( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

Transkrypt

1 .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia, tz. ( C) C, ( )C C C, c) możeie macierzy ie jest przemiee, d),, o ile wymiary macierzy umożliwiają możeie, e) () T T T, f) ( )T T T, g) ( T ) T, h) (c) T c T, c - stała i) tr() tr(), tr( ) tr tr. Własości wyzaczika a) T b) jeśli macierz jest stopia, to dla dowolej stałej a mamy (a) a c) d) dla macierzy ieosobliwej mamy T >, e) jeśli w macierzy jest wiersz (koluma) złożoy z samych zer to, f) jeśli w macierzy są jedakowe wiersze (kolumy) to, g) jeśli wiersz (kolumę) macierzy pomożymy przez dowolą liczbę rzeczywistą to wyzaczik powstałej macierzy będzie rówy wyzaczikowi macierzy pomożoemu przez tę liczbę, h) jeśli w macierzy zamieimy miejscami dwa wiersze (kolumy) to wyzaczik powstałej macierzy będzie rówy -, i) wyzaczik macierzy ie ulegie zmiaie, jeśli do pewego wiersza (kolumy) dodamy iy wiersz (kolumę) pomożoy przez liczbę różą od zera. j) wyzaczik macierzy trójkątej (pod przekątą same zera) jest rówy iloczyowi elemetów a przekątej. Własości macierzy odwrotej a) macierzą odwrotą do macierzy jedostkowej jest ta sama macierz tz. -, b) ( diag ( a, a,..., a )) diag ( a ),( a ) ( a ),..., c) ( - ) -, d) ( - ) T ( T ) -, e) (c) - c - () -, c - stała f) () - () - () -,

2 .Kowalski własości macierzy g) ( - ) () -. h) macierz odwrota do ieosobliwej macierzy symetryczej jest symetrycza, i) macierz odwrota do ieosobliwej macierzy trójkątej jest trójkąta, Własości rzędu macierzy. a) Rząd macierzy jest rówy zero tylko dla macierzy zerowej, b) Rząd macierzy jedostkowej stopia jest rówy, c) Rząd macierzy T jest rówy rzędowi macierzy, d) Rząd macierzy ie może przekraczać żadego z wymiarów macierzy, e) Jeśli macierz kwadratowa jest ieosobliwa to jej rząd jest rówy stopiowi tej macierzy, f) Jeśli dowoly wiersz macierzy pomożymy przez stałą różą od zera i dodamy do iego wiersza to rząd macierzy ie ulegie zmiaie. Jeśli zamieimy dwa wiersze między sobą miejscami to rząd macierzy ie ulegie zmiaie. Podobe operacje moża wykoywać a kolumach macierzy. g) Jeśli wykreślimy wiersz (kolumę) złożoy z samych zer to rząd ie ulegie zmiaie. Potęga macierzy Jeśli jest macierzą kwadratową to Ślad macierzy Jeśli jest macierzą kwadratową to tr suma elemetów a przekątej. Macierz diagoala o daych elemetach: diag( a, a,..., a) Macierze blokowe Niekiedy wygodie jest podzielić macierz a bloki, czyli podmacierze które powstają z daej macierzy przez odrzuceie pewej liczby początkowych i końcowych wierszy i kolum. W aturaly sposób moża określić podział a bloki za pomocą liii poziomych i pioowych, p. macierz składa się z czterech bloków. Macierz kwadratowa jest blokowo diagoala gdy wszystkie bloki leżące poza główą przekątą są podmacierzami zerowymi, tz.

3 .Kowalski własości macierzy k a bloki a przekątej są kwadratowe. Dodawaie i możeie macierzy blokowych, jeżeli podział a bloki jest odpowiedi wykoujemy wg zwykłych zasad, traktując bloki jak elemety macierzy, p. ; ; Wtedy Wyzaczik macierzy blokowo-diagoalej jest rówy iloczyowi wyzaczików bloków zajdujących się a przekątej, tz. k k... Jeśli i macierze, są kwadratowe, to. Jeśli i macierze, są kwadratowe, ieosobliwe, to. Jeśli m i macierz jest dowola o wymiarach ( x m), to m. Wartości włase macierzy

4 .Kowalski własości macierzy - dowola macierz kwadratowa stopia r. Wielomiaem charakterystyczym tej macierzy azywamy wielomia λ ( ) Rówaie azywamy rówaiem charakterystyczym. Pierwiastki tego rówaia to wartości włase lub pierwiastki charakterystycze tej macierzy. Niech λ,..., λ k - wartości włase macierzy o krotościach α,..., α k (k r). Macierz ma rówaie charakterystycze i wartości włase: λ -, λ 5. Macierz λ 5 λ λ λ ma rówaie charakterystycze λ λ λ λ i wartości włase: λ, λ. i i Wektorem własym operatora f odpowiadającym wartości własej λ azywamy iezerowy wektor v spełiający waruek f(v) λv. Własość: a) suma wartości własych (z krotościami) jest rówa śladowi macierzy tz. sumie elemetów jej przekątej. b) macierz jest osobliwa wtedy i tylko wtedy gdy zero jest jej wartością własą, c) macierz jest pierwiastkiem własego rówaia charakterystyczego, d) macierz symetrycza ma tylko rzeczywiste wartości włase, e) jeśli λ jest wartością własą macierzy, to cλ jest wartością własą macierzy c, f) jeśli λ jest wartością własą macierzy, to /λ jest wartością własą mac. -, g) jeśli λ jest wartością własą macierzy, to λ m jest wartością własą mac. m, m N

5 .Kowalski własości macierzy h) jeśli λ jest wartością własą macierzy, to λ jest wartością własą macierzy T, i) jeśli λ jest wartością własą macierzy, to λ jest wartością własą macierzy S - S, dla dowolej macierzy ieosobliwej S tego samego stopia co. Własości macierzy stochastyczych. Własość Średia arytmetycza i iloczy dwóch macierzy stochastyczych tego samego stopia są także macierzami stochastyczymi. Własości macierzy stochastyczych: a) Wartością własą każdej macierzy stochastyczej jest λ (ozaczamy λ ), Dowód. Dodajemy wszystkie kolumy macierzy ( λ ) do pierwszej kolumy, sumy wierszy są rówe więc po dodaiu wszystkie elemety pierwszej kolumy są rówe λ - i moża tą wartość wyłączyć przed wyzaczik. b) Moduły wszystkich wartości własych dowolej macierzy stochastyczej są miejsze od, k c) (tw. Dooba ) istieje graica lim P, Macierz ma własość P P (macierz idempoteta), Macierz P ma rówaie charakterystycze k 5 i wartości włase: λ, λ. λ 7 λ λ λ 5.Kowalski,.. 5