Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego

Transkrypt

1 Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea losowa X ma rozkład dyskrety jedostajy a zbiorze {x, x,..., x }, jeżeli: P (X = x i ) =, i =,,...,. EX = x i, i= V arx = (x i EX) = i= x i (EX). i= 3. Zmiea losowa X ma rozkład dwupuktowy z parametrem p, 0 < p <, jeśli: P (X = x ) = p, P (X = x ) = q = p, x x. EX = px + qx, V arx = pq(x x ). 4. W przypadku gdy x = i x = 0 rozkład dwupuktowy azywamy rozkładem zerojedykowym lub rozkładem Beroulliego (ozaczay przez Be(p)). EX = p, V arx = pq. q + pe it. 5. Zmiea losowa X ma rozkład dwumiaowy z parametrami, p, ( N, 0 < p < ), ozaczay B(, p), jeżeli: ( ) P (X = k) = p k q k, k = 0,,...,, q = p. k EX = p, V arx = pq. (q + pe it ). Poadto, jeżeli X i, i =,..., są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie zerojedykowym: P (X i = ) = p, P (X i = 0) = p, to zmiea losowa X = i= X i ma rozkład B(, p). 6. Zmiea losowa X ma rozkład Poissoa z parametrem λ, (λ > 0), ozaczay P o(λ), jeżeli: P (X = k) = λk k! e λ, k = 0,,,... EX = λ, V arx = λ. e λ(eit ).

2 7. Zmiea losowa X ma rozkład geometryczy z parametrem p, 0 < p <, ozaczay przez Ge(p), jeżeli P (X = k) = pq k, k = 0,,,..., q = p. EX = q p, V arx = p q. p qe it. 8. Zmiea losowa X ma rozkład pierwszego sukcesu z parametrem p, 0 < p <, ozaczay przez F s(p), jeżeli P (X = k) = pq k, k =,,..., q = p. EX = p, V arx = p q. peit qe it. Jeżeli X ma rozkład Ge(p), to Y = X + ma rozkład F s(p). 9. Zmiea losowa X ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami, p, ( N, 0 < p < ), ozaczay N Bi(, p), jeżeli: ( ) + k P (X = k) = p q k, k = 0,,...,, q = p. k EX = q p, q V arx = p. ( ) p qe it. Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu absolutie ciągłego 0. Zmiea losowa X ma rozkład jedostajy (prostokąty) a odciku (a, b), ozaczay U(a, b), jeżeli f(x) = b a I (a,b)(x) EX = b a (b a), V arx =. eitb e ita it(b a). Dla zmieej losowej X o rozkładzie U(0, ) mamy EX =, V arx =, ϕ X(t) = eit it, atomiast gdy X ma rozkład U(, ), to EX = 0, V arx = 3, ϕ X(t) = si t t. Zmiea losowa X ma rozkład gamma z parametrami p, λ (p > 0, λ > 0), ozaczay Γ(p, λ), jeśli jej gęstość wyraża się wzorem: f(x) = λ p Γ(p) xp e x λ I(0, ) (x). EX = pλ, V arx = pλ.

3 ( itλ) p. Szczególym ale bardzo istotym przypadkiem rozkładu gamma jest rozkład Γ(, λ) czyli rozkład wykładiczy z parametrem λ, ozaczay Exp(λ), którego fukcja gęstości ma postać: Wartość oczekiwaa i wariacja tego rozkładu: f(x) = λ e x λ I(0, ) (x). EX = λ, V arx = λ. itλ. Iym, szczególym przypadkiem rozkładu gamma jest rozkład Γ(, ), azyway rozkładem chi-kwadrat z stopiami swobody i ozaczay χ ().. Zmiea losowa X ma rozkład Laplace a (obustroy wykładiczy) z parametrem λ ozaczay L(λ), jeżeli jej gęstość określa wzór: Wartość oczekiwaa i wariacja tego rozkładu: f(x) = x λ e λ, x R. EX = 0, V arx = λ. + λ t. 3. Zmiea losowa X ma rozkład beta z parametrami a, b, (a > 0, b > 0), ozaczay β(a, b), jeżeli jej f(x) = β(a, b) xa ( x) b I (0,) (x). EX = a a + b, V arx = ab (a + b) (a + b + ). 4. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład Cauchy ego z parametrami m R i λ > 0, ozaczay C(m, λ), jeżeli jej gęstość wyraża się wzorem: f(x) = π λ λ + (x m), x R. Wartość oczekiwaa i wariacja tego rozkładu ie istieją. Fukcja charakterystycza ma postać: e itm λ t. Szczególym przypadkiem jest stadardowy rozkład Cauchy ego C(0, ), którego gęstość wyraża wzór f(x) = π +x, atomiast fukcja charakterystycza ma postać ϕ X (t) = e t. 5. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład Pareto z parametrami k > 0 i α > 0, ozaczay P a(k, α), jeżeli f(x) = αkα x α+ I (k, )(x). EX = αk α, określoa dla α >, V arx = αk, określoa dla α >. (α )(α ) 3

4 6. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład Weilbulla z parametrami α, β > 0, ozaczay W (α, β), jeżeli αβ x(/β) e x /β /α I (0, ) (x), EX = α β Γ(β + ), V arx = α β ( Γ(β + ) Γ(β + ) ). 7. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład Rayleigh a z parametrem α > 0, ozaczay Ra(α), jeżeli jej f(x) = α xe x /α I (0, ) (x). EX = πα, V arx = α( 4 π). 8. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład ormaly z parametrami µ, σ (µ R, σ > 0), ozaczay N (µ, σ) lub N (µ, σ ), jeżeli jej gęstość wyraża się astępująco: f(x) = } (x µ) exp { πσ σ, x R. EX = µ, V arx = σ. t itµ e σ. Jeżeli zmiea losowa X ma rozkład N (µ, σ), to zmiea losowa T = X µ ma rozkład N (0, ), o σ dystrybuacie: Φ(x) = x e u / du, π której wartości są stablicowae. Poadto: Φ( x) = Φ(x). Zmiea losowa o stadardowym rozkładzie ormalym ma fukcję charakterystyczą e t. 9. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład logarytmiczo-ormaly z parametrami µ, σ (µ R, σ > 0), ozaczay LN (µ, σ), jeżeli jej gęstość określa wzór f(x) = σx π e (log x µ) /σ, x R. EX = e µ+ σ, V arx = e µ ( e σ e σ). 0. Zmiea losowa X ma rozkład rozkład t-studeta z stopiami swobody ozaczay t(), jeżeli jej f(x) = Γ ( ) + ( πγ ) ( ) + x (+)/, x R. EX = 0, określoa dla >, V arx =, określoa dla >. 4

5 Ozaczeia Idykator zdarzeia (zbioru) A I A (x) = {, gdy x A, 0, gdy x / A. Fukcja gamma: Fukcja beta: Γ(p) = 0 x p e x dx, p > 0; Γ(p + ) = pγ(p), Γ( + ) =!, N, Γ β(a, b) = 0 ( ) = π. x a ( x) b dx, a > 0, b > 0; β(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b). 5