ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1

2 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X z prawdopodobieństwem 1 jeśli P ({ }) ω : lim X ( ω) = X ( ω) = 1 2

3 Średiokwadratowa zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest średiokwadratowo zbieży do zmieej losowej X jeśli lim E ( ) 2 X X = 0 Rozpatrując te rodzaj zbieżości zakładamy, że dla występujących tu zmieych losowych (X ), X istieje skończoy momet rzędu 2. Niekiedy stosuje się zapis l.i.m. (skrót od limit i mea ). X = X 3

4 Stochastycza zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest stochastyczie (wg prawdopodobieństwa) zbieży do zmieej losowej X jeśli ( X X < ) = 1 lim P ε > 0 ε lub rówoważie > lim P( X ) X ε = 0 ε 0 4

5 Zbieżość ciągu zmieych losowych wg dystrybuat (wg rozkładu) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X wg dystrybuat jeśli ciąg ich dystrybuat F jest zbieży do dystrybuaty F w każdym pukcie jej ciągłości (F jest dystrybuatą zmieej losowej X). 5

6 ZBIEŻNOŚĆ Z PRAWDOPODOBIEŃSTWEM 1 ZBIEŻNOŚĆ ŚREDNIOKWADRATOWA ZBIEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA zbieżość do stałej (tz. gdy graica ma rozkład jedopuktowy) ZBIEŻNOŚĆ WG DYSTRYBUANT 6

7 Przykład. Rozpatrzmy ciąg zmieych losowych skokowych określoych a przedziale [0, 1) w astępujący sposób k k gdy ω ; X k ( ω) = k k gdy ω [0, 1) ; 1 1 P( X k = 1) = ; P( X k = 0) = 1 Ciąg X 01, X 02, X 12, X 03, X 13, X 23,... zbieży stochastyczie do zera bo 0< < ε 1 lim P 1 ( X ε ) = lim = 0 jest Natomiast ciąg te ie jest zbieży w żadym pukcie przedziale [0, 1) bowiem dla każdego ustaloego puktu otrzymujemy rozbieży ciąg zer i jedyek (zera i jedyki występują a dowolie dalekich miejscach). 7

8 Przykład. Ciąg zmieych losowych X ciągłych o rozkładach jedostajych a przedziałach (0, 1/) jest zbieży do rozkładu jedopuktowego X P ( X = 0) = ) wg dystrybuat. ( 1 8

9 Cetrale twierdzeie graicze Lideberga Levy'ego Jeśli iezależe zmiee losowe X i (i = 1, 2,..., ) mają taki sam rozkład oraz istieje E(X ) = m i D 2 (X ) = σ 2 > 0 to ciąg dystrybuat (F ) stadaryzowaych średich arytmetyczych X (lub stadaryzowaych sum i= 1 Y X i = ) X σ / m = i=1 X σ m jest zbieży do dystrybuaty Φ rozkładu N(0, 1). 9

10 Aby się przekoać, że suma iezależych zmieych losowych o takim samym rozkładzie może dążyć do rozkładu N(0, 1) porówajmy rozkład N(0, 1) i stadaryzowae rozkłady X, (X + Y)/2, (X + Y + Z)/3, gdzie X, Y, Z iezależe zmiee losowe o rozkładzie jedostajym w przedziale [ 0,5; 0,5]. 10

11 N X x 11

12 12

13 Wiosek Dla dużych (w praktyce 30) P a i= 1 X σ i m < b Φ( b) Φ( a) 13

14 W przypadku szczególym gdy X i (i = 1, 2,..., ) maja rozkład zerojedykowy to powyższe twierdzeie azywamy twierdzeiem Moivre'a-Laplace'a (zmiee losowe dwumiaowy). Y = X i maja rozkład i= 1 14

15 Wiosek z twierdzeia Moivre'a-Laplace'a: Y p P i a < b Φ( b) Φ( a) pq Uwaga. Powyższe twierdzeia wskazują a ważą rolę rozkładu ormalego. 15

16 Przykład Wadliwość partii żarówek wyosi 0,01. Z tej partii żarówek wylosowao 625 żarówek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych żarówek będzie a) miej iż 10 wadliwych, b) ajwyżej 10 wadliwych. 16

17 Rozwiązaie. Y liczba wadliwych żarówek wśród wylosowaych, Ad a) P( Y i < 10) = P Y i 625 0, ,01 0,99 < , ,01 0,99 Φ(1,51) = 0,

18 18 Ad b) 0,97193 ) (1, ,01 0, , ,01 0, ,01 ) 11 ( 10) ( 10) ( 10) ( = Φ < = = < = = + < = i i i i i Y P PY P Y PY P Y

19 Prawo wielkich liczb Chiczya (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o takim samym rozkładzie oraz iech istieje E(X i ) = m. 1 Y = Wtedy ciąg X i jest zbieży i= 1 stochastyczie do m. 19

20 Wiosek Dla dużych jeśli istieje D 2 (X ) = σ 2 > 0 to ε > 0 ε σ ( Y m < ε ) 2Φ 1 P 20

21 Przypadek szczególy prawo wielkich liczb Beroulliego: (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o rozkładzie dwumiaowym wtedy ciąg jest stochastyczie zbieży do p. X 21

22 Wiosek Dla dużych : X 2Φ ε P p < ε > 0 pq ε 1 22

23 Przykład Wadliwość partii żarówek wyosi 0,1. Z tej partii żarówek losujemy żarówek. Ile żarówek ależy wylosować aby prawdopodobieństwo, że średia liczba wadliwych żarówek różiła się co do wartości bezwzględej od wadliwości partii o miej iż 0,025 było co ajmiej rówe 0,95. 23

24 Rozwiązaie Y liczba wadliwych żarówek wśród wylosowaych Y 0,025 0,1 0,025 2 P < Φ 1 0,1 0,9 stąd oraz 0,025 Φ 0,1 0,9 0,025 1,96 0,1 0,9 0,975 0,95 zatem 23, 52 i >

25 Przybliżeia lokale. Przybliżeie lokale Poissoa dla dużych (praktyczie 30) i małych p (praktyczie p 0,2) mamy k p k q k k λ e k! λ gdzie λ = p 25

26 Przybliżeie lokale Moivre a-laplace a dla dużych mamy k k 1 k p p q f k pq pq Gdzie f- gęstość rozkładu N(0, 1). 26

27 Oceę odchyleia wartości zmieej losowej od jej wartości oczekiwaej daje ierówość Czebyszewa: X zmiea losowa oraz istieje E(X) = m i D 2 (X) = σ 2 > 0 wtedy P 2 σ ( X m ε ) 2 ε > 0 ε 27

28 Z ierówością Czebyszewa związae są ie ierówości p. 1) ierówość Markowa E X P ε > 0 p> 0 ε 2) ierówość Czebyszewa II EX P( X ε ) ε >0 ε ( X ε ) p 3) ierówość Czebyszewa III (wykładicza) jeśli λ Ee X Ee λ < P( X ε ) ε >0 λε e 4) ierówość Bersteia jeśli S liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p to S 2 2ε P p ε 2e ε > 0 p X 28