Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.

Transkrypt

1 Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie Poissoa rozładu dwumiaowego. Defiicja. Zmiea losowa dysreta (i. o rozładzie dysretym) to taa zmiea losowa, tóra rzyjmuje z dodatim rawdoodobieństwem jedyie sończoą lub iesończoą rzeliczalą liczbę różych wartości. Techia oreślaia rozładu dysretej zmieej losowej X: Peła iformacja o rozładzie dysretej zmieej losowej X zawarta jest w ciągu ar {(x, ), T N}, gdzie {x, T} to ciąg wszystich wartości rzyjmowaych rzez zmieą losową X z dodatim rawdoodobieństwem, atomiast = P (X = x ), T. Z ciągu tego możemy dostać iformację o wartości fucji P X (B) dla dowolego zbioru borelowsiego B: P X (B) = P (X B) = T B, gdzie T B to zbiór tych, dla tórych x B. W szczególości, dystrybuata ma ostać F (x) = P (X < x) = T(x) gdzie T(x) to zbiór tych, dla tórych x < x. Iaczej mówiąc, zmiea losowa ma rozład dysrety wtedy i tylo wtedy, gdy jej dystrybuata jest fucją schodową. Schodi są w utach x, x,... i mają wysoości odowiedio,,...,

2 Ciąg {(x, ), T N sełia astęujące warui: {x, T} to ciąg różowartościowy; 0 dla ażdego T; =. T Jeżeli ewie ciąg {(x, ), T N sełia te warui, to dla ewej zmieej losowej X mamy = P (X = x ). Ciąg te ma wtedy robabilistyczą iterretację, rerezetację, może być używay w modelach do defiiowaia rozładu dysretego. Przyład: X - zachowaie dziewczyy, gdy jej chłoa sóźia sie a radę, oisae liczbowo: X = - giewa się; X = 0 - ie zauważa; X = - cieszy się, że wreszcie rzyszedł: F(x) x Przyłady do zad. 7.

3 Schemat Beroulliego Schemat Beroulliego modeluje sytuację, w tórej:. Wyoujemy doświadczeie, w tórym możliwe są dwa wyii. Jede z tych wyiów azywamy sucesem, drugi orażą. Szasa a wyi suces wyosi.. Doświadczeie możemy owtarzać bez zmiay waruów, iezależie. Pla I: Wyoamy taich doświadczeń i zliczymy ilość sucesów. Ozaczmy ilość sucesów rzez X. Przed realizacją eserymetu ie wiemy, jaa jest ta liczba. Wiemy atomiast, że możliwe wartości X to 0,,,..., oraz że dla z tego zbioru możliwych wartości ( ) rawdoodobieństwo, że w róbach otrzymamy doładie sucesów wyosi ( ). Ilość sucesów w róbach Beroulliego X to dysreta zmiea losowa. Po wyoaiu lau otrzymamy oretą liczbę - realizację tej zmieej losowej. X ma rozład dwumiaowy (iaczej Beroulliego) z arametrami N i 0<<; w srócie B(, ) x =, = P (X = ) = ( ) ( ) dla = 0,,...,. B(, ) azywamy rozładem zerojedyowym z arametrem.

4 Pla II: Będziemy wyoywać oleje doświadczeia ta długo aż ojawi się wyi suces. Ozaczmy rzez Y ilość wyoaych doświadczeń, czyli czas oczeiwaia a ierwszy suces. Przed realizacją eserymetu ie wiemy, jaa jest ta ilość. Wiemy atomiast, że możliwe wartości Y to,,... oraz że dla z tego zbioru możliwych wartości rawdoodobieństwo, że ierwszy suces ojawi się w -tej róbie wyosi ( ). Y to czas oczeiwaia a ierwszy suces w ciągu rób Beroulliego. Jest to dysreta zmiea losowa. Po wyoaiu lau otrzymamy oretą liczbę - realizację tej zmieej losowej. Y ma rozład geometryczy z arametrem 0<<; w srócie Geo() x =, = P (Y = ) = ( ) dla =,,... Pla III: Podobie oreslimy Z - czas oczeiwaia a m-ty suces w ciągu rób Beroulliego z rawdoodobieństwem sucesu. Z ma rozład ujemy dwumiaowy (i. Pascala) z arametrami m N i 0<<; w srócie N B(m, ) x =, = ( ) m m ( ) m dla = m, m +,... N B(, ) to zay am już rozład geometryczy Geo(). Wzór a moża uogólić a dowole m > 0. X ie ma wtedy iterretacji czasu oczeiwaia a m-ty suces. Nazwa rozład Pascala odosi się tylo do m N. Przyłady do zad. 7. 4

5 Rozład Poissoa Rozład Poissoa z arametrem λ > 0; w srócie P(λ), defiiujemy ciągiem ar: x =, = λ! e λ dla = 0,,... Twierdzeie Poissoa (rzybliżeie Poissoa rozładu dwumiaowego) Niech X ozacza liczbę sucesów w róbach Beroulliego z rawdoodobieństwem sucesu. Jeżeli 0 ta, że λ > 0, to dla dowolego ustaloego N P (X = ) = gdzie Y λ ma rozład Poissoa P(λ). Dowód: ( ) ( ) =! ( ) ( ) ( ( )... ( + ) ( ) λ! e λ = P (Y λ = ), ) ( ) = = (! ) (... ) ( ) ( )! ( ) λ e λ = λ! e λ. Oszacowaie doładości rzybliżeia w twierdzeiu Poissoa: Niech X ozacza liczbę sucesów w róbach Beroulliego z rawdoodobieństwem sucesu, Y - zmiea losową o rozładzie Poissoa P(λ) z λ =. Wtedy dla dowolego zbioru borelowsiego B W ratyce rzybliżeie P (X B) P (Y B) λ =. ( ) ( ) λ! e λ, gdzie λ =, stosuje się dla 50, 0,, 0. Przyłady do zad. 7. 5