Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Transkrypt

1 Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel

2 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa - zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych S sigma-ciało a zbiorze, czyli zbiór jego odzbiorów sełiający waruki: 1) S ) S S,,,... S... U S 3) P ukcja o argumetach ze zbioru S i wartościach będących liczbami rzeczywistymi, sełiająca waruki ( aksjomaty ): 1. P 0 S. P 1 3. P P P P dla zdarzeń arami rozłączych, tz i j dla i j Wartości ukcji P A możemy azywać rawdoodobieństwem 1. P 0,1. P 0 3. P P 4. P 1 P Własości rawdoodobieństwa 5. P \ P P 6. P P P P Zdarzeia A i B są iezależe, gdy: P P P Niezależość zdarzeń Prawdoodobieństwo warukowe Prawdoodobieństwo warukowe zajścia zdarzeia A od warukiem zajścia zdarzeia B ozaczamy jako P i liczymy ze wzoru: Tel

3 P P P Prawdoodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Zakładając, że dla i j i P P P i j : Prawdoodobieństwo całkowite P P P P P P P Wzór Bayesa P P i i P i P Schemat Beroulliego Prawdoodobieństwo zajścia k sukcesów w iezależych i idetyczych doświadczeiach, z których każde może zakończyć się tylko a dwa sosoby (z rawdoodobieństwami dla sukcesu i q dla orażki ) wyosi: P S k q k k k Tel

4 Zmiee losowe Dyskrete zmiee losowe Rozkład 1 i Dystrybuata F x P X x Wartość oczekiwaa xii Mediaa x 0,5, Me Wartość zmieej losowej, dla której skumulowae rawdoodobieństwa rzekraczają 1 Domiata, moda D Wartość zmieej losowej osiągaa z ajwiększym rawdoodobieństwem Kwatyl rzędu x Wartość zmieej losowej, dla której skumulowae rawdoodobieństwa rzekraczają, Wariacja i i, D X x Odchyleie stadardowe, Wsółczyik zmieości V V E X Tel

5 Momet zwykły -tego rzędu, xi i Momet cetraly -tego rzędu xi i Wsółczyik asymetrii Wsółczyik kocetracji K 4 Rozkład Beroulliego 4 Przykłady rozkładów dyskretych zmieych losowych W rozkładzie Beroulliego rawdoodobieństwa określae są ze wzoru: P X k q k k k q Rozkład Poissoa W rozkładzie Poissoa rawdoodobieństwa określae są ze wzoru: P X k e k! k Dla dużych i małych rozkład Beroulliego moża zastęować rozkładem Poissoa Tel

6 Rozkład hiergeometryczy W rozkładzie hiergeometryczym rawdoodobieństwa określae są ze wzoru: P X k M N M k k N Gdzie N to ilość wszystkich elemetów w oulacji, M to ilość wszystkich elemetów w oulacji o określoej cesze, to ilość elemetów w róbce, k to ilość elemetów w róbce o określoej cesze M N M M N 1 1 N N N Dla dużych N i M, oraz M N rozkład Beroulliego moża zastęować rozkładem hiergeometryczym. Tel

7 Ciągłe zmiee losowe Fukcja gęstości x b P a X b x dx a xdx 1 Dystrybuata x F x P X x t dt Wartość oczekiwaa x xdx Mediaa x 0,5, Me Wartość 0,5 F x x, dla której Domiata, moda D 0,5 0,5 Maksimum globale ukcji gęstości x Kwatyl rzędu x Wartość x, dla której F x, Wariacja x x dx, D X Odchyleie stadardowe, Tel

8 Wsółczyik zmieości V V E X Momet zwykły -tego rzędu, x x dx Momet cetraly -tego rzędu x x dx Wsółczyik asymetrii Wsółczyik kocetracji K 4 Rozkład ormaly 4 Przykłady rozkładów ciągłych zmieych losowych W rozkładzie ormalym rawdoodobieństwa określae są z ukcji gęstości o wzorze: xm 1 x e m D X Stadaryzacja rozkładu ormalego: X m Z Tel

9 Rozkład jedostajy W rozkładzie jedostajym rawdoodobieństwa określae są z ukcji gęstości o wzorze: 1 x b a 0 w rzedziale x dla ozostalych x a, b Rozkład wykładiczy W rozkładzie wykładiczym rawdoodobieństwa określae są z ukcji gęstości o wzorze: x x 1 e dla x 0 0 dla x 0 Tel

10 Zmiee losowe dwuwymiarowe Dyskrete zmiee losowe dwuwymiarowe Rozkład Rozkłady brzegowe i.,. j i j Prawdoodobieństwo warukowe ij i j, PY y j X xi P X x Y y. j ij i. Niezależość zmieych losowych Dwie zmiee losowe X i Y azywamy iezależymi, gdy: i, j i j P X x Y y P X x P Y y i, j Dystrybuata F x, y P X x, Y y Wartości oczekiwae xix y jy Wartości oczekiwae, EY liczymy z rozkładów brzegowych Wariacje Wariacje D X D ij Y, liczymy z rozkładów brzegowych. Tel

11 Kowariacja C X Y x E X y E Y, i j ij i j Wsółczyik korelacji C X, Y DY Jeśli 0 zmiee losowe azywamy ieskorelowaymi. Nie ozacza to jedak, że są iezależe. Jeśli jedak zmiee losowe są iezależe, to a ewo 0. Tel

12 Ciągłe zmiee losowe dwuwymiarowe Fukcja gęstości x, y bd Pa X b, c Y d x, ydydx x, y dydx 1 Rozkłady brzegowe x x y dy a c, 1, Rozkłady warukowe y x, y dx X Y x, y y, Y X x, y x 1 Niezależość zmieych losowych Dwie zmiee losowe X i Y azywamy iezależymi, gdy dla dowolych x i y:, x y x y Dystrybuata 1 x y F x, y P X x, Y y u, vdudv Wartości oczekiwae E X x1 xdx E Y y ydy Tel

13 Wariacje D X x 1 xdx D Y y EY ydx Kowariacja C X, Y x E X y E Y x, y dxdy Wsółczyik korelacji C X, Y DY Jeśli 0 zmiee losowe azywamy ieskorelowaymi. Nie ozacza to jedak, że są iezależe. Jeśli jedak zmiee losowe są iezależe, to a ewo 0. Tel