θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
|
|
- Patryk Bogumił Lisowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1. Wyzaczyć bayesowski przedział ufości dla parametru θ, to zaczy przedział a, b, gdzie a = ax 1,..., X 8 ), b = bx 1,..., X 8 ), taki, że P θ < a X 1,..., X 8 ) = 0.05 = P θ > b X 1,..., X 8 ). X 0.427, X Zadaie 2. X 1,..., X jest próbą z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ), gdzie µ i σ 2 są iezaymi parametrami. Niech L, U będzie przedziałem ufości dla parametru µ taki, że dla wszystkich µ i σ 2 P µ,σ 2L > µ) = P µ,σ 2U < µ) = Niech, W będzie jedostroym przedziałem ufości dla µ takim, że P µ,σ 2W < µ) = 0.01 dla wszystkich µ i σ 2. Oba przedziały ufości zbudowae są w stadardowy sposób w oparciu o średią i wariację X i S 2 z próbki. Wiadomo, że L = i U = Wyzaczyć W Zadaie 3. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu jedostajego a przedziale 0, θ), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Zaleźć ajmiejsze c takie, żeby przedział maxx 1,..., X 8 }, c maxx 1,..., X 8 } był przedziałem ufości dla θ a poziomie ufości Zadaie 4. Zakładamy, że X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 jest próbą losową z rozkładu o gęstości f θ x) = θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym, gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Skostruować przedział ufości θ, θ dla parametru θ a poziomie 1 α = 0.90) tak, żeby P θ θ < θ) = 0.05 = P θ θ > θ) S, S, gdzie S = 5 l X i Zadaie 5. Niech X 1,..., X będzie próbką iezależych realizacji zmieej losowej X o rozkładzie ciągłym i iech X ) 1,..., X ) ozacza uporządkowaą od wartości ajmiejszych do ajwiększych) próbę. Budujemy przedział ufości dla mediay zmieej X o postaci U = X ) 2, X ) 1 ). Ozaczmy przez ajmiejszą z tych wartości, dla których prawdopodobieństwo pokrycia mediay przez przedział U przekracza Wyzaczyć. 9 Zadaie 6. Dwie iezależe próbki proste X 1,..., X i Y 1,..., Y pochodzą z tego samego rozkładu ormalego o parametrach µ i σ 2. Jede statystyk ma do dyspozycji pierwszą próbkę, drugi zaś drugą. Obaj statystycy zają wariację σ 2, żade ie za wartości oczekiwaej µ. Każdy z ich buduje a podstawie swojej próbki przedział ufości dla µ a poziomie ufości 0.8. Wyzaczyć prawdopodobieństwo, że zbudowae przedziały okażą się rozłącze Zadaie 7. Na podstawie próbki X 1,..., X z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaymi parametrami µ i σ 2 budujemy przedział ufości σ 2, σ 2 ) dla wariacji a poziomie ufości Metodę wybieramy możliwie prostą, korzystając a przykład z przybliżeia rozkładu chi-kwadrat z k stopiami swobody rozkładem ormalym Nk, 2k). Względy błąd estymacji przedziałowej mierzymy za pomocą ilorazu R = σ2 σ 2 2σ. Dla 2 jakiego rozmiaru próbki ER) zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 1
2 Zadaie 8. Jacek i Placek dostaą próbkę prostą X 1,..., X z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ). Obaj ie zają wartości oczekiwaej µ, ale Jacek za wariację σ 2, a Placek jej ie za. Obaj budują w stadardowy sposób przedziały ufości dla µ a poziomie ufości Placek się chwali: mam szasę %, że mój przedział ufości będzie przyajmiej x razy krótszy, iż Twój. Zaleźć x. x 1.25 Zadaie 9. Niech X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 będzie próbką z rozkładu wykładiczego o gęstości prawdopodobieństwa: θe f θ x) = θx, dla x > 0, 0 poza tym. Parametr θ jest iezay. Wiadomo, że estymatorem ajwiększej wiarogodości tego parametru jest ˆθ = 5/S 5, gdzie S 5 = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5. Należy zbudować przedział ufości dla parametru θ postaci a θ, θ =, a. S 5 S 5 Żądamy, żeby te przedział był symetryczy w tym sesie, że P θ θ < θ) = P θ θ > θ). Wyzaczyć stałe a i a tak, żeby otrzymać przedział a poziomie ufości a = a =.24 Zadaie. Niech X 1,..., X 20 będzie próbką losową z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ), z iezaymi parametrami µ i σ 2. Niech X = 1 X i, X20 = X i, S 2 = S 2 = 1 9 X i X ) 2. Należy skostruować przedział X as, X + as taki, że P µ,σ 2 X 20 X as, X + as) = Wyzaczyć odpowiedią liczbę a / 20 Zadaie 11. Załóżmy, że X 1,..., X 9 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaymi parametrami µ i σ 2. Pa Ixiński miał podać przedział ufości dla µ a poziomie 0.95, ale ie zalazł tablic rozkładu t. Poieważ miał tablice rozkładu ormalego i chi-kwadrat, więc poradził sobie tak: 1. obliczył w stadardowy sposób jedostroy przedział ufości 0, σ 2 dla wariacji, a poziomie 0.95; 2. przyjął, że X 1.96σ 9, X σ 9 jest potrzebym przedziałem dla wartości oczekiwaej, gdzie σ zostało wyzaczoe w pukcie 1. Obliczyć faktyczy poziom ufości takiego przedziału ufości dla µ Zadaie 12. Mamy pięć iezależych próbek z tego samego rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i zaą wariacją σ 2, przy tym każda z tych próbek ma tę samą liczebość. Dla każdej z pięciu próbek oddzielie wyzaczamy w stadardowy sposób przedział ufości dla µ. Niech Xi σ, X i σ będzie przedziałem obliczoym a podstawie i-tej próbki liczba jest kwatylem rzędu stadardowego rozkładu ormalego). Następie, przedział ufości oparty a wszystkich 5 obserwacjach wyzaczamy w sposób iestadardowy: za środek przedziału wybieramy mediaę m = med X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 ). Obliczyć z dokładością do 0.01) P µ m σ, m σ ) 0.97 zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 2
3 Zadaie 13. Załóżmy, że X 1,..., X 6 jest próbą z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaymi parametrami. Zadaie polega a zbudowaiu przedziału ufości dla wariacji σ 2. Żąday poziom ufości jest rówy 1 α = Rozpatrzmy dwie metody: Metoda S jest stadardowa: budujemy przedział postaci 0, G S, gdzie G S = 5S2 c, S2 ozacza ieobciążoy estymator wariacji, zaś c jest odpowiedim kwatylem rozkładu chi-kwadrat); Metoda N polega a podziale próbki a dwie części. Podpróbkę X 1, X 2, X 3 wykorzystujemy do zbudowaia przedziału ufości 0, G 123, zaś podpróbkę X 4, X 5, X 6 do zbudowaia przedziału 0, G 456. Oba te przedziały obliczamy iezależie w stadardowy sposób przyjmując poziom ufości 1 α = Ostateczie aszym przedziałem ufości jest 0, G N, gdzie G N = maxg 123, G 456 }. Porówać średie długości przedziałów otrzymaych obiema metodami. EG N = 1.58EG S Zadaie 14. Każda ze zmieych losowych X 1,..., X 0 ma rozkład ormaly Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i zaą wariacją σ 2. Założoo, że zmiee są iezależe i w stadardowy sposób zbudowao dla µ przedział ufości a poziomie ufości 0.95: X 1.96σ, X σ W rzeczywistości zmiee X 1,..., X 0 mają łączy rozkład ormaly, ale są skorelowae, CorrX i, X j ) = 0.1 dla wszystkich i j. Obliczyć faktyczy poziom ufości Zadaie 15. Próbka X 1,..., X 14 pochodzi z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i iezaą wariacją σ 2. Na podstawie tej próbki zbudowao dla µ w stadardowy sposób przedział ufości a poziomie ufości 1 α = X 14 S t, X 14 + S t Niech X 15 będzie zmieą losową pochodzącą z tego samego rozkładu, iezależą od X 1,..., X 14. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że X 15 ależy do uprzedio wyzaczoego przedziału ufości: P µ,σ 2 X 14 S t X 15 X 14 + S t ) Zadaie 16. Załóżmy, że X 1,..., X 4 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, 1), zaś Y 1,..., Y 9 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, 4), µ jest iezaym parametrem. Niech X = X i, Ȳ = Y i. Zaleźć takie liczby r i d, żeby przedział r X + 1 r) Ȳ d, r X + 1 r)ȳ + d był przedziałem ufości dla µ a poziomie ufości 1 α = 0.95 i przy tym długość tego przedziału 2d) była ajmiejsza. r = 0.64, d = Zadaie 17. Załóżmy, że zmiee losowe X 1,..., X są iezależe i mają rozkłady ormale. Zmiea X i ma rozkład N µ, 1 i ), iymi słowy EXi = µ, V arx i = 1 i dla i = 1,...,. Wartość oczekiwaa µ jedakowa dla wszystkich zmieych) jest iezaa. Należy zbudować przedział ufości dla µ a poziomie 1 α = Przedział ma być postaci ˆµ d, ˆµ + d, gdzie ˆµ jest estymatorem ajwiększej wiarogodości parametru µ. Podać liczbę d taką, że P µ ˆµ d < µ < ˆµ + d) = zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 3
4 Zadaie 18. Rozważmy próbkę X 1,..., X z rozkładu jedostajego a odciku 0, θ z iezaym prawym końcem θ). Niech M = maxx 1,..., X }. Należy zbudować przedział ufości dla θ a poziomie 90%. Chcemy, żeby te przedział był postaci am, bm, gdzie liczby a i b są tak dobrae, żeby Podać długość tego przedziału. ) 20 M P θ θ < am) = P θ θ > bm) = Zadaie 19. Załóżmy, że X 1,..., X 4 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) o iezaej wartości oczekiwaej i iezaej wariacji, zaś jest X 5 zmieą losową z tego samego rozkładu, iezależą od próbki. Iterpretujemy zmieą X 5 jako koleją obserwację, która pojawi się w przyszłości, ale obecie jest iezaa. Zbudować przedział ufości oparty a próbce X 1,..., X 4 taki, że L, U = LX 1,..., X 4 ), UX 1,..., X 4 ) P µ,σ 2LX 1,..., X 4 ) X 5 UX 1,..., X 4 )) = 0.95, przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczy, tz. 1 2 L + U) = X. Używamy tutaj ozaczeń: X = 1 4 L = X 3.558S, U = X S 4 X i, S 2 = X i X) 2. Zadaie 20. Zakładamy, że X 1,..., X są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach ormalych, przy czym EX i = µ i V arx i = σ2 w i. Parametry µ i σ 2 są iezae, a wagi w i i = 1,..., ) są zae. Zbudować przedział ufości ˆσ 1, 2 ˆσ 2 2 dla σ 2 a poziomie ufości 1 α = 0.9. wixi X w) , wixi X w) , gdzie X w = wixi wi Zadaie 21. Losujemy 3) iezależych realizacji zmieej losowej z rozkładu jedostajego a przedziale 0, θ). Po uporządkowaiu zaobserwowaych wartości w ciąg rosący x 1,..., x } tworzymy przedział 2x 1, 2x 1 ). Dobrać ajmiejsze, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzoy przedział pokrywa wartość parametru θ jest większe iż Zadaie 22. Niech X 1,..., X będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto1, a 1 ), a Y 1,..., Y m będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto1, a 2 ), gdzie a 1, a 2 > 0 są iezaymi parametrami. Wszystkie zmiee są iezależe. Na poziomie ufości 1 α budujemy przedział ufości dt, ct dla ilorazu parametrów a 1 a 2 a podstawie estymatora ajwiększej wiarogodości T tego ilorazu w te sposób, że P a1,a 2 ct < a ) 1 = P a1,a2 dt > a ) 1 = α a 2 a 2 2. Wyzaczyć długość przedziału ufości, gdy α = 0.1, m = 4, = T zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 4
5 Zadaie 23. Niech X 1, Y 1 ),..., X, Y ) będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie ormalym z astępującymi parametrami: iezaą wartością oczekiwaą EX i = EY i = µ, wariacją V arx i = 1 4, V ary i = 1 i współczyikiem korelacji CorrX i, Y i ) = 0.5. Osobo a podstawie prób losowych X 1,..., X i Y 1,..., Y zbudowao dwa przedziały ufości dla wartości oczekiwaej µ, każdy a poziomie ufości 0.8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że tak zbudowae przedziały okażą się rozłącze Zadaie 24. Zakładamy, że X 1,..., X 12 są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach ormalych, przy czym EX i = µ i V arx i = σ2 i, gdzie parametry µ R i σ2 > 0 są iezae. Budujemy przedział ufości ˆσ 1, 2 ˆσ 2 2 dla parametru σ 2 a poziomie ufości 0.9. Niech X = X i i Xw = ix i. Wyzaczyć ˆσ 1 2 i ˆσ 2 2 tak, by P µ,σ 2ˆσ 1 2 > σ 2 ) = P µ,σ 2ˆσ 2 2 < σ 2 ) = ixi X w) i ixi X w) Zadaie 25. Dyspoując pięcioma iezależymi próbkami losowymi o tej samej liczebości, z tego samego rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i zaą wariacją σ 2, zbudowao pięć stadardowych przedziałów ufości dla parametru µ postaci Xi σ, X i σ, gdzie X i jest średią z obserwacji w i-tej próbce, i = 1, 2, 3, 4, 5. Następie zbudowao przedział ufości dla parametru µ postaci m σ, m σ gdzie m = medx 1, X 2, X 3, X 4, X 5 }. Wyzaczyć P µ m σ µ m σ., Zadaie 26. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Weibulla o gęstości f θ x) = 3θx 2 exp θx 3 ), dla x > 0, 0, poza tym, gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Przedział ufości dla parametru θ w oparciu o estymator ajwiększej wiarogodości ˆθ = ˆθ X 1,..., X ) parametru θ otrzymujemy rozwiązując ierówość ˆθ θ z, σθ) gdzie σ 2 θ) jest wariacją asymptotyczą statystyki ˆθ i liczba z spełia Wyzaczyć postać przedziału ufości. X3 i +1.96), lim P θ X3 i 1.96) ) ˆθ θ z = σθ) zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 5
Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoRozkład χ 2 = + 2π 2. Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej:
Rozkład χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Estymacja puktowa i przedziałowa Marta Zalewska Zakład Profilaktyki Zagrożeń Środowiskowych i Alergologii Populacja Próba losowa (próbka) Parametry rozkładu Estymatory (statystyki) Własości estymatorów
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowo0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji
0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone
Estymatory nieobciążone Zadanie 1. Pobieramy próbkę X 1,..., X n niezależnych obserwacji z rozkładu Poissona o nieznanym parametrze λ. Szacujemy p 0 = e λ za pomocą estymatora ˆp 0 = e X, gdzie X jest
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
aysyka Iżyierska dr hab. iż. Jacek Tarasik AG WFiI 4 Wykład 5 TETOWANIE IPOTEZ TATYTYCZNYC ipoezy saysycze ipoezą saysyczą azywamy każde przypszczeie doyczące iezaego rozkład o prawdziwości lb fałszywości
Bardziej szczegółowoEstymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka
Ogólopolska Koferecja Naukowa Zagadieia Aktuariale Teoria i praktyka Warszawa, 9- czerwca 008 Estymacja współczyika dopasowaia w klasyczym modelu ryzyka Aa Nikodem Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu Klasyczy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowo1) Jakie są różnice pomiędzy analiza danych a wnioskowaniem statystycznym?
Plaowaie Eksperymetów 1) Jakie są różice pomiędzy aaliza daych a wioskowaiem statystyczym? Celem aalizy daych jest prezetacja kokretego zbioru daych, w sposób ukazujący jego właściwości, w szczególości
Bardziej szczegółowoPojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.
Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoχ 2 = + 2π 2 Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej: σ
χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep d π Rozważy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoObserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowo