,583,567,55,539,58,58,508,500,49,485,479,473,467,46,457,43,390,358,36 63,657 9,95 5,84 4,604 4,03 3,707 3,499 3,355 3,50 3,69 3,06 3,055 3,0,977,947,9,898,878,86,845,83,89,807,797,787,779,77,763,756,750,704,660,67, ,69 3,598,94 8,60 6,859 5,959 5,405 5,04 4,78 4,587 4,437 4,38 4, 4,40 4,073 4,05 3,965 3,9 3,883 3,850 3,89 3,79 3,767 3,745 3, ,690 3,674 3,659 3,646 3,55 3,460 3,373 3,

133 Tablica V. Tablica rozkładu F - Snedecora P F ; k) α ( n n Tablica dla α 0,05: n n ,5 9,0 9, 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,79 8,66 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,96 5,8 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,56 4,64 4,43 4,4 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,06 3,87 3,77 3,74 3,7 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,44 3,34 3,3 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,5 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,4,94,83,79,76,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,98,77,66,6,59,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,85,65,53,49,46,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,75,54,43,38,35,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,67,46,34,30,6, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,60,39,7,,9,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,54,33,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,49,8,5,,07,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,45,3,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,4,9,06,0,98,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,38,6,03,98,94,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,35,,99,95,9,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,0,96,9,88,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,07,94,89,85,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,05,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,5,03,89,84,80,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,0,87,8,78,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,,99,85,80,76,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,0,97,84,79,74,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,9,96,8,77,73,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,8,94,8,75,7, ,7 3,3,9,69,53,4,33,7,6,93,79,74,70,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,08,84,69,64,59,5 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,03,78,63,58,5, ,94 3,09,70,46,3,9,0,03,93,68,5,45,39,8 00 3,89 3,04,69,4,6,4,06,98,88,6,46,39,3,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,83,57,39,3,4,

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Zmienne losowe. Statystyka w 3 Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X

Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014 Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2 64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład.03.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego 6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k = Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,

Bardziej szczegółowo