RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1

2 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!) 2

3 Rozład dwupuntowy (zerojedynowy) Niech p ( 0, 1 ) będzie ustaloną liczbą. Oreślamy: P(X 0) q, P(X 1) p ; gdzie q 1 p. Umowa: 0 - poraża 1 - suces 3

4 EX p, D 2 X pq 4

5 Rozład dwumianowy Dla danych p ( 0, 1 ), n N oreślamy funcję prawdopodobieństwa n P( X ) p q n gdzie q 1 p 0, 1, 2,..., n. (wzór Bernoulliego) 5

6 6

7 Jaub Bernoulli ( ) - szwajcarsi matematy i fizy. 7

8 Jeśli przyjmiemy, że n oznacza liczbę niezależnych doświadczeń z tórych ażde ończy się jednym z dwóch wyniów: sucesem" (z prawdopodobieństwem p w ażdym doświadczeniu) lub porażą i zmienna losowa X oznacza liczbę sucesów to powyższy wzór wyznacza prawdopodobieństwo uzysania doładnie sucesów w n doświadczeniach (próbach). 8

9 Sprawdzenie n n n P( X ) p 0 0 q n n ( p + q) 1 9

10 EX np, D 2 X npq 10

11 Przyład Prawdopodobieństwo uszodzenia seroopiari przed upływem gwarancji wynosi 0,2. Firma zaupiła 6 seroopiare. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przed upływem gwarancji 2 seroopiari ulegną uszodzeniu. Jaa jest najbardziej prawdopodobna liczba uszodzonych seroopiare przed upływem gwarancji. X liczba uszodzonych seroopiare przed upływem gwarancji, 11

12 P( X ),,,,,

13 Uwaga x p 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,

14 Przyład Rzucamy 4 razy ostą sześcienną. Jaie jest prawdopodobieństwo, że w co najmniej 3 rzutach liczba ocze będzie podzielna przez 3?. 14

15 Szuane prawdopodobieństwo to P(X 3) P(X 3) + P(X 4), gdzie sucesem jest uzysanie 3 lub 6 ocze, więc p 1/3. 15

16 16 Zatem ) ( 1 3 X P ) ( 0 4 X P ) ( 3) ( 3) ( + + X P X P X P

17 17 Przyład Obliczymy wartość oczeiwaną rozładu dwumianowego. np q p np q p n n np q p n n q p n EX n n n n n n n ) ( )! 1)!( ( 1)! ( )!!(!

18 Rozład geometryczny X - liczba prób Bernoulliego poprzedzających pierwszy suces q 1 - p 0, 1, 2,... P ( X ) pq 18

19 Sprawdzenie ( ) p P X pq q 1 19

20 EX q/p; D 2 X q/p 2 20

21 Rozład Poissona Dla λ > 0 oreślamy funcję prawdopodobieństwa λ P( X )! e λ 0, 1, 2,... 21

22 Siméon Denis Poisson ( ), francusi mechani teorety, fizy i matematy. W matematyce zajmował się całami oznaczonymi, równaniami różnicowymi i różniczowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 22

23 Sprawdzenie 0 e P( X ) λ 0 λ! e 0 λ e λ e! λ 1 λ 23

24 EX λ D 2 X λ 24

25 25 Przyład Obliczymy wartość oczeiwaną rozładu Poissona. λ λ λ λ λ λ λ λ λ e e e e EX )! 1 (!

26 Rozład Poissona (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych n (pratycznie n 30) i małych p (pratycznie p 0,2) przybliżać rozład dwumianowy (przybliżenie Poissona) n p q n λ e! λ gdzie λ n p 26

27 Przyład W pudełu jest 400 żarówe. Jaie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest 5 żarówe wadliwych, jeśli wadliwość producji taich żarówe wynosi 0,5%? Jaa jest najbardziej prawdopodobna liczba uszodzonych żarówe w tym pudełu? 27

28 Zastosujemy przybliżenie Poissona, λ n p 400 0, W tablicy rozładu Poissona (tablica I) odczytamy, że: P(X 5) 0,0361 Również w tablicy rozładu Poissona odczytamy, że najbardziej prawdopodobna liczba uszodzonych żarówe w tym pudełu to 1 lub 2 (dla obu tych liczb prawdopodobieństwo jest równe 0,2707). 28

29 Rozłady ciągłe Rozład jednostajny Rozład tórego gęstość jest stała w pewnym przedziale nazywamy jednostajnym. Gęstość rozładu jednostajnego w (a, b) 1 f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 29

30 Ponieważ gęstość ta ma oś symetrii w puncie x (a + b)/2 to EX (a+b)/2 30

31 Poażemy, że D2X (b a)2/12 31

32 32 Przyład Najpierw obliczymy EX b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a + + Zatem ( ) ) ( a b b a b ab a EX EX X D + + +

33 Rozład wyładniczy Rozład ten występuje często w zagadnieniach rozładu czasu między zgłoszeniami (awariami) lub czasu oczeiwania na obsługę w systemach olejowych. Gęstość rozładu wyładniczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x > 0 x 0 33

34 dystrybuantą tego rozładu jest funcja ax 1 e x > 0 F( x) 0 x 0 (uzasadnienie: F'(x) f(x)) 34

35 Przyład Obliczymy EX EX 0 D X 2 1 xae a 2 ax ax ax 1 dx xe 1 e a 0 a 35

36 Własność. 1) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie olejowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozład Poissona o parametrze λt, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłącznych przedziałach czasu są niezależne to czas X między olejnymi zgłoszeniami ma rozład wyładniczy o parametrze a 1/λ. 2) Dla dowolnych t, T > 0 mamy P ( X t + T X t) P( X T ) (własność brau pamięci) P ( X t + T X t) ( e e t+ T ) a ta e Ta P P ( X t + T X t) P( X t) ( X T ) Jest to jedyny rozład ciągły o tej własności. P ( X t + T ) P( X t) 36

37 Rozład normalny (Gaussa) N ( m, σ ) Dla m R, σ ( 0, + ) Oreślamy gęstość rozładu f ( x) 1 e σ 2π 2 ( x m) 2 2σ x R 37

38 Carl Friedrich Gauss ( ) niemieci matematy i fizy. Jego badania związane z teorią błędów doprowadziły do odrycia rozładu normalnego zmiennej losowej (nazywany taże rozładem Gaussa), tóry jest najważniejszym rozładem w teorii prawdopodobieństwa. 38

39 39

40 Uwaga Jeśli X ma rozład N(m, σ) to zmienna losowa Y (X m)/σ ma rozład N(0, 1) (taie przeształcenie nazywamy standaryzacją). 40

41 Wartości dystrybuanty dla argumentów ujemnych wyznaczamy na podstawie zależności Φ( x) 1 Φ(x) 41

42 Przyład Dochód miesięczny (zł) w pewnej populacji osób ma rozład normalny N(1600; 300). Jai procent osób w tej populacji ma dochód miesięczny poniżej 1000 zł? X wysoość miesięcznego dochodu P( X X < 1000) P < P Y ( < 2) Φ( 2) 1 Φ(2) 1 0,9772 0,0228 2,28% 42

43 Przyład Czas wyonania pewnego detalu (min.) jest zmienną losową o rozładzie normalnym N(m; σ). Wiadomo, że 80% robotniów wyonuje ten detal dłużej niż 10 minut a 60% robotniów dłużej niż 12 minut. a) wyznacz parametry rozładu czasu wyonania detalu m i σ, b) jai odsete robotniów wyonuje ten detal w czasie rótszym niż 6 minut? X czas wyonania detalu. 43

44 P ( X > 10) 0,8 stąd m 10 0,84 σ m 12 0, σ P ( X > 12) 0,6 stąd 25 Rozwiązując powyższy uład równań otrzymamy m 12,85; σ 3,39. 12, ,85 ( < X 6) < 3,39 3,39 P X P PY Φ( 2,02) 1 Φ(2,02) 0,0217 2, 17% ( < 2,02 ) 44

45 Prawo trzech sigm Jeśli X ma rozład N(m, σ) to P( m σ < X < m + σ ) P( m 2σ < X < m + 2σ ) P ( m 3σ < X < m+ 3σ ) 0,683 0,955, 0,997 Ostatnia równość świadczy o tym, że chociaż rozład normalny ma gęstość różną od zera na całej prostej to pratycznie niemal wszystie realizacje supiają się w przedziale ( m 3σ, m + 3σ ) własność tą nazywamy prawem trzech sigm., 45

46 Interpretacja graficzna parametrów rozładu N(m, σ) 46

47 Trzy rozłady ciągłe, tóre mają duże znaczenie w statystyce matematycznej: Rozład chi wadrat, Rozład Studenta, Rozład F Snedecora Rozłady te są stablicowane. 47

48 Rozład chi wadrat (χ 2 ) Y n n liczba stopni swobody 2 Y n X X n 2 X1,..., Xn - niezależne, o rozładzie N(0, 1) EX n; D2X 2n 48

49 Odczyt z tablicy dla rozładu chi wadrat. (podobnie interpretujemy graficznie odczyt z tablicy F Snedecora.) P( Y ) α n 49

50 Uwaga. 1) Dla n 1, 2 wyres gęstości rozładu chi wadrat jest inny (tylo część malejąca wyresu) 2) dla n > 30 stosujemy przybliżenie rozładem normalnym. 2 ~ N( 2n 1;1) Y n 50

51 Rozład Studenta T n n liczba stopni swobody T n X Y n X, Yn - niezależne X o rozładzie N(0, 1); Yn o rozładzie chi wadrat z n stopniami swobody EX 0 ; dla n > 1 D2X n/(n-2) dla n > 2 n Uwaga. Tn N ( 0, 1 ) 51

52 Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozładu Studenta. P( T ) α n 52