Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Transkrypt

1 Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie,. Niech oraz. Dobrać stałą a, aby statystyka miała rozkład t-studeta z 9 stopiami swobody ODP: 0 Zadaie 3 Niech,,, jest próbą losową z rozkładu wykładiczego o wartości oczekiwaej 5. Ile wyosi liczba t, jeśli wiadomo, że : ODP: t = Zadaie 4 Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie,. Dobrać stałą c, tak aby statystyka : : była ieobciążoym estymatorem wyrażeia b a. ODP: Zadaie 5 Mamy dwie iezależe obserwacje: ~, oraz ~,. Niech. Dobrać stałe a i b aby było ieobciążoym estymatorem. Wskazówka: wyzaczyć rozkłady i, ODP:, Zadaie 6 Niech,,, będzie próbką z rozkładu o gęstości dla 0,. Wyzaczyć estymator parametru Metodą Największej Wiarogodości oraz obliczyć jego wariację. Wskazówka: wyzaczyć rozkład l

2 ODP:, Zadaie 7 Niech,,, będzie próbą z rozkładu o gęstości: x c µ e dla x c µ = 0 dla x < c gdzie i 0 są iezaymi parametrami. Defiiujemy estymator parametru postaci: :. Dobrać tak stałe a i b aby otrzymać ieobciążoy estymator. Wskazówka: zauważyć, iż ma rozkład wykładiczy ODP:, Zadaie 8 W urie jest r czarych kul ( 0). Powtarzamy 3 razy astępujące czyości: - losujemy jedą kulę z ury i odkładamy ją a bok, - wrzucamy do ury kulę białą. W wyiku tego doświadczeia wylosowaliśmy po kolei kulę czarą, białą i czarą. Wyzaczyć estymator ajwiększej wiarogodości iezaej liczby r. Wskazówka: wiarygodość próby: ODP: Zadaie 9 Niech,,,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie,. Bezpośredio dostępe są tylko obserwacje,,,, ale zamy średią. Dobrać tak stałą a, aby estymator był ieobciążoym estymatorem. Wskazówka: wyzaczyć rozkład ODP: Zadaie 0 Niech,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie,. Obliczyć, gdzie. Wskazówka: pokazać, że ~

3 ODP: 0.63 Zadaie Niech,,, jest próbą losową z rozkładu o dystrybuacie x e dla x θ F( x) = 0 dla x < θ gdzie 0 jest iezaym parametrem. Rozważamy estymator postaci :. Obliczyć fukcję ryzyka tego estymatora. Wskazówka: ie ma rozkładu ciągłego, bo dystrybuata jest ieciągłą w pukcie ; ; dla zmieych losowych 0 zachodzi: ODP: i Zadaie Załóżmy, że,,, jest próbą losową z rozkładu wykładiczego z iezaym parametrem. Niech będzie zmieą losową powstałą w wyiku zaokrągleia w górę do ajbliższej liczby całkowitej. Wyzaczyć estymator ajwiększej wiarogodości dla parametrem a podstawie próby,,,. ODP: Zadaie 3 Załóżmy, że,,, jest próbą losową z rozkładu wykładiczego z iezaym parametrem. Dobrać stałą c, żeby był ieobciążoym estymatorem wariacji pojedyczej zmieej. Wskazówka: pokazać, że ~Γ, ODP: Zadaie 4 Niech,,... 5 będą iezależymi zmieymi losowymi, przy czym,,... 5 mają rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą θ, a 6, 7,... 5 rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą 3 θ. Wyzaczyć estymator ajwiększej wiarogodości parametru θ w oparciu o próbę,,... 5 i obliczyć jego wartość oczekiwaą. 3

4 Zadaie 5 Niech,,... będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie ormalym N (, 4). Niech F ( t ) ozacza dystrybuatę empiryczą wyzaczoą a podstawie zmieych,,... w pukcie t. a) Do jakiego rozkładu zbiega zmiea losowa ( F () )? b) Oblicz lim P(( F () ) > ) Zadaie 6 Zawartość białka w pewym produkcie żywościowym zmierzoo 0-krotie metodą I i 0-krotie metodą II. Wyiki metody I są iezależymi zmieymi losowymi,,,,...,0 z rozkładu N ( m, ), zaś wyiki metody II są iezależymi zmieymi losowymi,,,,...,0 z rozkładu N( m, 4 ). Pomiary dwiema metodami są iezależe. Rozpatrzmy astępujące estymatory parametru m: gdzie = ( ), i =, i 0 i, i, i,0 mˆ = + mˆ = 0,8 + 0, Wyzacz wartość oczekiwaą i błąd średiokwadratowy estymatorów. Zadaie 7 Niech,,... będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości: f x x x ( ) = θ exp( θ ), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Wyzaczyć estymator ajwiększej wiarogodości parametru θ w oparciu o próbę,,... i obliczyć wariację asymptotyczą tego estymatora. Zadaie 8 Zmiee losowe,,... są to liczby wypadków drogowych w ciągu kolejych tygodi. Zakładamy, że są to zmiee iezależe o jedakowym rozkładzie Poissoa z parametrem λ. Iteresuje as estymacja przeciętej liczby wypadków λ. Wyiki wcześiejszych badań sugerują, że iezaa wielkość λ może być bliska 6. Wobec tego używamy astępującego estymatora: ˆ λ = +. Wyzacz obciążeie i błąd średiokwadratowy tego estymatora. 3 4

5 Zadaie 9 Niech,,... będzie próbką losową z rozkładu jedostajego a przedziale [0;4]. Niech Fˆ ( t ) ozacza dystrybuatę empiryczą wyzaczoą a podstawie zmieych,,... w pukcie t. Obliczyć E Fˆ () i Var Fˆ (). Zadaie 0 Niech,,... będzie próbką losową z rozkładu o fukcji gęstości daej wzorem x dla x = θ [ 0; θ ] [ θ ] 0 dla x 0; gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Wyzaczyć estymator parametru θ metodą ajwiększej wiarogodości oraz metodą mometów. Zadaie Niech,,... będzie próbką losową z rozkładu jedostajego a przedziale [0;0]. Niech Fˆ ( t ) ozacza dystrybuatę empiryczą wyzaczoą a podstawie zmieych,,... w pukcie t. a) Wyzaczyć do czego zbiega według prawdopodobieństwa zmiea losowa F ˆ (). lim P Fˆ () < 0, 3 ( ) b) Obliczyć ( 0 ) Zadaie Niech,..., θ θ x będzie próbą losową z rozkładu o gęstości fθ ( x) = e dla x > 0. Wyzacz x estymator ajwiększej wiarogodości parametru θ oraz oblicz jego obciążeie, wariację i ryzyko. ODP: ˆ θ =, ˆ Eθ = θ, b( θ) = θ, ˆ Var( θ ) = θ, x ( ) ( ) i= i R( θ ) = θ + θ ( ) ( ) ( ) Zadaie 3 Niech,..., będzie próbą losową z rozkładu o gęstości = θ θ ( x + ) + θ dla x > 0. 5

6 a) Wyzacz metodą kwatyli estymator parametru θ w oparciu o pierwszy kwartyl z próby (przyjmujemy, że Q / 4 ozacza pierwszy kwartyl wyzaczoy a podstawie próby,..., ). b) Obliczyć E(mi(,..., )). l ( 4 / 3) ODP: a) ˆ θ =, b) θ l Q + ( ) / 4 Zadaie 4 Niech,..., będą iezależymi zmieymi losowymi z tego samego rozkładu o gęstości 3 x / θ θ = x e dla x > 0, gdzie θ > 0. a) Dobierz stałą c tak, aby statystyka parametru θ. b) Sprawdź czy estymator uzyskay w pukcie a) jest ENMW ODP: a) c = 3 b) Jest ENMW T = c była estymatorem ieobciążoym i= i Zadaie 5 Niech,,..., będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości ( ) θ x θ + = dla x, θ >. a) Wyzacz estymator parametru θ metodą kwatyli wykorzystując mediaę z próby. b) Wyzacz estymator parametru θ metodą mometów wykorzystując średią z próby. l ODP: a) ˆ θ = l mˆ gdzie ozacza mediaę z próby, b) ˆ θ = Zad 6 Zakładamy, że,,, jest próbą losową z rozkładu o gęstości dla 0,, gdzie 0. Chcemy skostruować przedział ufości, dla parametru a poziomie ufości 0,9 tak, żeby ( 0,05. Dobrać stałe i, w taki sposób, żeby szukaym przedziałem ufości, gdzie Wskazówka: pokazać, że ~ Odpowiedź:,97; 9,6., było Zad 7 Niech,,, będzie próbą losową z rozkładu jedostajego a przedziale 0,. W celu przetestowaia hipotezy : przeciw alteratywie : wykorzystujemy test astępującej postaci: odrzucamy, jeśli wartość statystyki : przekroczy stałą c. Niech będzie 6

7 ajmiejszą liczebością próbki taką, przy której test a poziomie istotości 0, ma w pukcie moc przekraczającą 0,95. Obliczyć. Odpowiedź: 3 Zad 8 Każda ze zmieych losowych,,, ma rozkład ormaly, z iezaą wartością oczekiwaą i zaą wariacją. Założoo, że zmiee losowe są iezależe i zbudowao w stadardowy sposób przedział ufości a poziomie ufości 0,95 dla :,,, W rzeczywistości zmiee,,, mają łączy rozkład ormaly ale są skorelowae: ]., /0 dla wszystkich. Obliczyć faktyczy poziom ufości, czyli,96 0 przy założeiu, że zmiee losowe są skorelowae.,96 0 Wskazówka:,,, ; Odpowiedź: 0,45 ; ~00, 090 Zad 9 Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach ormalych, przy czym ~, / dla,,, 0. Należy zbudować przedział ufości dla a poziomie ufości 0,95. Przedział ma być postaci,, gdzie jest estymatorem ajwiększej wiarygodości parametru. Wskazówka: Odpowiedź: 0,643 ; ~, Zad 30 Każde z 40 laboratoriów iezależie przeprowadziło pomiar prędkości światła w próżi c i każde podało przedział ufości dla c a poziomie ufości 0,95. a) Jaka jest wartość oczekiwaa liczby tych laboratoriów, które podały przedział zawierający prawdziwą wielkość c? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że chociaż jede z 40 przedziałów ie zawiera prawdziwej wielkości c? 7

8 Zad 3 Niech,,... będzie próbką losową z rozkładu N µ (,3 ). Weryfikujemy hipotezę zerową H : µ = 3 przy alteratywie 0 H : µ = testem o obszarze krytyczym K = {( x,..., x ) : x < c}. i= i a) Wyzaczyć wartość c, dla której test ma rozmiar 0,0. b) Wyzaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju dla = 9. Zad 3 Zakładamy, że miesięcze wydatki a odbitki kserograficze studeta WNE mają rozkład ormaly N ( µ, σ ). Badaie 6 losowo wybraych studetów dostarczyło daych: i= i 5 i= ( ) i = = 0 S = = 9 a) Wyzacz przedział ufości dla wariacji zmieej losowej opisującej wydatki studeta WNE a ksero a poziomie ufości 0,9. b) Wyzacz przedział ufości dla wartości oczekiwae zmieej losowej opisującej wydatki studeta WNE a ksero a poziomie ufości 0,95. Odpowiedź: a) [5, 4;8,59] b) [8, 4;,6] Zad 33 W grupie 0 losowych pasażerów metra 84 osoby stwierdziły, że metro jest dla ich jedyym środkiem trasportu. Wyzaczyć przedział ufości dla odsetka pasażerów metra, dla których jest to jedyy środek trasportu a poziomie ufości 0,98. Odpowiedź: [ 0,3;0, 49 ] Zad 34 Niech,,... 0 będzie próbką losową z rozkładu o fukcji gęstości daej wzorem x dla x θ 0 0; = dla x [ 0; θ ] [ θ ] gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Weryfikujemy H : θ = wobec alteratywy H : θ > za 0 pomocą testu o obszarze krytyczym W = {(,,... 0 ) : max(,,... 0) < c}. Wyzaczyć stałą c, aby otrzymać test a poziomie istotości 0,05. Odpowiedź: / 0 c = 0,05 8

9 Zad 35 Niech,..., x będzie próbą losową z rozkładu o gęstości fθ ( x) = dla x (0, θ ). Czy θ statystyka ( ) jest zgodym estymatorem dla θ : Odpowiedź: Tak Zad 36 Dyspoujemy 0 elemetową próbką losową z rozkładu ormalego a podstawie tej próby wyosi = 4. a) Wyzacz przedział ufości dla parametru µ a poziomie ufości 0,95.? N ( µ,3 ). Średia wyzaczoa b) Jak licza powia być próba, aby przy przyjętym poziomie ufości otrzymać przedział ufości o długości ie większej od 0,? Odpowiedź: a) [,685;5,35 ] b) 3830 obserwacji Zad 37 Na podstawie próby losowej,,, testujemy hipotezę : przy alteratywie : za pomocą testu o obszarze krytyczym. Wyzaczyć wartość t, jeśli zmiee losowe mają rozkłady o gęstości dla i błąd I rodzaju wyosi 0,05. Wskazówka: ~; ~ Odpowiedź: 7,8793 9