ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

Transkrypt

1 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy. Wygeeruj wartości X szkód wg rozkładu P (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25. Szkody o wartości 500 są regulowae w roku astępym szkody o pozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki a każdy rok w astępujący sposób: składka I: w latach składka po 25, w latach astępych składka=średia ze szkód wypłacoych w roku poprzedim razy częstość szkód w roku poprzedim razy 1,1 składka II: w latach składka po 25, w latach astępych - w roku - składka=średia ze szkód zaistiałych w roku 2 razy częstość szkód w roku 2 razy 1,1 Którą z metod uważasz za rozsądiejszą i dlaczego. Uwaga: Średia ze szkód i częstość szkód jest liczoa a podstawie symulacji. Wyiki przedstaw w tabelach. Wyzacz też składki ie opierając się a symulacjach ale a parametrach odpowiedich rozkładów. Porówaj wyiki. Szkody uregulowae (K - liczba, s - wartość) l.polis l.szkód K s K s K s K s K s K s średia Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 = Porówaie składek rok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S I składek H1 szkód S II składek H

2 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala (egzamiy aktuariale) Portfel składa się z = 1000 iezależych jedorodych ryzyk. Dla pojedyczego ryzyka wartość oczekiwaa roszczeń jest rówa 10 i odchyleie stadardowe też jest rówe 10. Niech S ozacza ryczą wartość roszczeń w portfelu. Składka przypadająca a pojedycze ryzyko wyosi H i została skalkulowaa tak aby P (S > H) = 0, 01, przy czym to prawdopodobieństwo obliczoo korzystając z aproksymacji rozkładem ormalym. Przypuśćmy, że możemy objąć ubezpiecziem dodatkowych 1 iezależych ryzyk, dla których wartość oczekiwaa roszczeń jest rówa 10 ale odchyleie stadardowe jest rówe 15. Dla owych ryzyk składka powia być tej samej wysokości H. Niech S 1 ozacza ryczą wartość roszczeń w portfelu owych ryzyk. Wyzacz 1 aby P (S + S 1 > ( + 1 )H) 0, (egzamiy aktuariale) Ubezpieczyciel ma portfel liczący 9644 termiowych polis a życie z termiem jedego roku. Prawdopodobieństwo zgou każdego z ubezpieczoych wyosi 0,01, a świadczeie wyosi b. Ubezpieczyciel pobiera składkę w wysokości 125% składki etto. Reasekurator w zamia za zobowiązaie pokrycia ab w razie śmierci ubezpieczoego żąda 150% swojego udziału w składce etto. Ubezpieczyciel chce utrzymać prawdopodobieństwo straty a udziale własym w tym portfelu a poziomie 0,05. Nie ma kosztów, stopa procetowa jest zerowa. Wyzacz wskaźik a [0, 1]. Zastosuj aproksymację rozkładem ormalym. 4. Rozważmy astępujący portfel ubezpieczeń życiowych. k r grupy k - liczba ryzyk b k - świadczeie Prawdopodobieństwo zgou we wszystkich grupach jest jedakowe i wyosi 0,02. Towarzystwo ubezpieczeiowe zastaawia się ad reasekuracją z poziomem retecji r przy koszcie jedostki pokrycia c. a) Dyspoując kapitałem ze składek w wysokości 825 oszacuj prawdopodobieństwo, że łącza wartość wypłat i kosztów reasekuracji przekroczy tę kwotę, przy założeiu, że r = 2 i c = 0, 025. b) Dobierz r [3, 5), tak aby prawdopodobieństwo zdarzeia z puktu a było ajmiejsze.

3 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala Portfel składa się z 2 iezależych subportfeli. Wyzaczoo charakterystyki łączej wartości szkód dla tych subportfeli. Przedstawia je tabela. Wartość oczekiwaa wariacja skośość γ subportfel I subpotrfel II ,25 Rozkład łączej wartości szkód z całego portfela aproksymujemy przesuiętym rozkładem gamma, zakładając, że trzy pierwsze momety obu rozkładów są rówe. Wyzacz parametry rozkładu gamma. 6. Rozważmy trzy grupy ryzyka k k - liczba q k - p-stwo polis w k-tej grupie szkody Wartość szkody jest rówa 2. Wyzacz składkę łączą H w każdej grupie osobo i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem ormalym i rozkładem gamma. 7. Wygeeruj 1000 polis wg modelu idywidualego z prawdopodobieństwem szkody q = 0, 2 i wartością szkody a) Y Ex(0, 01) b) Y P areto(5, 400). Na podstawie otrzymaych daych oszacuj odpowiedie parametry rozkładu liczby i wartości szkód, a astępie korzystając z tych estymatorów oszacuj składkę łączą H, dla portfela złożoego z 1000 polis tego samego typu, tak, by P (S > H) = 0, 05, gdzie S szkód. Zastosuj aproksymację rozkładem ormalym i gamma. Wylicz też H wykorzystując rzeczywiste parametry rozkładu, a ie wartości estymatorów otrzymaych a podstawie próby losowej. Przeprowadź symulacji portfela złożoego z 1000 polis o parametrech ryzyka jak a początku treści zadaia, dla każdej symulacji oblicz sumę szkód i traktując otrzymae wyiki jako próbkę rozkładu zmieej S wyzacz oszacowaie składki jako odpowiedi kwatyl próbkowy. Porówaj wyiki z wcześiej otrzmaymi oszacowaiami. 8. (egzamiy aktuariale) Zmiea losowa X = Y 1 + Y Y N ma złożoy rozkład Poissoa o wartości oczekiwaej λ = 1. W tabeli poiżej podao rozkład prawdopodobieństwa składika Y.

4 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 4 Wyzacz P (X = 5). Odp: k P (Y = k) Dla pewego portfela ryzyk liczba szkód ma rozkład Poissoa z wartością oczekiwaą 10, wysokość pojedyczej szkody jest zmieą o rozkładzie Ex(1/200). Ubezpieczyciel pokrywa adwyżkę szkody poad 100. Podaj wartość oczekiwaą, wariację i współczyik asymetrii γ sumy wypłacoych odszkodowań. 10. Liczba szkód N z ryzyka ma rozkład geometryczy P (N = k) = p(1 p) k dla k = 0, 1, 2,... Wartość pojedyczej szkody X i ma rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej 1/θ. Wyzacz dystrybuatę, gęstość i fukcję tworzącą momety rozkładu zmieej { Ni=1 X S N = i gdy N > 0 0 w p.p. 11. Rozważmy trzy grupy ryzyka, liczba szkód dla każdego ryzyka jest zmieą o rozkładzie Poissoa (parametry podaje tabela). k k - liczba λ k - oczekiwaa polis w k-tej grupie liczba szkód Wartość szkody jest rówa 2. Wyzacz składkę łączą H w każdej grupie osobo i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem ormalym i rozkładem gamma. Porówaj wyiki z wyikami zadaia Rozważamy portfel ryzyk k k - liczba q k - p-stwo b k polis w k-tej grupie roszczeia - wartość

5 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 5 TU chce zawrzeć kotrakt reasekuracyjy o współczyiku retecji M w przedziale (20000, ) za składkę rówą 130% oczekiwaego kosztu pokrytych szkód przez reasekuratora. Niech S(M) ozacza odszkodowaia pokryte przez ubezpieczyciela przy limicie reasekuracji M. Podaj parametry złożoego rozkładu Poissoa jako aproksymacji dla zmieej S(M). Stosując aproksymację złożoym rozkładem Poissoa wyzacz ES(M) i V ars(m). Wyzacz M, przy którym prawdopodobieństwo zdarzeia, że S(M) plus opłata za reasekurację przekroczą poziom jest ajmiejsze (zastosuj do złożoego rozkładu Poissoa aproksymację rozkładem ormalym). 13. (egzamiy aktuariale) Mamy day ciąg liczb (q 1, q 2,..., q ) z przedziału (0, 1), oraz ciąg (m 1, m 2,..., m ) liczb dodatich. Rozważmy dwie zmiee losowe: X = X 1 +X X, gdzie X i ma złożoy rozkład dwumiaowy o parametrach (1, q i, F i ), wszystkie składiki X i są iezależe, zaś oczekiwaa wartość szkody o dystrybuacie F i wyosi m i ; Z o rozkładzie złożoym dwumiaowym i parametrach (, q, F ), gdzie i=1 q i q =, x R F (x) = Wprowadźmy dodatkowe ozaczeie: i=1 q i F i (x). mq = i=1 q i m i. Zakładamy, że wszystkie rozkłady F i mają skończoą wariację. Oblicz V arz V arz. Odp. i=1 [q i m i mq] 2