Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Transkrypt

1 Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau Defiicja Niech X ma rozkła o ystrybuacie F (x), a X - rozkła o ystrybuacie F (x) Ciąg zmieych losowych X, X 2, jest zbieży weług rozkłau (i słabo zbieży) o zmieej losowej X, jeżeli F (x) F (x) la każego takiego x, w którym F (x) jest ciągła Ozaczeie: X Fakt (a) Jeżeli X (b) Gy X X, F X, to X F X X, gzie (X = a) = la pewej stałej a, to X (c) Jeżeli X z pr X, to X X X Twierzeie Lévy ego Niech zmiee losowe X, X mają rozkłay o fukcjach charakterystyczych opowieio ϕ (t), ϕ(t) Jeżeli X X, to ϕ (t) ϕ(t) la każego t 2 Niech X ma rozkła o fukcji charakterystyczej ϕ (t) Jeżeli ϕ (t) ϕ(t) la każego t i graicza fukcja ϕ(t) jest ciągła w t = 0, to ϕ(t) jest fukcją charakterystyczą pewej zmieej losowej X oraz X X Uwaga: W zbieżościach z prawopoobieństwem, stochastyczej, w przestrzei L r graicza zmiea losowa X jest określoa z prawopoobieństwem, tz jeżeli X i X są graicami ciągu X, to (X = X ) = W zbieżości słabej określoy jest tylko rozkła graiczy aego ciagu i każa zmiea losowa X o takim rozkłazie może reprezetować słabą graicę tego ciągu

2 rzykła Niech (X = ) = (X = ) = 05 oraz iech X + = X 0, gy x, Mamy F (x) = F (x) = 05, gy < x,, gy x > Zatem X X, gzie X ma taki rozkła jak X F (x) la każego x Jeocześie ciąg (X ) ie jest zbieży z prawopoobieństwem, bo przy ustaloym ω ciąg X (ω) albo ma postać ( ) albo ( ) +, a są to ciągi rozbieże Ciąg (X ) ie jest też zbieży stochastyczie Jeżeli bowiem założymy, że X X, to graica X musi mieć rozkła taki jak X Wtey la ɛ < 2 mamy a = ( X X ɛ) = (X =, X = ) + (X =, X = ) oraz a + = ( X + X ɛ) = (X + =, X = ) + (X + =, X = ) = = (X =, X = ) + (X =, X = ) = a, tak że ciąg a spełiając rówaie rekurecyje a + = a, o ile ma graicę, to graicę rówą /2 W kosekwecji, ( X X ɛ) ie może zbiegać o 0, co sprzecze jest z założeiem rzykła 2 Niech zmiea losowa Y ma rozkła oissoa (a ) la pewego a > 0, a Zefiiujmy X = Y a a Jaka jest graica weług rozkłau ciągu (X )? Zastosujemy twlévy ego Mamy ϕ Y (t) = e a(eit ), a stą ϕ X (t) = Ee it(y a)/ a = e a(eit/ a ) it a oieważ a (e it/ a ) it a = a + it + ( ) 2 ( ) it + o a 2 a a = 2 t2 + o ( a ) a 2 t2 Stą ϕ X (t) ϕ(t) = e 2 t2 it = a Graica ϕ(t) jest ciągła w 0 i jest to fukcja charakterystycza zmieej losowej X o rozkłazie ormalym N (0, ) Z tw Lévy ego otrzymujemy zatem, że X X, gzie X ma rozkła ormaly N (0, ) 2

3 Twierzeie e Moivre a-laplace a Cetrale twierzeie graicze ( ) S Z WL Beroulliego wiemy, że p > ɛ 0 la owolego ɛ > 0, gzie S to ilość sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p ytaie: ( ) S Jaka jest szybkość zbieżości, tz la jakiego mamy p > ɛ < δ, gzie δ > 0 jest ustaloe? Iymi słowy, la jakiego prawopoobieństwo, że popełimy błą rzęu ɛ przyjmując częstość otrzymaą z prób jako prawopoobieństwo sukcesu p, było małe rzęu δ? Twierzeie e Moivre a-laplace a (XVIII w) Niech S bęzie liczbą sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p Wtey S p = S ES Y D2 S gzie Y ma staarowy rozkła ormaly N (0, ) Iaczej mówiąc, la owolego x R S p < x Φ(x) gzie Φ(x) = x e t2 2 t to ystrybuata staarowego rozkłau ormalego N (0, ) Uwaga: Twierzeie e Moivre a-laplace a mówi o tym, że liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p po staaryzacji (tz uormowaiu o zmieej losowej o śreiej 0 i wariacji ) ąży weług rozkłau o staarowego rozkłau ormalego, gy Zatem la użych liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawopoobieństwem sukcesu p ma asymptotyczie rozkła ormaly N (p, ) Rówoważie, częstość występowaia sukcesów S ( ) ma asymptotyczie rozkła ormaly N p, p( p) Oszacowaie okłaości przybliżeia w twierzeiu e Moivre a-laplace a: sup x R la pewej stałej C < 0, 8 S p < x Φ(x) C p2 + ( p) 2 3

4 Zastosowaie twierzeia e Moivre a-laplace a Oszacowaie prawopoobieństwa błęu w WL Beroulliego: ( ) S p S > ɛ = p > ɛ 2 Φ ɛ p( p) la ostateczie użych Błą oszacowaia ie przekracza, 6 p2 + ( p) 2 2 rzybliżoy sposób obliczaia (S < k) Z twierzeia e Moivre a-laplace a moża w przybliżoy sposób szybko obliczyć prawopoobieństwa wystąpieia k sukcesów w próbach Beroulliego la użych i p z wętrza przeziału (0, ), oległych o 0 i o (S < k) = (S < k 0, 5) k 0, 5 p Φ (S k) = (S < k + 0, 5) k + 0, 5 p Φ (S k) = (S > k 0, 5) k 0, 5 p Φ (S > k) = (S > k + 0, 5) k + 0, 5 p Φ z błęem, który ie przekracza 0, 8(p2 + ( p) 2 ) k + 0, 5 p k 0, 5 p (S = k) = (k 0, 5 < S < k + 0, 5) Φ Φ z błęem, który ie przekracza, 6(p2 + ( p) 2 ) rzykłay o za 2 4

5 Cetrale Twierzeie Graicze WL Beroulliego (tw Borela) to szczególy przypaek WL la ciągu iezależych zmieych losowych o jeakowym rozkłazie o skończoej śreiej (gy rozkła te jest zerojeykowy B(, p)) oobie, twierzeie e Moivre a-laplace a jest szczególym przypakiem ogóliejszego Cetralego Twierzeia Graiczego (CTG) Lieberga-Lévy ego: Cetrale Twierzeie Graicze Lieberga-Lévy ego Niech (X ) bęzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jeakowym rozkłazie, przy czym 0 < D 2 X = σ 2 < Ozaczmy m = EX (ta wartość oczekiwaa istieje a mocy założeia, że istieje wariacja) Wówczas S m σ Y, gzie Y ma staarowy rozkła ormaly N (0, ) Iaczej mówiąc, la owolego x R gzie Φ(x) = x ( S m σ < x ) Φ(x) e t2 2 t to ystrybuata staarowego rozkłau ormalego N (0, ) Oszacowaie okłaości przybliżeia w CTG Lieberga-Lévy ego: Nierówość Berry-Essea Niech (X ) bęzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jeakowym rozkłazie, przy czym E X 3 < oato iech m = EX, σ 2 = D 2 X > 0 (ta wartość oczekiwaa i wariacja istieją a mocy założeia o rozkłazie) Wówczas sup x R ( ) S m σ < x Φ(x) C E X m 3 σ 3, la pewej stałej C, która spełia ierówość C < 0, 8 5

6 Uwagi: Jeżeli zmiee losowe X maja iezerową skończoą wariację, to o szacowaia szybkości zbieżości w WL Kołmogorowa moża stosować metoy aalogicze o tych otyczacych WL Beroulliego, opartych a twierzeiu e Moivre a- Laplace a 2 Twierzeie e Moivre a-laplace a, CTG Lieberga-Lévy ego to przykłay cetralych twierzeń graiczych CTG la zmieych o różych rozkłaach to p twierzeie Lieberga-Fellera, twierzeie Lapuowa 3 CTG Lieberga-Lévy ego to wyikaie: istieje iezerowa wariacja = zbieżość uormowaych sum o staarowego rozkłau ormalego Iterpretacja CTG Lieberga-Lévy ego: Jeżeli wielkość fizycza jest opisaa zmieą losową i jest wyikiem sumowaia wielu iezależych jeakowych statystyczie efektów, przy czym rozkła efektu ma skończoą wariację, to wielkość ta ma asymptotyczie rozkła ormaly rzykłay o za 22 6