Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są warukowo iezależe i: k λ Pr( N t = k Λ = λ) = e λ k = 0,,, K k! Parametr ryzyka Λ w populacji ubezpieczoych przyjmuje wartości: /4 lub /. Mamy do czyieia z dwuetapowym doświadczeiem losowym: ajpierw losujemy ubezpieczoego zgodie z rozkładem prawdopodobieństwa Pr ( Λ = / 4) = / = Pr( Λ = / ) astępie obserwujemy liczby geerowaych przez iego szkód N, N, N N. N t 3, Staramy się przewidzieć liczbę szkód w astępym okresie, czyli N 5. Jeśli wiadomo, że: N + N + N + N 0, to (warukowe) prawdopodobieństwo tego, że N 5 = = jest rówe (w przybliżeiu): 4 (A) 0.77 (B) 0.73 (C) 0.69 (D) 0.65 (E) 0.6

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie. W pewym ubezpieczeiu jedyie pewa część szkód jest zgłaszaa. Niech K ozacza liczbę szkód zaszłych, zaś N liczbę szkód zgłoszoych. Niech i umeruje szkody zaszłe, a M i ozacza zmieą przyjmującą wartość gdy i-tą szkodę zgłoszoo, a wartość 0 gdy jej ie zgłoszoo. Wtedy: N = M + M + L + M K Załóżmy, że M i są zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie, iezależymi awzajem i od zmieej K, oraz iż zmiea K ma rozkład Poissoa z wartością oczekiwaą λ. Przyjmijmy założeia liczbowe: Pr ( M = ) = / 3 i λ = Warukowa wariacja ilości szkód ie-zgłoszoych, pod warukiem iż zgłoszoo dwie szkody: Var K N N = wyosi: ( ) (A) /3 (B) / (C) /3 (D) 5/6 (E)

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 3. Wiadomo, że rozkład sumy W = X + X dwóch iezależych zmieych losowych o rozkładach złożoych dwumiaowych z parametrami odpowiedio (, q, F ) oraz (, q, F ) jest także rozkładem złożoym dwumiaowym o parametrach (, q, F W W ), gdzie dystrybuata FW daa jest wzorem: F x = w F x + w F x + w w F F x, ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) x W * F * F F F i gdzie ozacza dystrybuatę sumy dwóch iezależych zmieych losowych o dystrybuatach oraz. Przyjmijmy założeia liczbowe: q = / 3 oraz q = / 4 Wyzacz wartość parametru w wzoru a dystrybuatę F. Uwaga: parametry rozkładu złożoego dwumiaowego podajemy jako trójkę (, q, F ), gdzie (, q) to parametry rozkładu dwumiaowego liczby szkód zaś F to dystrybuata rozkładu wartości pojedyczej szkody taka, że (A) w = / 6 (B) w = / 4 (C) w = / 3 (D) w = / (E) w = / 3 W F ( 0 ) = 0. 3

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 4. Rozważamy klasyczy model procesu adwyżki: U t = u + ct ), gdzie: () S N (t u jest adwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzoych do mometu t, () t N jest procesem Poissoa z parametrem itesywości λ, S = Y i jest sumą wypłat, a pojedycze wypłaty iezależymi awzajem i od procesu Y i i= są zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie, N ( t). Niech L ozacza maksymalą stratę, L jej dystrybuatę, zaś prawdopodobieństwo ruiy przy adwyżce początkowej u. Wtedy dla każdego zachodzi: F L u = Ψ u = Pr t 0 U t 0. ( ) ( ) ( ( ) ) F Ψ( u) u 0 Załóżmy, że wypłaty Y i mają rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą parametr itesywości składki c wyosi: c = λµ 0%. µ, oraz iż Oblicz Ψ ( E( L) ), czyli prawdopodobieństwo ruiy przy założeiu, iż kapitał początkowy rówy jest wartości oczekiwaej maksymalej straty. (A) Ψ( E( L) ) (B) Ψ( E( L) ) (C) Ψ( E( L) ) (D) Ψ( E( L) ) 0. 5 (E) Ψ( E( L) )

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 5. Rozważamy klasyczy model procesu adwyżki: U t = u + ct ), gdzie: () S N (t u to adwyżka początkowa, ct to suma składek zgromadzoych do mometu t, pojedycze wypłaty Y i awzajem i od procesu t. Niech c = ( +θ ) λe(y ). () t N to proces Poissoa z parametrem itesywości λ, to suma wypłat, a to zmiee losowe o idetyczym rozkładzie, iezależe N( ) S = Y i Załóżmy, że wypłaty Y i mają rozkład day a półosi dodatiej gęstością: f Y ( y) = exp y +. 3 πσ y σ y O rozkładzie tym wiadomo, że: E Y =, Var ( Y ) = σ, oraz iż: ( ) fukcja ( ( ty )) postać: E exp( ty ) E exp przyjmuje wartości skończoe dla t σ /, i ma wtedy ( ) = exp( σ ( tσ ) Niech θ ozacza maksymalą wartość parametru θ spośród takich jego dodatich wartości, dla których współczyik dopasowaia (adjustmet coefficiet) istieje bez względu a to, ile wyosi wariacja σ zmieej Y. Spośród poiższych pięciu zdań wybierz zdaie prawdziwe.. i= (A) θ ie istieje, bo R istieje dla dowolych θ > 0 i σ > 0 (B) θ ie istieje, bo dla dowolego θ > 0 moża wskazać takie σ > 0, że R ie istieje (C) θ = e (D) θ = / (E) θ = 5

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 6. Niech X t, j roku t, a likwidowae są w roku ozacza wartość szkód z pewego portfela, które zaszły w t + j. Przyjmujemy założeie, że dla każdego t oraz j λ r,, a więc iż zmiee te mają złożoe rozkłady Poissoa o parametrach ( ) rozkład wartości pojedyczej szkody jest bez względu a rok zajścia i rok likwidacji taki sam, oczekiwaa liczba szkód zaszłych w każdym roku jest taka sama i wyosi λ, zaś współczyiki rozkładu opóźieia są ieujeme i sumują się do jedyki: =0 j r j tylko r j =. Załóżmy też, że wszystkie zmiee są awzajem iezależe (jeśli t τ lub i j to i iezależe). X t, j X τ, i Przy założeiach: λ = 500 ; E( Y )= 3 Var( Y ) = 3 współczyiki r0, r, r,... tworzą ciąg geometryczy: r j+ = rj 3 oblicz wariację łączej wartości szkód zaszłych przed końcem roku T, które przed końcem tego roku ie zostały zlikwidowae, a więc wariację sumy: = t= 0 j= t+ X T t, j X t, j j F Y Uwaga: zakładamy że proces przebiega od zawsze, tz. dla ustaloego T i dowolie wielkich t zmiea X spełia założeia. T t, j (A) Var( ) = 000 (B) Var( ) = 6000 (C) Var( ) = (D) Var( ) = 3000 (E) Var( ) =

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 7. Łącza wartość szkód w pewym portfelu ryzyk: W = Y + K+ Y N ma złożoy rozkład Poissoa, gdzie E( N ) = 70 i wartość pojedyczej szkody Y ma rozkład jedostajy a odciku 0,. ( ) ( ) Niech teraz zmiea W R d ozacza łączą wartość adwyżek każdej ze szkód poad wartość d, pokrywaą przez reasekuratora: W d = Y d + K + Y d R ( ) ( ) + ( N ) + zaś zmiea ( d ) = W W ( d ), W U R ozacza pozostałą a udziale własym ubezpieczyciela kwotę, a więc: W d = mi Y, d + K + mi Y d. ( ) { } { } U N, Dobrao taką wartość d * parametru podziału ryzyka z przedziału ( 0, ), która miimalizuje sumę wariacji Var W d + Var W d. Miimala wartość tej sumy, ( U ( )) ( R ( )) czyli Var ( W U ( d *)) + Var ( d *)), wyosi: (A) 36 (B) 40 (C) 45 (D) 48 (E) 50 (W R 7

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 8. Ubezpieczyciel pokrywa ryzyka, które za okres roku geerują łączą wartość szkód: W = Y + K+ Niech ryzyk. Y N, o złożoym rozkładzie Poissoa, gdzie rozkład wartości pojedyczej szkody Y day jest dystrybuatą taką, że F 0 = F ( ) 0 pobiera za to pokrycie składkę w wysokości składki etto E ( W ) M = mi { m : F( m) = } będzie maksymalą wartością szkody z pokrywaych Rozważmy liczbę c taką, że jeśli tylko zachodzi ierówość: M c E( W ) to współczyik zmieości zmieej W ie przekroczy jedej szesastej: VAR( W ) E( W ) 6 Zajdź liczbę c*, która jest ajwiększą spośród liczb c o powyższej własości. (A) c * = 6 (B) c * = 56 (C) (D) (E) c * = 4 c * = 8 c* = 64 8

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 9. Przy daej wartości parametru ryzyka Λ łącza wartość szkód X z pewego ryzyka ma złożoy rozkład Poissoa z parametrami ( Λ, FY / Λ () ), a warukowa wartość oczekiwaa pojedyczej szkody Y daa jest wzorem: E ( Y Λ) = 8 + 3Λ. Parametr ryzyka Λ ma rozkład Gamma ( α, β ), day a półosi dodatiej gęstością: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ), Γ( α ) z parametrami: α =, β = 8. E (X ) wyosi: (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 6 (E) 3 9

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadaie 0. Załóżmy, że w modelu procesu adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretym zmiea W wyraża łączą wartość szkód w roku -tym. Zmiee te w kolejych latach są iezależe i mają idetyczy rozkład day a przedziale gęstością: x = x x ( ) ( ) f W ( 0, ) Ubezpieczyciel w każdym roku pobiera składkę c. Dywideda wypłacaa akcjoariuszom w roku -tym zależa jest jedyie od wyiku tego roku, i wyosi: D = max { 0, δ ( c W )}, δ ( 0,), co ozacza, że akcjoariusze mają udział 00 δ procetowy w dodatim wyiku, atomiast ie partycypują w stratach. W rezultacie proces adwyżki U ubezpieczyciela ma przyrosty iezależe o postaci: c W gdy W > c U U = δ c W gdy W c ( ) ( ) Wiadomo, że przy daej składce c wskaźik udziału δ powiie być iższy od takiej wartości δ *, przy której przyrost procesu będzie miał zerową wartość oczekiwaą. Dla składki c = / parametr δ * wyosi (w przybliżeiu): D (A) 70% (B) 60% (C) 50% (D) 40% (E) 30% 0

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Egzami dla Aktuariuszy z 6 grudia 003 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja B A 3 D 4 A 5 E 6 A 7 E 8 B 9 B 0 A * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.