są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

Transkrypt

1 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( = 9). (A) v = 0 (B) v = 0 (C) v = (D) v = 3 (E) v = 5

2 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie. iech i Y będą iezależymi zmieymi losowymi każda z rozkładu wykładiczego o wartości oczekiwaej. iech U = + V = Y. Wtedy rawdziwe jest astęujące zdaie. (A) P( U (0) V < 0) = e P U (0) V > 0 = e (B) ( ) P U (0) V (0) = e (C) ( ) > 0 = e e (D) ( ) P U (0) V (E) ( ) P V (0) = e

3 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 3. Rozważamy łańcuch Markowa... a rzestrzei staów rzejścia 0 3 P = (gdzie P = Pr + = j i dla i j = 3). Załóżmy że rozkład oczątkowy ( ) ij = łańcucha jest wektorem π = π Pr i dla i = 3 ). (gdzie i = ( = ) Oblicz = ( = ) Pr 3. (A) (B) (C) (D) (E) = 7 = 8 = = 9 = 3

4 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie. W urie zajduje się 6 kul z których 8 jest białych i 8 czarych. Losujemy bez zwracaia 6 kul a astęie z ozostałych 5 kul. iech S ozacza liczbę kul białych uzyskaą w drugim losowaiu. Oblicz VarS (A) (B) (C) (D) (E) 6 7 8

5 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 5. Zmiea losowa ma rozkład Weibulla o gęstości θx ex( θx ) gdy x > 0 θ ( x) = 0 gdy x 0 gdzie θ > 0 jest iezaym arametrem. Statystyk ie obserwuje zmieej uzyskuje tylko iformację gdy zmiea rzekroczy wartość a miaowicie obserwuje zmieą Y rówą gdy zmiea jest większa iż. W wyiku takiej obserwacji uzyskuje rostą róbę losową Y Y K Y. a odstawie tych daych weryfikuje hiotezę H : θ 3 rzy alteratywie H : θ 3. Test jedostajie 0 ajmociejszy a oziomie istotości 005 odrzuca hiotezę ierówość 0 (A) ( + ) > 5 35 i= 0 (B) ( + ) > 5 35 i= 0 (C) ( + ) < 8085 i= 0 (D) ( + ) < 8085 i= 0 (E) ( + ) < i= 0 > H 0 gdy sełioa jest 5

6 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 6. iech K K będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie o gęstości gdy x (0) f ( x) = x 0 gdy x (0) iech U = ( K ). Wtedy (A) lim P( U e ) = + (B) lim P ( U e ) + (C) lim P ( U e ) + (D) lim P ( U e ) + (E) lim P( U e ) = + ( < e ) = ( < e ) = ( > 8e ) =

7 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 7. iech... będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym o gęstości x e gdy x > 0 f ( x) = 0 gdy x 0. iech będzie zmieą losową iezależą od o rozkładzie Γ( r + ) ujemym dwumiaowym P ( ) Γ( r)! i (0;) są ustaloymi arametrami. iech r = ) = ( dla = 0... gdzie r>0 Z mi( = 0 ) gdy gdy > 0 = 0. Oblicz E ( Z ) i Var Z ). ( (A) E ( Z ) = i Var ( Z ) = (B) (C) E( Z E( Z r ) = i r ) = i Var( Z Var( Z ) = ) = r r (D) E( Z r( ) r( ) ) = i Var( Z ) = (E) E( Z r ) = i Var( Z r ) =. 7

8 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 8. Każda ze zmieych losowych wartością oczekiwaą ma rozkład ormaly z iezaą 0 m i wariacją a każda ze zmieych losowych Y Y Y0 rozkład ormaly z iezaą wartością oczekiwaą m i wariacją 9. Założoo że wszystkie zmiee losowe są iezależe i wyzaczoo rzy tych założeiach test oarty a ilorazie wiarogodości dla testowaia hiotezy H : m = m rzy alteratywie H : m > m a oziomie istotości 0. W rzeczywistości założeie to ie jest sełioe: co rawda ary zmieych Y )( Y ) ( Y ) są iezależe ale ( i są zależe i wsółczyik korelacji Corr ( i ) = dla i = 0. ajmiejsza wartość różicy m m rzy której faktycza moc testu wyosi co ajmiej 09 jest rówa (A) 66 (B) 76 (C) 0 (D) (E)

9 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 9. m Zmiee losowe > są iezależe i E i = m oraz Var i = i i = gdzie m jest iezaym arametrem rzeczywistym. iech m ~ będzie estymatorem arametru m miimalizującym błąd średiokwadratowy w klasie estymatorów ostaci mˆ = a i i gdzie a i są liczbami rzeczywistymi. Wtedy wsółczyiki a są rówe i = i i= A) (B) (C) (D) (E) a i = i = a i = i = + i a i = i = ( + ) i a i = i = + + i a i = i = + 9

10 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Zadaie 0. iech K >5 będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ( ) jedostajym a rzedziale 0 θ gdzie θ > 0 jest iezaym arametrem. Wyzaczamy rzedział ufości dla arametru θ ostaci [ ] 3: : gdzie k : ozacza k-tą statystykę ozycyją z róby. Dla jakiej ajmiejszej liczebości róby losowej zachodzi P θ 0 (A) 8 (B) 9 (C) 0 (D) (E) θ ( [ ]) 9 3: : 0

11 Prawdoodobieństwo i statystyka r. Egzami dla Aktuariuszy z 5 grudia 008 r. Prawdoodobieństwo i statystyka Arkusz odowiedzi * Imię i azwisko :... Pesel... Zadaie r Odowiedź Puktacja C B 3 B B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 D 0 D * Oceiae są wyłączie odowiedzi umieszczoe w Arkuszu odowiedzi. Wyełia Komisja Egzamiacyja.