16 Przedziały ufności

Transkrypt

1 16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)]) = q q = 0.68 dla rozkładu ormalego; q = 0.58 dla rozkładu jedostajego; jeśli rozkład błędów jest istotie róży od rozkładu ormalego to korzystiej jest określić przedział [θ, θ + ] wiarygodych wartości wielkości Θ zamiast iepewości stadardowej, θ ± u(θ). Defiicja 16.1 (Przedział ufości). Niech x 1, x,... x będzie realizacją próby losowej X 1, X,... X a Θ będzie iezaym parameterm. Jeśli istieją statystyki Θ = f(x 1, X,... X ) oraz Θ + = g(x 1, X,... X ) takie, że dla każdej wartości Θ. Wtedy przedział P (Θ < Θ < Θ + ) = α [θ, θ + ] gdzie θ = f(x 1, x,... x ) oraz θ + = g(x 1, x,... x ) azywamy przedziałem ufości dla Θ a poziomie ufości α. Cetralym przedziałem ufości azywamy przedział ufości dla którego P (Θ > Θ + ) = P (Θ < Θ ) = Twierdzeie 16.1 (Przedział ufości dla dowolego parametru rozkładu). Niech x będzie realizacja zm. losowej X o zaym rozkładzie P (X = x; Θ); F X (x; Θ). Wtedy = P (Θ < Θ (X)) = P (X x; Θ ) = 1 F X (x; Θ ) + P (X = x; Θ ) Uwaga: Dla zmieej ciągłej P (X = x; Θ ) = 0 F X (x; Θ ) P (X = x; Θ ) = 1 + α = P (Θ > Θ + (X)) = P (X x; Θ + ) = F X (x; Θ + ) F X (x; Θ + ) = Przykład 16.1 (Przedział ufości dla dowolego parametru rozkładu). W przeciągu godziy sklep odwiedziło k = 1 klietów. Zakładając, że ilość klietów odwiedzających sklep podlega rozkładowi Poissoa, skostruuj cetraly przedział ufości dla parametr µ a poziomie ofości α = 0, 95. Rozwiazaie. kx =0 k 1 X e µ µ! =0 e µ+ µ +! = 1 + α = e µ = 0, 975 µ = 0, 03 (1 + µ + )e µ+ = 0, 05 µ + =, 5 0, 03 < µ <.5 85

2 Twierdzeie 19.1 pozwala a kostrukcje przedziałów ufości dla dowolych rozkładów zm. losowych rówież dla prób losowych. W tym wypadku ależy zastąpić rozkład pr. odpowiedim łączym rozkładem. W praktyce jedak w przypadku prób prostych korzystamy z gotowych wzorów opartych a statystykach podlegających typowym rozkładom prawdopodobieństwa Przedziały ufości dla wartości oczekiwaej Rozkład ormaly o zaej wariacji Niech x 1, x,... x będzie realizacją próby losowej X 1, X,... X z rozkładu ormalego N(µ, σ ) (o zaej wariacji). X N(µ, σ /); Z = X µ σ/ N(0, 1) Niech α = P (c < Z < c + ) = P (c < X µ σ/ < c +) = P (c σ < X µ < c + σ ) = P ( X σ c + < µ < X σ c ) Θ = X c + σ ; Θ + = X c σ Przedział ufości: x c + σ < µ < x c σ Cetraly przedział ufości otrzymamy z waruku P (Z > c + ) = P (Z < c ) = Defiicja 16. (Wartość krytycza stadardowego rozkładu ormalego rzędu γ). Wartością krytyczą rzędu γ stadardowego rozkładu ormalego azywamy liczbę z(γ) P (Z > z(γ)) = γ Twierdzeie 16.. z(γ) = Φ 1 (1 γ) = z(1 γ) Dowód. γ = P (Z > z(γ)) = 1 P (Z < z(γ)) = 1 Φ(z(γ)) Φ(z(γ)) = 1 γ z(γ) = Φ 1 (1 γ) 86

3 Rozkład ormaly o zaej wariacji c + = z 1 + α c = z = Φ 1 1 = z α Ostateczie przedział ufości ma postać: σ x z < µ < x + z 1 + α = Φ 1 = z = c + σ Rozkład ormaly o iezaej wariacji W przypadku gdy wariacja ie jest zaa, zastępujemy ją ieobciążoym estymatorem ˆσ = S. Niestety zmiea losowa: X µ ie podlega rozkładowi ormalemu. S/ Defiicja 16.3 (Rozkład Studeta). Rozkładem Studeta o 1 stopiach swobody azywamy rozkład któremu podlega zmiea losowa: gdzie zmiee losowe X i N(µ, σ ), T 1 = X µ ˆσ/ = X µ S/ i = 1,..., Rozkład Studeta podobie jak rozkład ormaly jest rokładem symetryczym. Zatem kostrukcja przedziału ufości przebiega aalogiczie jak w przypadku zaej wariacji, przyczym zamiast wartości krytyczych stadardowego rozkładu ormalego pojawiają się wartości krytycze rozkładu Studeta t(γ, 1). Niech x 1, x,... x będzie realizacją próby losowej X 1, X,... X z rozkładu ormalego N(µ, σ ) (o iezaej wariacji). X N(µ, σ /); T 1 = X µ S/ Cetraly przedział ufości: S S x t, 1 < µ < x + t, 1 Gdzie t(γ, 1) jest wartościa krytyczą rzędu γ rozkładu Studeta o 1 stopiach swobody. Przedział ufości dla wartości oczekiwaej z liczej ( > 100) próby prostej Niech x 1, x,... x będzie realizacją liczej ( > 100)) próby prostej X 1, X,... X z dowolego rozkładu o wartości oczekiwaej µ i zaej lub iezaej wariacji σ. W przypadku liczej próby możemy posłużyć się cetralym twierdzeiem graiczym. X N(µ, σ /); Z = X µ σ/ N(0, 1); Z = X µ S/ N(0, 1) Zatem cetraly przedział ufości ma postać: S x z < µ < x + z 87 S

4 lub w przypadku zaej wariacji: σ x z < µ < x + z σ W przypadku zm. losowej z rozkładu dwumiaowego dokłada kostrukcja przedziału ufości wyika z twierdzeia Przedział ufości dla parametru p rozkład dwumiaowego (o dużej wartości parametru ( > 100)) W przypadku dużej wartości parametru możemy posłużyć się przybliżeiem rozkładu dwumiaowego rozkładem ormalym Bi (, p) N(µ = p, σ = p(1 p)) Niech x będzie realizacją zm losowej X z rozkładu dwumiaowego (o dużej wartości parametru > 100)). Z = p X p = p X/ p N(0, 1) p(1 p) p(1 p)/ z pierwiastki wyzaczają przedział ufości. 16. Przedziały ufości dla wariacji Rozkład ormaly o zaej wartości oczekiwaej < X/ p p p(1 p)/ < z! X/ p p < z p(1 p)/ ( x p) z p(1 p)/ < 0 Niech x 1, x,... x będzie realizacją próby losowej X 1, X,... X z rozkładu ormalego N(µ, σ ) (o zaej wartości oczekiwaej µ ). P X (X i µ) Xi µ U = = σ σ χ () Defiicja 16.4 (Rozkład χ ). Rozkładem χ () o stopiach swobody azywamy rozkład zmieej losowej gdzie Y i N(0, 1) U = X Y i χ () 88

5 α = P (u < U < u + ) P (X i µ) = P u < σ < u + P (X i µ) = P < σ < u + P (X i µ) u Cetraly przedział ufości otrzymamy z waruków: P (u > U) = P (U > u + ) = Rozkład χ ie jest symetryczy, zatem obie wartości u i u + wyzaczamy z różych wartości krytyczych rozkładu χ : 1 + α u + = u, ; u = u, P (x i µ) u( 1 α, ) < σ < P (x i µ) u( 1+α, ) Rozkład ormaly o iezaej wartości oczekiwaej W przypadku gdy wartość oczekiwaa µ ie jest zaa, zastępujemy ją estymatorem X. Twierdzeie Niech x 1, x,... x będzie realizacja próby losowej X 1, X,... X z rozkładu ormalego N(µ, σ ) (o iezaej wartości oczekiwaej). X Xi U = X χ ( 1) σ Zatem P (x i x) u( 1 α, 1) < σ < P (x i x) u( 1+α, 1) 16.3 Przedziały ufości dla dwóch prób ormalych Często porówujemy jakąś cechę z dwóch prób losowych. Wykład ograiczam tylko do prób losowych z rozkładu ormalego. Niech ~x 1 będzie realizacją 1 -wymiarowego wektora losowego ~ X 1 przy czym X 1,i N(µ 1, σ 1 ); 89

6 Niech ~x będzie realizacją -wymiarowego wektora losowego ~ X przy czym X,i N(µ, σ ); Jeśli badaą cechą jest wartość oczekiwaa to odpowiedią statystyką jest: X 1 X N µ = µ 1 µ, σ = σ 1 + σ 1 Rozkłady ormale o zaych odchyleiach: σ 1, σ Jeśli zae są: σ 1, σ to zamy σ X1 X = σ σ = (σ ) Z = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) σ N(0, 1) Zatem cetraly przedział ufości a różicę wartości oczekiwaych ma postać: x 1 x z σ < µ 1 µ < x 1 x + z σ Rozkłady ormale o iezaych odchyleiach: σ 1, σ ale σ 1 = ησ Jeśli ie zamy: σ 1, σ ale wiemy, że σ1 = ησ to σ X1 X = σ 1 + σ η = σ musimy zastąpić estymatorem. (S ) = (ˆσ ) η σ estymujemy łączie z próby pierwszej oraz drugiej jako średia ważoa (ilością stopi swobody) wariacji z prób. Twierdzeie Jeśli wiemy, że σ 1 = ησ to ieobciążoym estymatorem σ (ˆσ ) = ( 1 1)S 1/η + ( 1)S ( 1 1) + ( 1) o ajmiejszej wariacji jest łaczoa wariacja z prób: Twierdzeie T = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) S t( ); = 1 + Zatem cetraly przedział ufości a różicę wartości oczekiwaych ma postać: x 1 x t, S < µ 1 µ < x 1 x + t, S 90

7 Rozkłady ormale o iezaych odchyleiach: σ 1, σ Jeśli ie zamy: σ 1, σ to σ X1 X = σ σ musimy zastąpić estymatorem. Twierdzeie Nieobciażoym estymatorem σ X1 X jest suma estymatorów wariacji wartości średich X 1 i X : σ oraz σ 1 estymujemy rozłączie a astępie sumujemy. Niestety statystyka: (S ) = S S C = ( X 1 X ) (µ 1 µ ) S ; statystyka Cohraa-Coxa ie podlega rozkładowi Studeta. Zatem cetraly przedział ufości ma postać: x 1 x c, 1, S < µ 1 µ < x 1 x + c, 1, S W praktyce wartości krytycze rozkładu Cohraa-Coxa przybliżamy średią ważoą wartości krytyczych rozkładu Studeta: c, 1, S 1 1 t 1 α, S t 1 α, 1 S S Uwaga: W przypadku gdy zay jest stosuek η = σ1 /σ to oba estymatory (S ), (S ) są ieobciążoe i mogą być podstawą poprawej kostrukcji przedziału ufości a µ 1 µ. Jedakże powiiśmy korzystać z przedziału ufości opartego a estymatorze S poieważ ma o miejszą wariację. Przedział ufości a stosuek wariacji Defiicja 16.5 (Rozkład Fishera). Rozkładem Fishera F ( 1, ) o 1, stopiach swobody azywamy rozkład zmieej losowej F = U 1/ 1 U / gdzie U 1, U są iezależymi zm. losowymi: U 1 χ ( 1 ) U χ ( ) ( 1 1)S 1 σ 1 χ ( 1 1); ( 1)S σ χ ( 1) S 1/σ 1 S /σ F ( 1 1, 1) 91

8 α = P f < S 1 /σ 1 S /σ S = P f S1 S = P 1 f + S < σ σ 1 < σ 1 σ < f + S < f + S 1 < S 1 f S Dla cetralego przedziału ufości: 1 + α f + = f, 1 1, 1 ; f = f, 1 1, 1 Wartość krytyczą f 1+α, 1 1, 1 wyrażamy poprzez wartość krytyczą f 1 α, 1 1, 1 F F ( 1, ) 1 F F (, 1 ); f (α, 1, ) = 1 f (,, 1 ) f = 1 1 = f + f 1 α, 1, f 1 α, 1 1, 1 S1 S < σ 1 S σ < f, 1, S 16.4 Jedostroe przedziały ufości Często iteresuje as jedyie dole lub góre ograiczeie a wiarygode wartości parametru Θ. Defiicja 16.6 (Jedostroy przedział ufości). Niech x 1, x,... x będzie realizacją próby losowej X 1, X,... X a Θ będzie iezaym parameterm. Jeśli istieją statystyki Θ = f(x 1, X,... X ) oraz Θ + = g(x 1, X,... X ) takie, że P (Θ < Θ + ) = α; P (Θ > Θ ) = α dla każdej wartości Θ, wtedy przedziały [, θ + ]; [θ, ] gdzie θ = f(x 1, x,... x ) oraz θ + = g(x 1, x,... x ) azywamy jedostroymi przedziałami ufości dla Θ a poziomie ufości α. Jedostroe przedziały ufości moża łatwo utworzyć z cetralych przedziałów ufości, zamieiając wartości krytycze rzędu 1 α a rzędu a rzędu 1+α a rzędu α Przykład 16.. Cetraly przedział ufości a poziomie uf. α: P (x i x) u( 1 α, 1) < σ < P (x i x) u( 1+α, 1) 9

9 Jedostroe przedziały ufości a poziomie uf. α: P (x i x) σ > u(, 1) P (x i x) σ < u(α, 1) 93