1 Układy równań liniowych

Transkrypt

1 Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x a x =b, a 2 x + a 22 x a 2 x =b 2, a m x + a m2 x a m x =b m. gdziea ij współczyiki,b i wyrazywole,x j iewiadome(lubzmiee), i m, j..rozwiązaieukładuu azywamyciąg(x,x 2,...,x )liczbrzeczywistychspełiających te układ. 2. Układ rówań, który ie ma rozwiązaia azywamy sprzeczym. 3. Układ iesprzeczy, który ma jedo i tylko jedo rozwiązaie, azywa się ozaczoym. 4. Układy o więcej iż jedym rozwiązaiu azywa się ieozaczoymi. Korzystając z otacji macierzowej układ U moża przedstawić w postaci a x + a 2 x a x a a 2... a x b a 2 x + a 22 x a 2 x..... = a 2 a a 2 x = b 2., a m x + a m2 x a m x a m a m2... a m x b m Macierz A azywa się macierzą główą układu U. Macierzą rozszerzoą(lub uzupełioą) układu U azywamy macierz złożoą z elemetów macierzy A oraz B. Układy kwadratowe(m = ) Defiicja.2.UkłademCrameraazywamyukładAX=B,wktórymAjestmacierząkwadratową,detA 0. Twierdzeie.3.RozwiązaieukładuCrameraAX=BokreśloejestwzoremX=A B. Twierdzeie.4(wzory Cramera). Układ Cramera AX = B z iewiadomymi ma dokładie jedorozwiązaiex=(x,x 2,...,x ) T daeprzezx i = deta i deta,i=,2,...,gdziea iozacza macierz powstałą z macierzy A, w której i-tą kolumę zastąpioo kolumą wyrazów wolych B.

2 2 2 Szeregiliczbowe 2. Defiicja Niech(a ) Rbędzieciągiemliczbowym. Defiicja2...Szeregiemliczbowymowyrazacha, Nazywamywyrażeiepostaci a. k 2.SumyS k = a,dlak Nazywamyk-tymisumamiczęściowymiszeregu. 3. Szereg azywamy zbieżym, jeśli jego ciąg sum częściowych jest zbieży. Wówczas jego graicę azywamy sumą szeregu, tz. S = lim S k= a iozaczamy a <. k + 4.Szeregazywamyrozbieżym,gdyciąg(S k )jestrozbieży(tz.magraicę± lubie ma graicy). Twierdzeie 2.2. Jeśli szereg a jestzbieży,to lim + a =0. Szeregi o wyrazach ieujemych Twierdzeie 2.3(Kryterium porówawcze zbieżości szeregów). Jeśli a, b sąszeregamitakimi,żea,b 0dla NorazistiejeN Ntakie,żedlawszystkich N zachodzia b,to. jeśli szereg b jestzbieży,toszereg a jestzbieży; 2. jeśli szereg a jestrozbieży,toszereg b jestrozbieży. Twierdzeie 2.4(Kryterium d Alemberta zbieżości szeregów). Niech a będzieszeregiem owyrazachdodatich(tozaczya >0dla N).Niech lim ()jeżeli p <,toszereg a jestzbieży; (2)jeżeli p >,toszereg a jestrozbieży. a + a = p.wówczas (3) jeśli p =, to kryterium d Alemberta ie rozstrzyga, czy szereg jest zbieży. Przykład 2.5. Zbadaj zbieżość szeregów:(a) Rozwiązaie.(a) Poieważ (b) 2 (+) 2 +2(+) 3 lim =lim = 3,

3 3 więc z kryterium d Alamberta wyika, że szereg jest zbieży. (+)! (b) lim rozbieży. = lim (+) 2 + = lim 2 =.Azatemszeregjest Twierdzeie 2.6(Kryterium Cauchy ego zbieżości szeregów). Niech a będzieszeregiem owyrazachieujemych(tozaczya 0dla N).Niech lim a = p.wówczas ()jeśli p <,toszereg a jestzbieży; (2)jeśli p >,toszereg a jestrozbieży; (3) jeśli p =, to kryterium Cauchy ego ie rozstrzyga, czy szereg jest zbieży. Przykład 2.7. Zbadaj zbieżość szeregu Rozwiązaie. Poieważ lim ) 2 ( ( ) 2. =lim ( ) = e <, więc z kryterium Cauchy ego wyika, że szereg jest zbieży. Przykład 2.8(Zae szeregi).. Szereg harmoiczy 2. Szeregiem aharmoiczy ( ) jest zbieży. jestrozbieży. 3 Szeregipotęgowe Defiicja3..Niech(a )będzieciągiemliczbowymorazx 0 R..Szeregiempotęgowymośrodkuwpukciex 0 iwspółczyikacha,=0,,...azywamy szereg postaci a (x x 0 ),gdziex R.(Umowa:(x x 0 ) 0 =awetdlax=x 0 ). =0 2. Promieiem zbieżości szeregu potęgowego a (x x 0 ) azywamytakąliczbęr 0, =0 żeszeregjestzbieżyw x x 0 <R,rozbieżyw x x 0 >R,adlax=x 0 ±Rszeregmoże być zarówo zbieży jak i rozbieży. Przedziałx (x 0 R,x 0 +R)azywamyprzedziałemzbieżościszeregu. Twierdzeie 3.2. Jeśli R jest promieiem zbieżości szeregu a x,to =0 jeśli0<κ<+, R = κ a + jeśliκ=0, gdzie κ=limsup + + a 0 jeśliκ=+, lub κ=limsup + a.

4 4 Przykład 3.3. Wyzacz przedziały zbieżości szeregów: (a) Rozwiązaie. (x 2) ; (x 3) (b) ; (c) 2 =0 (3x+6). =0 (a)κ = limsup + =,R= κ =,czyliszeregjestzbieżywprzedziale(2,2+)= (,3)(środkiemszeregujesttutajx 0 =2)orazjestrozbieżydlax (,) (3,+ ). Należyjeszczezbadaćzbieżośćdlax=idlax=3. ( ) Dlax=mamyszereg,któryjestzbieży. Dla x = 3 dostajemy szereg harmoiczy Zatem przedziałem zbieżości szeregu jest[, 3).,któryjestrozbieży. 2 (b)mamyκ = limsup = /2,azatemR= κ =2,czyliszeregjestzbieży wprzedziale(3 2,3+2)=(,5)(środkiemszeregujesttutaj3)orazjestrozbieżydla x (,) (5,+ ).Dlax=mamyszereg ( ),któryjestrozbieży;dlax=5 =0 szereg rówieżrozbieży. =0 Zatem przedziałem zbieżości szeregu jest(, 5). (3x+6) 3 (c) Zauważmy, że = =0 (x+2).poieważκ=limsup (+)! 3 + =0 + 3 =0, więcr=+,czyliszeregjestzbieżydlakażdegox R. 4 Rachuekprawdopodobieństwa Schemat Beroulliego Wyobraźmy sobie, że wielokrotie powtarzamy pewie eksperymet, przy czym spełioe są astępujące waruki:. każdy eksperymet może dać dokładie dwa róże wyiki- mówi się odpowiedio o sukcesie ozaczaym przez oraz o porażce ozaczaej przez 0, 2. prawdopodobieństwo sukcesu w każdym eksperymecie jest zawsze takie samo ozaczamy to prawdopodobieństwo przez p(wówczas prawdopodobieństwo porażki w każdym eksperymeciewyosiq= p), 3. eksperymety są iezależe od siebie.

5 5 Przykładem takiego eksperymetu jest wielokroty rzut kostką do gry, przy czym określoe jest, co rozumiemy przez porażkę, a co przez sukces(mają być dokładie dwa wyiki eksperymetu). Stadardowym problemem jest obliczeie prawdopodobieństwa uzyskaia dokładie k sukcesów podczas eksperymetów, przeprowadzaych zgodie ze sformułowaymi powyżej warukami.niecha k będzieiteresującymaszdarzeiem.wówczas: P (A k )= ( ) p k ( p) k = k k!( k)! pk ( p) k, k=0,,... Najbardziej prawdopodobą liczbą sukcesów w doświadczeiu Beroulliego z parametrami ipjestliczba[(+)p],gdzie[x]ozaczaczęśćcałkowitązx. Przykład 4.. Prawdopodobieństwo trafieia strzałą w baloik wyosi /3. Do celu oddao 0 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafioo: a) 2 razy, b) co ajmiej raz, c) co ajwyżej raz? d) Jaka jest ajbardziej prawdopodoba liczba celych strzałów? Rozwiązaie. Mamy = 0 doświadczeń, dla których prawdopodobieństwo sukcesu wyosi p = /3. Możemy zatem zastosować tutaj wzór dla schematu Beroulliego. (a) Chcemy uzyskać dokładie k = 2 sukcesów. Zatem szukae prawdopodobieństwo wyosi P 0 ({k=2})= ( 0 2 ) ( ) ( ) 2 8 ( ) = (b)chcemyuzyskaćcoajmiejsukceses,azatemk oraz P 0 ({k })= P 0 ({k<})= P 0 ({k=0})= (c)chcemyuzyskaćcoajwyżejsukceses,azatemk oraz P 0 ({k })=P 0 ({k=})+p 0 ({k=0})= ( 0 ( 0 0 ) ( ) ( ) 2 0 ( ) = ) ( ) ( ) 2 9 ( ) 2 0 ( ) = (d) Najbardziej prawdopodobą liczbą celych strzałów jest[( + )p] =[/3] = Zmiee losowe i ich rozkłady Defiicja4.2.FukcjęX:Ω Razywamyzmieąlosową,jeżelidladowolegoa R, zbiór{ω Ω;X(ω)<a} S,czylijestzdarzeiem. Defiicja 4.3. Dystrybuatą azywamy fukcję F: R [0, ], spełiającą astępujące waruki:.fjestfukcjąiemalejącą,tozaczy:x<y F(x) F(y), 2.Fjestprawostroieciągła,tozaczy:lim x a +F(x)=F(a)dlakażdegoa R, 3.lim x F(x)=orazlim x F(x)=0.

6 6 Dyskreta zmiea losowa. Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmiea X moża wypisać w postaci ciągu {x,x 2,...}(skończoegolubie),tomówimy,żejesttozmiealosowadyskreta.Wtakim przypadkuliczbyx k azywamywartościamizmieejlosowejxorazmamy, p k =P({ω;X(ω)=x k })=P(X=x k ); DlazmieejlosowejdyskretejmamyF(t)= x i tp i. Zmiea losowa typu ciągłego p k =. k Zmiealosowajesttypuciągłego,gdyistiejetakafukcjaf 0,żedlakażdegot R zachodzi t P(X<t)= f(x)dx. Fukcję f azywamy gęstością rozkładu prawdopodobieństwa zmieej X. Spełia oa astępujące waruki: f(x)dx=, P(a X b)= b a f(x)dx. DystrybuatąF: R [0,]dlatejzmieejlosowejjestfukcjadaawzorem: F(t)=P(X t)= t f(x)dx. Defiicja Wartością oczekiwaą zmieej losowej X azywamy liczbę: N EX= x i p i, lub EX= xf(x)dx, i= odpowiediodlazmieejorozkładziedyskretym:p(x=x i )=p i,lubociągłymz gęstością f. 2.WariacjązmieejlosowejXazywamyliczbę: D 2 X= E((X EX) 2 ),aodchyleiem stadardowym zmieej X azywamy liczbę σ = D 2 (X). 4.2 Fukcje zmieych losowych Chcemy zaleźć rozkład zmieej losowej Y = g(x), gdzie X to zmiea losowa o zadaym rozkładzie,zaśgtopewafukcja,takażeytozmiealosowa. Przykład4.5.NiechY =2X+,Z=X 2,gdzieXjestzmieąlosowąorozkładzie daym tabelką: Zajdź rozkład zmieej losowej Y i Z. x i 0 p i 0,3 0,25 0,45

7 7 Rozwiązaie.a)Tutajg(x)=2x+jestróżowartościowa.azatemh(y)=(y )/2.Mamy y i 3 p i 0,3 0,25 0,45 b)mamyh(x)=x 2,atoiejestfukcjaróżowartościowa,więc z i 0 p i 0,25 0,75