Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
|
|
- Agata Żukowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej
2 Wykład 8. Badaie statystycze ze względu a dwie cechy X, Y cechy mierzale -elemetowa próbka par (x i, y i ), i=,, diagram korelacyjy przedstawieie graficze próbki w układzie współrzędych wstępe wioski o ewetualej zależości cech y a) y b) słaba zależość hiperbolicza y c) sila zależość liiowa brak zależości 0 x 0 x 0 x Rys.8.. Przykłady diagramów korelacyjych
3 Wykład Pomiar zależości Pojęcia wykorzystywae przy badaiu zależości Korelacja mierzy siłę (atężeie) zależości między cechami mierikiem zależości liiowej jest współczyik korelacji ρ -, Regresja ρ = zależość między cechami jest liiowa ρ = 0 cechy są ieskorelowae określa rodzaj zależości między cechami (liiowa, krzywoliiowa) podaje zależość fukcyją zależości, tz. wyzaczaa jest fukcja g taka, że cechę Y moża aproksymować przez g(x ) fukcję regresji g wyzacza się metodą ajmiejszych kwadratów, tz. tak, aby E [ Y g(x ) ] mi
4 Wykład Pomiar zależości (8.) Uwagi a) Jeżeli ρ(x,y ) =, to P ( Y = ax + b ) =, ale korelacja ie precyzuje wartości parametrów a i b (poza zakiem współczyika a) b) Jeżeli iezależe cechy X i Y mają rozkłady ormale, to wektor (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład ormaly c) Jeżeli wektor (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład ormaly, to a) cechy X i Y mają rozkłady ormale b) fukcja regresji jest liiowa
5 Wykład Estymacja współczyika korelacji X, Y dowole zmiee losowe Współczyik korelacji wyzaczamy ze wzoru Estymatorem zgodym współczyika korelacji ρ cech X i Y jest estymator R z próby gdzie są wariacjami z próby (8.) Uwagi a) Estymator R jest obciążoy, gdyż (( ) ( )) cov( X, Y ) E X EX Y EY ρ ( X, Y ) = = D X D Y D X D Y R = i= ( X ) ( ) i X Yi Y S S X = ( ) i ( ) i Y = i= i= i S X X S Y Y X Y E( R) ρ
6 Wykład Estymacja współczyika korelacji (8.) Uwagi cd. b) Realizację r estymatora R, zwaą współczyikiem korelacji z próbki wyzaczamy ze wzorów lub cov( x, y) xy x y r = = xy = xi y = s s s s, gdzie i x y x y r = i= ( x x) ( y y) ( x ) ( ) i x y i i i y = = dla daych iezgrupowaych i i i
7 Wykład Estymacja współczyika korelacji (8.) Uwagi cd. c) Dla próbek o liczości od około 30 wzwyż, buduje się tzw. tablicę korelacyją (dwudzielą, dwudzielczą), która jest dwuwymiarowym odpowiedikiem szeregu rozdzielczego przedziałowego X Y y d y g y d y g y kd y kg x d x g k x d x g k x wd x wg w w Wówczas oszacowaia parametrów występujących we wzorach oblicza się z próbki za pomocą sum ważoych, p. w k i= j= xy x y, gdzie x, y to środki odpowiedich klas = i j ij i j wk
8 Wykład Estymacja współczyika korelacji (8.3) Przedział ufości dla współczyika korelacji Model (dwuwymiarowy rozkład ormaly, parametr iezay, 0) (X, Y ) wektor losowy o dwuwymiarowym rozkładzie ormalym, iezay współczyik korelacji ρ Jeśli 0, to statystyka Fishera + R Z = l, R < R ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(m,σ), gdzie + ρ ρ m = EZ l +, σ ρ ( ) 3 W praktyce stosujemy zmieą + ρ U = Z l 3 ρ
9 Wykład Estymacja współczyika korelacji Wtedy dla α (0,) otrzymujemy α α ( ) α = P u( ) < U < u( ) α + ρ α = P u( ) < Z l 3 < u( ) ρ α α u( ) ( + ρ u ) = Z < l < Z + 3 ρ 3 Dla próbki (x i, y i ), i=,, otrzymujemy realizację przedziału ufości dla wartości oczekiwaej zmieej Z a poziomie ufości α: α α u( ) u( ) + r z, z +, gdzie z = l 3 3 r
10 Wykład Estymacja współczyika korelacji Ozaczając przez z i z doly i góry koiec przedziału, wyzaczamy graice przedziału (ρ, ρ ) dla współczyika korelacji ρ rozwiązując rówaia + ρ + ρ l = z i l = z ρ ρ Przykład W pewym doświadczeiu farmakologiczym bada się wpływ leku a przyrost ciśieia tęticzego krwi Podao 0 różych dawek x i leku i otrzymao astępujące przyrosty ciśieia krwi x i 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 y i Na poziomie ufości 0,9 wyzaczyć przedział ufości dla współczyika korelacji ρ
11 Wykład Estymacja współczyika korelacji Model (dwuwymiarowy rozkład ormaly, parametr iezay, duża próba 00) (X, Y ) wektor losowy o dwuwymiarowym rozkładzie ormalym, iezay współczyik korelacji ρ Jeśli 00, to statystyka R ρ U =, R < R ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(0,) Na poziomie ufości α otrzymujemy realizację przedziału ufości dla ρ α r α r r u( ), r + u( )
12 Wykład Testy istotości dla współczyika korelacji (8.4) Weryfikacja hipotezy o (braku) korelacji między dwiema cechami Model (-wymiarowy rozkład ormaly, parametr iezay, 3) (X, Y ) wektor losowy o dwuwymiarowym rozkładzie ormalym, iezay współczyik korelacji ρ Jeśli 3, to statystyka R t =, R < R ma rozkład Studeta z stopiami swobody przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H 0 : ρ = 0
13 Wykład 0 Weryfikacja hipotezy dla współczyika korelacji model Tablica 8.. Tablica testu dla współczyika korelacji model Hipoteza zerowa alteratywa H : ρ 0 H 0 : ρ = 0 H : ρ < 0 H : ρ > 0 Statystyka testowa t R, R R < Obszar krytyczy K ( ; t(, ) α α t(, ); ) ( ; t( α, ) t( α, ); )
14 Wykład Weryfikacja hipotezy dla współczyika korelacji model Przykład Wiedząc, że w poprzedim przykładzie (przyrost ciśieia krwi) współczyik korelacji z próbki 0-elemetowej wyiósł r = 0.9, zweryfikować hipotezę, że cechy (dawka leku i przyrost ciśieia krwi) są istotie skorelowae (poziom istotości 0.0)
15 Wykład Testy istotości dla współczyika korelacji Model (-wymiarowy rozkład ormaly, parametr iezay, 00) (X, Y ) wektor losowy o dwuwymiarowym rozkładzie ormalym, iezay współczyik korelacji ρ Jeśli 00, to statystyka R U =, R < R ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(0,) przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H 0 : ρ = 0 Ze względu a podobieństwo fukcji gęstości, obszary krytycze dla hipotez alteratywych H : ρ 0, H : ρ < 0, H : ρ > 0 wyzaczamy aalogiczie do modelu (ie uwzględiamy oczywiści stopi swobody)
16 Wykład Testy istotości dla współczyika korelacji Model 3 (-wymiarowy rozkład ormaly, parametr iezay, 0) (X, Y ) wektor losowy o dwuwymiarowym rozkładzie ormalym, iezay współczyik korelacji ρ Jeśli 0, to statystyka + R + ρ0 U = l l 3, R R < ρ0 ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(0,) przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H 0 : ρ = ρ 0 Obszary krytycze dla hipotez alteratywych H : ρ ρ 0, H : ρ < ρ 0, H : ρ > ρ 0 wyzaczamy jak w modelu
17 Wykład Estymacja i testy istotości dla współczyików regresji Diagram korelacyjy pozwala ituicyjie oszacować klasę fukcji regresji (liiowa, potęgowa, wykładicza itp.) a podstawie kocetracji puktów w bliskim otoczeiu hipotetyczych liii Fukcja regresji rzadko jest liiowa, ale jest to zależość ajwygodiejsza do oszacowaia i jest dobrym puktem wyjścia do dalszych badań (mimo świadomości popełieia pewych błędów)
18 Wykład Estymacja i testy istotości dla współczyików regresji Z rachuku prawdopodobieństwa wiadomo, że współczyiki liiowej fukcji regresji (II-go rodzaju) y = αx + β wyzaczamy ze wzorów α = cov( X, Y ) D Y ( X, Y ), EY EX D X = ρ D X β = α Zgodymi i ieobciążoymi estymatorami parametrów α i β z próby są odpowiedio SY A = R, B = Y αx S X Realizacje a i b estymatorów A i B odpowiedio wyzaczamy a podstawie próbki ze wzorów s ( x )( ) i x y y i i y = a = r =, b = y ax s x ( x ) i i x =
19 Wykład Estymacja i testy istotości dla współczyików regresji (8.5) Test istotości dla współczyika regresji liiowej α Model (dwuwymiarowy rozkład ormaly, parametr iezay, 3) (X, Y ) wektor losowy o dwuwymiarowym rozkładzie ormalym, iezae parametry Jeśli 3, to statystyka t = A α S Y 0 S X R ma rozkład Studeta z stopiami swobody przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H 0 : α = α 0 Obszary krytycze dla hipotez alteratywych H : α α 0, H : α < α 0, H : α > α 0 wyzaczamy tak jak w tablicy 8. (model dla współczyika korelacji)
20 Wykład Estymacja i testy istotości dla współczyików regresji Przykład Badamy zależość między dawką awozu X (w kg) a wielkością przyrostu plou Y Dla 7 obserwacji otrzymao wyiki x i y i a) Oszacować liiową fukcję regresji pomiędzy dawką awozu X, a wielkością przyrostu plou Y Podać iterpretację współczyika regresji liiowej b) Sprawdzić testem serii liiową zależość między zmieymi (poziom istotości 0.0) c) Na poziomie istotości 0.0 zweryfikować hipotezę, że współczyik regresji w populacji jest dodati
21 Wykład Dziękuję za uwagę
Estymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoKorelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych
Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
Bardziej szczegółowoStatystyka Wzory I. Analiza struktury
Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoEkonometria Mirosław Wójciak
Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoTesty zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11
Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI
ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności współczynnika korelacji
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.
STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA WYKŁAD 8: STATYSTYKA OPISOWA. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĘPUJĄCE W STATYSTYCE. Małgorzata Krętowska Wydział Iforatyki Politechika Białostocka Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 11 NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
ĆWICZENIE 11 NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowoPodstawowe testy statystyczne i analiza zależności zjawisk
Podstawowe testy statystycze i aaliza zależości zjawisk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Hipotezy statystycze Hipoteza statystycza dowole przypuszczeie dotyczące rozkładu lub jego parametrów Hipoteza parametrycza
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowo