STATYSTYKA MATEMATYCZNA
|
|
- Janusz Nowak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę azywamy próbą prostą). Jeśli x i jest wartością zmieej i (i,,..., ) to ciąg (x, x,..., x ) azywamy realizacją próby (są to dae statystycze).
2 tatystyka to praktyczie dowola fukcja od próby Y g(,,..., ) tatystyka przekształca iformację zawartą w próbie czyiąc prostszym wioskowaie o rozkładzie cechy w populacji.
3 tatystyka jako fukcja od zmieej losowej jest też zmieą losową i możemy mówić o jej rozkładzie. tatystyka ma rozkład dokłady, jeśli jest spełioy dla każdego. tatystyka ma rozkład asymptotyczy, jeśli jest spełioy, gdy dąży do ieskończoości. 3
4 ETYMACJA PUNKTOWA 4
5 Niech θ - iezay parametr rozkładu cechy. Wartość parametru θ będziemy estymować (przybliżać) a podstawie elemetowej próby. - wybieramy statystykę U o rozkładzie zależym od θ - obliczamy a podstawie próby jej wartość u - przyjmujemy, że θ u tatystykę U azywamy estymatorem parametru θ. 5
6 Klasyfikacja estymatorów. Estymator U jest: - zgody jeśli U θ wg prawdopodobieństwa - ieobciążoy jeśli E ( U ) θ - asymptotyczie ieobciążoy jeśli lim E ( U ) θ - ajefektywiejszy gdy jest ieobciążoy i ma ajmiejszą wariację w klasie ieobciążoych estymatorów tego parametru, - asymptotyczie ajefektywiejszy gdy jest ieobciążoy lub asymptotyczie ieobciążoy i jego wariacja dąży do wariacji estymatora ajefektywiejszego. 6
7 Estymatory parametrów rozkładu N(m, ). Parametr Estymator Własości estymatora m Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Asymptot. ieobciążoy. Asymptot. ajefektywiejszy. Zgody. Nieobciążoy. ˆ Asymptot. ajefektywiejszy. 0 Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Ŝ Zgode. Asymptot. ieobciążoe. Asymptot. ajefektywiejsze. 0 7
8 Estymatory iych parametrów. Parametr Estymator Własości estymatora Wartość oczekiwaa (rozkład dowoly) λ (rozkład Poissoa) p (rozkład zero-jedykowy) Wariacja (rozkład dowoly) liczba W sukcesów średia częstość sukcesu ˆ Zgody. Nieobciążoy. Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Asymptot. ieobciążoy. Zgody. Nieobciążoy. 8
9 Uwaga a) w praktyce zgodość estymatora sprawdza się a podstawie praw wielkich liczb lub korzysta się z faktu, że estymator ieobciążoy (asymptotyczie ieobciążoy), którego wariacja dąży do zera (tz. lim D U 0 ) jest estymatorem zgodym. b) w praktyce efektywość estymatora bada się a podstawie ierówości Rao-Cramera: 9
10 0 Dla (praktyczie każdego) estymatora ieobciążoego U prawdziwa jest ierówość i i p i p d d U D ) ( ) ( l θ θ θ dla zmieej losowej skokowej )dx x, ( f ) x, ( f l U D θ θ θ dla zmieej losowej ciągłej
11 Przy czym dla estymatora ajefektywiejszego zachodzi rówość (jeśli istieje estymator ajefektywiejszy to prawe stroy powyższych ierówości są rówe jego wariacji).
12 C. R. Rao (90 - ), Harald Cramér ( ), statystyk matematyk, statystyk,
13 Przykład Niech N(m; ). Przyjmijmy, że estymatorem parametru m jest. prawdzimy własości tego estymatora. 3
14 4 Rozwiązaie: ( ) m m m E E E i i i i i ) ( zatem jest to estymator ieobciążoy.
15 D lim ( ) D D i D ( i ) i i i ( ) lim 0 zatem jest to estymator zgody. 5
16 f ( x m ) ( x, m) e π Wyzaczmy prawą stroę ierówości Rao-Cramera: 6
17 7 ( ) dx m x f m x dx m x f m x f m 4 4 ), ( ), ( ), ( l zatem jest to estymator ajefektywiejszy.
18 Przykład Niech N(m; ). Obliczymy ( ) E, ( ) 0 E, ( ) ˆ E. 8
19 Rozwiązaie: ( ) E E Y E ( ) ( ) E (estymator obciążoy) bo statystyka ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, oraz wartość oczekiwaa zmieej losowej o rozkładzie chi kwadrat jest rówa liczbie stopi swobody. 9
20 0 ( ) ( ) ˆ E E E (estymator ieobciążoy)
21 ( ) ( ) Y E E E E (estymator ieobciążoy)
22 Wiosek jest estymatorem asymptotyczie ieobciążoym parametru bowiem: lim E ( ) lim ˆ jest estymatorem ieobciążoym parametru. 0 jest estymatorem ieobciążoym parametru.
23 Przykład Niech N(m; ). Obliczymy ( ) D, ( ) 0 D, ( ) ˆ D. 3
24 Rozwiązaie: D 4 4 ( ) D D bo statystyka ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, oraz wariacja zmieej losowej o rozkładzie chi kwadrat jest rówa podwojoej liczbie stopi swobody. 4
25 5 ( ) ( ) ( ) ) ( ˆ 4 4 D D D
26 6 D D D
27 Wiosek 0 Wariacje estymatorów, ˆ, dążą do zera gdy dąży do ieskończoości. Zatem jest estymatorem zgodym parametru ˆ jest estymatorem zgodym parametru. 0 jest estymatorem zgodym parametru. 7
28 Wyzaczaie estymatorów metodą mometów Niezae momety teoretycze cechy szacujemy przez momety empirycze tego samego rzędu. Dla uproszczeia rozpatrujemy tylko momety zwykłe. 8
29 Momety teoretycze: k m k E( ) momet rzędu k zmieej losowej (m E). k l m kl E( Y ) momet rzędu k, l zmieej losowej (, Y). 9
30 Momety empirycze: M M k k x i kl k x y i momet rzędu k cechy (M ). l i momet rzędu k, l jedocześie badaych cech (, Y). Zatem przyjmujemy, że: m k M k oraz m kl M kl Parametry będące fukcjami mometów teoretyczych szacuje się przez wartości tych fukcji obliczoe dla mometów empiryczych. 30
31 Przykład Dla rozkładu wykładiczego z parametrem a mamy wartość oczekiwaą rówą E m /a. Poieważ przyjmujemy m M to /a, zatem estymatorem parametru a jest. 3
32 Przykład Dla zmieej losowej dwuwymiarowej współczyik korelacji możemy wyrazić za pomocą mometów ρ Cov(, Y) D DY m 0 m m m 0 0 m zatem jego estymatorem może być: m 0 0 m 0 3
33 33 Y Y i y i x i y y i i x x i i y i x i y i x M M M M M M M r ρ
34 Wyzaczaie estymatorów metodą ajwiększej wiarygodości (MNW) Dla uproszczeia rozpatrujemy przypadek gdy iezay jest tylko jede parametr rozkładu. a) wyzaczamy fukcję wiarygodości L( θ; x, x,..., x ) i i dla zmieej losowej skokowej L( θ; x, x,..., x ) p( θ; x i i f ( θ; x dla zmieej losowej ciągłej b) wyzaczamy logarytm fukcji wiarygodości, l θ ) l( θ ; x, x,..., x ) l L( θ ; x, x,..., x ) ( c) wyzaczamy θ dla którego fukcja l (θ ) ma maksimum (w tym celu obliczamy pochodą fukcji l (θ ), wyzaczamy miejsce zerowe pochodej i sprawdzamy czy w tym pukcie druga pochoda jest ujema), d) przyjmujemy, że wyzaczoy w te sposób wzór a θ jest poszukiwaym estymatorem. ) ) 34
35 Uwaga Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle co ajmiej zgode, asymptotyczie ieobciążoe i asymptotyczie ajefektywiejsze. Warto też wiedzieć, że estymatory uzyskae tą metodą mają asymptotyczy rozkład ormaly 35
36 Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru λ rozkładu Poissoa. 36
37 L( λ) x λ x! x x x λ λ λ λ e... e e x! x!... x! ( x x ) l λ l( x!... x!) l( λ ) l L( λ) λ λ ( x x ) l ( λ ) / λ ' 37
38 Wyzaczamy pukt krytyczy l'( λ) 0 λ ( x x ) ( x x )/ x / λ 0 sprawdzamy istieie maksimum l ''( λ) ( x x )/ 0 λ < Zatem estymatorem parametru λ jest średia z próby. L.Kowalski
39 tatystyki podstawowe: i i średia z próby Gdy i mają rozkład zerojedykowy ( sukces, 0 porażka) to średią możemy zapisać w postaci Y W gdzie Y jest liczbą sukcesów w próbie Te szczególy przypadek średiej azywamy średią częstością sukcesu. 39
40 i wariacja z próby Uwaga. i ( ) i i ( ) i i ( ) odchyleie stadardowe z próby 40
41 4 ( ) i i ˆ ˆ wariacja z próby ieobciążoa ( ) i i m 0 0 wariacja z próby dla daej wartości oczekiwaej m.
42 Uwaga ˆ zatem dla dużych ˆ ˆ 4
43 Rozkłady iektórych statystyk: Jeśli cecha ma rozkład N(m, ), to:,, a) statystyka ma rozkład N m m b) statystyka ma rozkład tudeta z - stopiami swobody, c) statystyka 0 ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, d) statystyka ma rozkład chi kwadrat z - stopiami swobody, 43
44 Jeśli cecha ma rozkład N(m, ) a cecha Y ma rozkład N(m, ), (próby iezależe odpowiedio i elemetowe) to: e) statystyka Y ma rozkład N m + m,, gdy ma rozkład N(m, ), Y ma rozkład N(m, ), to Y ( ) + e ) statystyka + + ma rozkład tudeta z + - stopiami swobody, f) statystyka ˆ ˆ ( Y ) ( ) ma rozkład F,, 44
45 45 Ad. a) Zmiea losowa i i jako suma iezależych zmieych losowych o rozkładach ormalych pomożoa przez stałą ma rozkład ormaly. Obliczymy jej parametry korzystając z własości wartości oczekiwaej i wariacji. ( ) ( ) m m m E E E i i i i i ( ) ( ) D D D i i i i i zatem ( ) D
46 Ad. e) Zmiea losowa Y jako różica iezależych zmieych losowych o rozkładach ormalych (pukt a)) ma rozkład ormaly. Obliczymy jej parametry korzystając z własości wartości oczekiwaej i wariacji. ma rozkład N m,, Y ma rozkład N m, E D ( Y ) E( ) E( Y ) m m ( Y ) D ( ) + D ( Y ) D( Y ) zatem,
47 Uwaga. ) tatystyki i są zmieymi losowymi iezależymi, ) Ciąg średich z próby jest zbieży (wg prawdopodobieństwa) do wartości oczekiwaej m rozpatrywaej cechy (zakładamy, że E m istieje), 3) Ciąg wariacji z próby jest zbieży (wg prawdopodobieństwa) do wariacji rozpatrywaej cechy (zakładamy, że D > 0 istieje), 4) Gdy spełioe są założeia puktu ) i 3) to średia ma dla dużych w przybliżeiu rozkład N m, (rozkład asymptotyczy) W szczególości średia częstość sukcesu ma rozkład asymptotyczy p( p) N p,, gdzie p prawdopodobieństwo sukcesu. Y W 47
48 Przykład Dochód miesięczy (zł) w pewej populacji osób ma rozkład ormaly N(600; 300). a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średi miesięczy dochód 5 osób z tej populacji wyosi miej iż 500 zł? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że miesięczy dochód osób z tej populacji wyosi miej iż 500 zł? Rozwiązaie a) 5 średi miesięczy dochód 5 osób, 300 N 600, 5 5 N ( 600,60) P( 5 < 500) P < P Y Φ(,67) Φ(,67) 0,9554 0,04745 ( <,67 ) 48
49 b) wysokość miesięczego dochodu, N( 600,300) P( < 500) P < P Y Φ( 0,33) Φ(0,33) 0,693 0,3707 ( < 0,33) Wiosek Rozkład średiej charakteryzuje się miejszym odchyleiem stadardowym iż rozkład badaej cechy. 49
50 Przykład Błędy pomiarów wykoywaych dalmierzem mają rozkład ormaly o odchyleiu stadardowym 0, m. Dokoao 5 pomiarów odległości tym dalmierzem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odchyleie stadardowe z tych pomiarów będzie większe iż 0,07 m? 50
51 Rozwiązaie 5 tatystyka: 0, ma rozkład chi kwadrat z 5 4 stopiami swobody Zatem P( > 0,07) P( ( > 7,35) 0, 9 P Y 4 > 0,0049) 5 P 0, 5 0,0049 > 0, 5
52 Przykład, Y dochody (setki zł) pracowików w firmach A i B. Zakładamy, że N(3,4), Y N(5, 3). Oblicz prawdopodobieństwo, że średi dochód 64 wylosowaych pracowików firmy A jest większy iż średi dochód 36 wylosowaych pracowików firmy B. Rozwiązaie 4 3 N 3 5, +, tatystyka: 64 Y ma rozkład zatem (3 5) ( ) ( 0) 64 Y36 P 64 > Y36 P 64 Y36 > P > (3 5) P( Y,86) Φ(,86) 0,9979 0, 00 Zatem szasa, że średi dochód 64 wylosowaych pracowików firmy A jest większy iż średi dochód 36 wylosowaych pracowików firmy B jest zikomo mała. 5
53 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkładu cechy. Niech będzie liczbą z przedziału (0, ). Jeśli istieją statystyki, U i U ; U < U ; których rozkład zależy od θ oraz P ( ) U θ U to przedział losowy U ; U azywamy przedziałem ufości dla parametru θ, a poziomie ufości -. Jeśli a podstawie próby obliczymy wartości u i u statystyk U i U to otrzymamy liczbowy przedział ufości. 53
54 Iterpretacja poziomu ufości -. Na ogół dla różych prób otrzymuje się róże liczbowe przedziały ufości, lecz ależy oczekiwać, że około ( - )00% z ich będzie zawierać rzeczywistą wartość parametru θ. Np. dla - 0,99 oczekujemy, że przeciętie w tylko próbie a 00 otrzymay liczbowy przedział ufości ie będzie zawierał parametru θ. 54
55 Uwaga. Z powyższej iterpretacji wyika, że poziom ufości ie może być zbyt iski. Jeśli atomiast zwiększamy admierie wartość poziomu ufości to rośie długość przedziału ufości i spada jakość oszacowaia parametru (rośie błąd bezwzględy i błąd względy). Dlatego przyjmuje się, że ajbardziej odpowiedie wartości poziomu ufości mieszczą się w graicach 0,9-0,99. 55
56 Uwaga. Jeśli chcemy poprawić jakość oszacowaia iezaego parametru przedziałem ufości to ależy zwiększyć liczebość próby. 56
57 Jerzy Neyma (894-98), statystyk. Wprowadził i rozwiął pojęcie przedziału ufości. 57
58 Zestawieie ajważiejszych przedziałów ufości. Poziom ufości (typowe wartości : 0,9; 0,95; 0,99). L.p. 3 Parametr Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Rozkład cechy, założeia Normaly N(m,), jest zae Normaly N(m,), ie jest zae Dowoly Licza próba > 80 < < < Przedział ufości u u ; + > u u ; + > u ; + u > Wyzaczaie liczby u Φ ( u ) Błąd względy δ u x u P ( T u ) Φ ( u ) u 58
59 59 4 Wariacja Normaly N(m,), > < ; u u ) ( ) ( u Y P u Y P 5 Odchyleie stadardowe Normaly N(m,), > < ; u u ) ( ) ( u Y P u Y P 6 Odchyleie stadardowe Normaly N(m,), licza próba > 80 > + < u u ; ) ( u Φ u 7 Wariacja Normaly N(m,), licza próba > 80 > + < ) ;( ) ( u u ) ( u Φ
60 8 Prawdopod obieństwo sukcesu p Rozkład zerojedykowy P( ) p, P( 0) p licza próba, > 00 < Wu Gdzie W W( W) ; W+ u W( W) > k/ k-liczba sukcesów Φ( u ) u W ( W W φ dystrybuata rozkładu ormalego N(0,) T zmiea losowa o rozkładzie tudeta z stopiami swobody Y zmiea losowa o rozkładzie chi kwadrat (χ ) z stopiami swobody. 60
61 Uzasadieie ) Rozpatrujemy stadaryzowaą statystykę m U (ma rozkład N(0;)). Rozkład ormaly jest symetryczy więc szukamy przedziału [- u, u ] aby P ( u < U < u ). Z powyższego waruku wyika rówość Φ( u ) stąd zajdujemy w tablicach dystrybuaty rozkładu ormalego N(0;) wartość u.
62 Przekształcamy: < < ) ( u m u P < < ) ( u m u P + < < ) ( u m u P ostateczie + < < ) ( u m u P
63 ) Korzystamy z rozkładu t-tudeta Rozpatrujemy statystykę m U (ma rozkład T - ). Rozkład tudeta jest symetryczy więc szukamy przedziału [- u, u ] aby P ( u < U < u ). Z powyższego waruku wyika rówość P ( T u ) stąd zajdujemy w tablicach rozkładu tudeta wartość u. 3
64 4 Przekształcamy: < < ) ( u m u P < < ) ( u m u P + < < ) ( u m u P ostateczie + < < ) ( u m u P
65 5 3) Dla dużych prób, statystyka m U ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(0,). Wówczas przedział ufości ma taki kształt jak w ) + < < ) ( u m u P
66 Zadaie Trwałość żarówek z pewej partii jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N(m, 00 h). Z partii tej pobrao próbę 6 żarówek i otrzymao x 670 h. Oszacujemy średią trwałość żarówek z tej partii przedziałem ufości, a poziomie ufości - 0,95. Zajdziemy względy błąd tego oszacowaia. 6
67 Rozwiązaie. Zastosujemy przedział ufości r : u < ; + u >. Mamy Φ( u ) 0,975, stąd u, 96, więc błąd (bezwzględy), czyli połowa długości przedziału ufości u 00, h, 7
68 zatem szukaym przedziałem ufości jest przedział < ; > < 6 ; 79 >. u δ 49 Błąd względy x x 670,8%. 8
69 Przykład. Badaa cecha ma rozkład N(m, ). Średia z próby 0 elemetowej wyosi 5. Wyzaczymy przedziały ufości dla wartości oczekiwaej dla różych poziomów ufości. prawdzimy jak zmieia się błąd względy przy rozpatrywaych poziomach ufości. 9
70 - / u lewy-k prawy-k bł.wzgl 0,8 0,9,8 3,68 6,3 5,9% 0,85 0,95,440 3,5 6,49 5,95% 0,9 0,95,645 3,30 6,70 6,80% 0,9 0,955,695 3,5 6,75 7,00% 0,9 0,96,75 3,9 6,8 7,3% 0,93 0,965,8 3,3 6,87 7,49% 0,94 0,97,88 3,06 6,94 7,77% 0,95 0,975,960,98 7,0 8,0% 0,96 0,98,054,88 7, 8,48% 0,97 0,985,70,76 7,4 8,97% 0,98 0,99,36,60 7,40 9,6% 0,99 0,995,576,34 7,66 0,64% 0,99 0,9955,6,30 7,70 0,79% 0,99 0,996,65,6 7,74 0,96% 0,993 0,9965,697, 7,79,4% 0,994 0,997,748,6 7,84,35% 0,995 0,9975,807,0 7,90,60% 0,996 0,998,878,03 7,97,89% 0,997 0,9985,968,93 8,07,6% 0,998 0,999 3,090,8 8,9,77% 0,999 0,9995 3,90,60 8,40 3,59% 0
71 błąd względy 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% błąd względy jako fukcja poziomu ufości 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, poziom ufości
72 Przykład. Zapytao 000 wylosowaych dorosłych osób czy popierają wprowadzeie kary śmierci. ześćset osób odpowiedziało twierdząco. Na poziomie ufości 0,95 oszacować odsetek wszystkich dorosłych osób popierających wprowadzeie kary śmierci. Zakładając, że rozpatrywae próby są reprezetatywe rozwiążemy powyższe zadaie dla prób o różych liczebościach. W każdym przypadku obliczymy błąd względy.
73 k - / u w ,95 0,975,96 0,6 lewy-k prawy-k bł.wzgl 00 0,5040 0,6960 6,00% 00 0,53 0,6679,3% 300 0,5446 0,6554 9,4% 400 0,550 0,6480 8,00% 500 0,557 0,649 7,6% 600 0,5608 0,639 6,53% 700 0,5637 0,6363 6,05% 800 0,566 0,6339 5,66% 900 0,5680 0,630 5,33% 000 0,5696 0,6304 5,06% 00 0,570 0,690 4,83% 00 0,573 0,677 4,6% 300 0,5734 0,666 4,44% 400 0,5743 0,657 4,8% 500 0,575 0,648 4,3% 600 0,5760 0,640 4,00% 700 0,5767 0,633 3,88% 800 0,5774 0,66 3,77% 900 0,5780 0,60 3,67% 000 0,5785 0,65 3,58% 3
74 błąd względy jako fukcja liczebości próby błąd względy 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% liczebość próby Wiosek. Błąd względy zmiejsza się wraz ze wzrostem liczebości próby. L.Kowalski
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cieciura, Jausz Zacharski PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ IV STATYSTYKA MATEMATYCZNA Na prawach rękopisu Warszawa, wrzesień 0 Data ostatiej aktualizacji: piątek,
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Estymacja puktowa i przedziałowa Marta Zalewska Zakład Profilaktyki Zagrożeń Środowiskowych i Alergologii Populacja Próba losowa (próbka) Parametry rozkładu Estymatory (statystyki) Własości estymatorów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowaie daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Prawo wielkich liczb. Cetrale twierdzeie graicze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Jeśli S
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoPojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.
Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowo0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji
0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Bardziej szczegółowoStatystyczny opis danych - parametry
Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych W3: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowaie daych W3: Wprowadzeie do statystyczej aalizy daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Podstawowe cele
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoStatystyka Wzory I. Analiza struktury
Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA WYKŁAD 8: STATYSTYKA OPISOWA. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĘPUJĄCE W STATYSTYCE. Małgorzata Krętowska Wydział Iforatyki Politechika Białostocka Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowo