ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie

Transkrypt

1 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory zbioru, (dokładie σ ciało podzbiorów)), P prawdopodobieństwo (fukcja przyporządkowująca zdarzeiom szasę ich zajścia). P : S R

2 Zmieą losową X azywamy fukcję (borelowską czyli praktyczie każdą) przyporządkowującą zdarzeiom elemetarym liczby rzeczywiste. X : Ω R

3 Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F : R R określoą wzorem: F( x) P( X x) P ((, x)) X 3

4 Własości dystrybuaty: a) F jest fukcją iemalejącą, b) F jest fukcją lewostroie ciągłą, c) F( ) 0; F( ), d) dystrybuata zmieej losowej wyzacza jedozaczie jej rozkład, e) P( a X b) F( b) F( a); a b ozacza graicę prawostroą, (jeśli a jest puktem ciągłości dystrybuaty to P(X = a ) = 0). f) P( X a) F( a ) F( a); gdzie F( a ) 4

5 Zmiea losowa jest skokowa (dyskreta) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest skończoy lub przeliczaly. Rozkład zmieej losowej skokowej często określamy za pomocą fukcji prawdopodobieństwa: P( X x ) p (własość: ; k pk 0 k k k p ) Liczby p k azywamy skokami, a wartości x k puktami skokowymi. 5

6 Zmiea losowa X o dystrybuacie F jest ciągła jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R gdzie f jest fukcją spełiającą waruki: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i azywamy ją gęstością prawdopodobieństwa zmieej losowej X. 6

7 Własości zmieej losowej ciągłej: a) b) a P( X a) f ( x) dx F( a), P( a X P( a b) X P( a b) b a X b) f ( x) dx P( a X F( b) F( a) c) P( X a) 0, dla dowolego a R ; (brak puktów skokowych), d) F jest fukcją ciągłą i prawie wszędzie różiczkowalą F ( x) f ( x) (rówość zachodzi dla puktów ciągłości gęstości). Wyzaczając gęstość przez różiczkowaie dystrybuaty, w puktach w których F ie jest różiczkowala moża przyjąć, że gęstość jest rówa zero. 7

8 Własości rozkładu zmieej losowej często charakteryzujemy jej parametrami. 8

9 Jedym z podstawowych parametrów jest wartość oczekiwaa. Wartość oczekiwaa. Ozaczeie EX lub m. Dla zmieej losowej skokowej EX i x i p i (jeśli ewetualy szereg jest zbieży bezwzględie, takie szeregi są "odpore" p. a zmiaę kolejości wyrazów). Dla zmieej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewetuala całka iewłaściwa jest zbieża bezwzględie). 9

10 Przykład Dla zmieej losowej o fukcji prawdopodobieństwa x k - 3 p k 0, 0,6 0, EX 0, 0,6 3 0,,6. 0

11 Przykład Dla zmieej losowej o gęstości f ( x) x x 0, 0 x 0, 3 x EX x xdx x dx

12 Własości wartości oczekiwaej a) Ec = c; c stała, b) E(aX) = ae(x), c) E(X + Y) = EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y iezależe, to E(XY) = EXEY.,

13 Miarą rozrzutu wartości zmieej losowej jest wariacja. Wariacja. Ozaczeie D X lub. D X = E(X EX) Dla zmieej losowej skokowej D X ( xi EX ) pi Dla zmieej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx 3

14 Własości wariacji a) D c = 0; c stała, b) D (ax) = a D (X), c) D (X + b) = D X, b stała, d) X, Y iezależe, to D (X Y) = D X + D Y e) D X = E(X ) (EX). 4

15 Uzasadieie e) D X = E(X EX) = E(X XEX + (EX) ) = EX EXEX + (EX) = = E(X ) (EX). 5

16 Jeśli rozrzut wartości zmieej losowej chcemy (p. z powodu iterpretacji w zastosowaiach) mierzyć w tych samych jedostkach co X to stosujemy odchyleie stadardowe. 6

17 Odchyleie stadardowe. Ozaczeie DX lub. DX D X 7

18 Rozkłady skokowe Rozkład jedopuktowy Określamy: P(X = c) = gdzie c ustaloa liczba. 8

19 EX = c, D X = 0 (tylko te rozkład ma zerową wariację!!!) 9

20 Rozkład dwupuktowy (zerojedykowy) Niech p ( 0, ) będzie ustaloą liczbą. Określamy: P(X = 0) = q, P(X = ) = p ; gdzie q = p. Umowa: 0 - porażka - sukces 0

21 EX = p, D X = pq

22 Rozkład dwumiaowy Dla daych p ( 0, ), N określamy fukcję prawdopodobieństwa P( X k) k p k q k gdzie q = p k = 0,,,...,. (wzór Beroulliego)

23 Jakub Beroulli ( ) - szwajcarski matematyk i fizyk. 3

24 Jeśli przyjmiemy, że ozacza liczbę iezależych doświadczeń z których każde kończy się jedym z dwóch wyików: sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeiu) lub porażką i zmiea losowa X ozacza liczbę sukcesów to powyższy wzór wyzacza prawdopodobieństwo uzyskaia dokładie k sukcesów w doświadczeiach (próbach). 4

25 Sprawdzeie k0 P( X k) k0 p k k q k p q 5

26 EX = p, D X = pq 6

27 Rozkład geometryczy X - liczba prób Beroulliego poprzedzających pierwszy sukces q = - p k = 0,,,... P( X k) k pq 7

28 Sprawdzeie k 0 P( X k) k 0 pq k p q 8

29 EX = q/p; D X = q/p 9

30 Rozkład Poissoa Dla > 0 określamy fukcję prawdopodobieństwa k P( X k ) k! e k = 0,,,... 30

31 Siméo Deis Poisso (78 840), fracuski mechaik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami ozaczoymi, rówaiami różicowymi i różiczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 3

32 Sprawdzeie k0 e P( X k) k0 k k! e k0 e k e k! 3

33 EX = D X = 33

34 Rozkład Poissoa (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych (praktyczie 30) i małych p (praktyczie p 0,) przybliżać rozkład dwumiaowy (przybliżeie Poissoa) k p k q k k e k! gdzie p 34

35 Rozkłady ciągłe Rozkład jedostajy Rozkład którego gęstość jest stała w pewym przedziale azywamy jedostajym. Gęstość rozkładu jedostajego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 35

36 Poieważ gęstość ta ma oś symetrii w pukcie x = (a + b)/ to EX = (a+b)/ 36

37 Pokażemy, że DX = (b a)/ 37

38 38 Przykład Najpierw obliczymy EX b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a Zatem 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D

39 Rozkład wykładiczy Rozkład te występuje często w zagadieiach rozkładu czasu między zgłoszeiami (awariami) lub czasu oczekiwaia a obsługę w systemach kolejkowych. Gęstość rozkładu wykładiczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x 0 x 0 39

40 dystrybuatą tego rozkładu jest fukcja ax e x 0 F( x) 0 x 0 (uzasadieie: F'(x) = f(x)) 40

41 Przykład Obliczymy EX EX 0 Uwaga. xae ax ax ax dx xe e a Podobie moża udowodić, że 0 a D X a 4

42 Rozkład ormaly (Gaussa) Dla m R, ( 0, ) Określamy gęstość rozkładu N ( m, ) f ( x) e ( xm) x R 4

43 Carl Friedrich Gauss ( ) iemiecki matematyk i fizyk. Jego badaia związae z teorią błędów doprowadziły do odkrycia rozkładu ormalego zmieej losowej (azyway także rozkładem Gaussa), który jest ajważiejszym rozkładem w teorii prawdopodobieństwa. 43

44 44

45 Uwaga Jeśli X ma rozkład N(m, ) to zmiea losowa Y = (X m)/ ma rozkład N(0, ) (takie przekształceie azywamy stadaryzacją). 45

46 Wartości dystrybuaty dla argumetów ujemych wyzaczamy a podstawie zależości ( x) = (x) 46

47 Przykład Dochód miesięczy (zł) w pewej populacji osób ma rozkład ormaly N(600; 300). Jaki procet osób w tej populacji ma dochód miesięczy poiżej 000 zł? X wysokość miesięczego dochodu P( X 000) P X P Y ( ) () 0,977 0,08,8% 47

48 Przykład Czas wykoaia pewego detalu (mi.) jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N(m; ). Wiadomo, że 80% robotików wykouje te detal dłużej iż 0 miut a 60% robotików dłużej iż miut. a) wyzacz parametry rozkładu czasu wykoaia detalu m i, b) jaki odsetek robotików wykouje te detal w czasie krótszym iż 6 miut? X czas wykoaia detalu. 48

49 P ( X 0) 0,8 stąd m 0 0,84 m 0, P ( X ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy układ rówań otrzymamy m =,85; = 3,39. P( X 6) P X,85 6,85 3,39 3,39 (,0) (,0) 0,07, 7% PY,0 49

50 Prawo trzech sigm Jeśli X ma rozkład N(m, ) to P( m X m ) P( m X m ) P ( m3 X m3 ) 0,683 0,955, 0,997 Ostatia rówość świadczy o tym, że chociaż rozkład ormaly ma gęstość różą od zera a całej prostej to praktyczie iemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale ( m 3, m 3 ) własość tą azywamy prawem trzech sigm., m 38 m + 38 m 50

51 Iterpretacja graficza parametrów rozkładu N(m, ) m m 5

52 Trzy rozkłady ciągłe, które mają duże zaczeie w statystyce matematyczej: Rozkład chi kwadrat, Rozkład Studeta, Rozkład F Sedecora Rozkłady te są stablicowae. 5

53 Rozkład chi kwadrat (χ ) Y liczba stopi swobody Y X... X X,..., X - iezależe, o rozkładzie N(0, ) EX = ; DX = 53

54 Karl Pearso ( ) agielski matematyk, prekursor statystyki matematyczej 54

55 55 Gęstość rozkładu Y ) ( y y e y y f y Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (

56 mediaa domiata m e = x 0,5-0,67 d = -, > 56

57 Odczyt z tablicy dla rozkładu chi kwadrat. (podobie iterpretujemy graficzie odczyt z tablicy F Sedecora.) P( Y k) Uwaga. ) Dla =, wykres gęstości rozkładu chi kwadrat jest iy (tylko część malejąca wykresu) ) dla > 30 stosujemy przybliżeie rozkładem ormalym. ~ N( ;) Y 57

58 Rozkład Studeta T liczba stopi swobody X, Y - iezależe X o rozkładzie N(0, ); Y o rozkładzie chi kwadrat z stopiami swobody X Y EX = 0 ; dla > DX = /(-) dla > 58

59 59 Gęstość rozkładu T R t t t f ` ) ( Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (

60 William Gosset ( ), statystyk agielski. Publikował pod pseudoimem Studet (stąd azwa wprowadzoego przez iego - w roku rozkładu prawdopodobieństwa: rozkład Studeta). 60

61 Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozkładu Studeta. P( T k) Uwaga. T k k N ( 0, ) 6

62 Rozkład F Sedecora ; N stopie swobody Y Y ; F, - iezależe o rozkł. chi kwadrat Y Y ; 6

63 EX = DX = 4 ( ) dla > dla > 4 63

64 64 gęstość ) ( x x x x x f W tablicy ) ( F ; k P

65 65 TABLICE Tablica I. Rozkład Poissoa. P X k k e k ( )! \ k , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0, , , , , , , , , , , , \ k , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0, , , , , , , , , , , , ,000

66 Tablica II. Dystrybuata (x) rozkładu ormalego N(0, ) (-x) = - (x) x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0, 0,5793 0,583 0,586 0,590 0,5949 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0, 0,3 0,679 0,67 0,65 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,3 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,684 0,6879 0,4 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,5 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,7 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 0,9,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9047,,3 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,3,4 0,994 0,9073 0,90 0,9354 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0, ,9389,4,5 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,6,7 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,7,8 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,8,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,9,0 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869,0, 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574,, 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,,3 0,9898 0, , , , , ,9 06 0,9 06 0, ,9 576,3,4 0,9 80 0,9 04 0,9 40 0,9 45 0, , , , , ,9 363,4 66

67 x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x,5 0, , ,9 43 0, , , , , , ,9 50,5,6 0, , , , , , , , , ,9 647,6,7 0, , , , , , ,9 70 0, ,9 78 0,9 7365,7,8 0, , , , , , , , ,9 80 0,9 8074,8,9 0, , , , , ,9 84 0, ,9 85 0, ,9 8605,9 3,0 0, , , , , , , , , , ,0 3, 0, , , , , , ,9 3 0, , , , 3, 0, , , , , , , , , , , 3,3 0, , , , , , , , , , ,3 3,4 0, , , , , , , , , , ,4 3,5 0, , , , , , , , , , ,5 3,6 0, , , , , , , , , , ,6 3,7 0, , , , , , , , , , ,7 3,8 0, , , , , , , , , , ,8 3,9 0, , , , , , , , , , ,9 4,0 0, , , , , , , , , , ,0 4, 0, , , , , , , , , , , 4, 0, , , , , , , , , , , 4,3 0, , , , , , , , , , ,3 4,4 0, , , , , , , , , , ,4 4,5 0, , , , , , , , , , ,5 4,6 0, , , , , , , , , , ,6 4,7 0, , , , , , , , , , ,7 4,8 0, , , , , , , , , , ,8 4,9 0, , , , , , , , , , ,9 Wartości k gdy (k) =. 0,9 0,9 0,9 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 k,8,34,405,476,555,645,75,88,960,054,70,36,576 0,6 0,7 0,8 0,999 0,9999 0, , k 0,53 0,54 0,84 k 3,090 3,79 4,65 4,753 67

68 68 Tablica III. Tablica rozkładu chi kwadrat Tablica podaje wartości x takie, że P Y x ( ), - ilość stopi swobody 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0, ,000 0,00 0,5 0,97 0,554 0,87,39,646,088,558 3,053 3,57 4,07 4,660 5,9 5,8 6,408 7,05 7,633 8,60 8,897 9,54 0,96 0,856,54,98,879 3,565 4,56 4,953 0,0006 0,0404 0,85 0,49 0,75,34,564,03,53 3,059 3,609 4,78 4,765 5,368 5,985 6,64 7,55 7,906 8,567 9,37 9,95 0,600,93,99,697 3,409 4,5 4,847 5,574 6,306 0,004 0,03 0,35 0,7,45,635,67,733 3,35 3,940 4,575 5,6 5,89 6,57 7,6 7,96 8,67 9,390 0,7 0,85,59,338 3,09 3,848 4,6 5,379 6,5 6,98 7,708 8,493 0,06 0, 0,584,064,60,04,833 3,490 4,68 4,865 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,3 0,085 0,865,65,443 3,40 4,04 4,848 5,659 6,473 7,9 8,4 8,939 0,599 3,364 0,064 0,446,005,649,343 3,070 3,8 4,594 5,380 6,79 6,989 7,807 8,634 9,467 0,307,5,00,857 3,76 4,587 5,445 6,34 7,87 8,06 8,940 9,80 0,703,588,475 3,364 0,48 0,73,44,95 3,000 3,88 4,67 5,57 6,393 7,67 8,48 9,034 9,96 0,8,7,64 3,53 4,440 5,35 6,66 7,8 8,0 9,0 9,943 0,867,79,79 3,647 4,577 5,508 0,455,386,366 3,357 4,35 5,348 6,346 7,344 8,343 9,34 0,34,340,340 3,339 4,339 5,338 6,338 7,338 8,338 9,337 0,337,337,337 3,337 4,337 5,336 6,336 7,336 8,336 9,336,074,408 3,665 4,878 6,064 7,3 8,383 9,54 0,656,78,899 4,0 5,9 6,6 7,3 8,48 9,5 0,60,689,775 3,858 4,939 6,08 7,096 8,7 9,46 30,39 3,39 3,46 33,530,64 3,665 4,64 5,989 7,89 8,558 9,803,030,4 3,44 4,63 5,8 6,985 8,5 9,3 0,465,65,760 3,900 5,038 6,7 7,30 8,49 9,553 30,675 3,795 3,9 34,07 35,39 36,50,706 4,605 6,5 7,779 9,36 0,645,07 3,36 4,684 5,987 7,75 8,549 9,8,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,4 9,65 30,83 3,007 33,96 34,38 35,563 36,74 37,96 39,087 40,56 3,84 5,99 7,85 9,488,070,59 4,067 5,507 6,99 8,307 9,675,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,44 3,40 3,67 33,94 35,7 36,45 37,65 38,885 40,3 4,337 4,557 43,773 5,4 7,84 9,837,668 3,388 5,033 6,6 8,68 9,679,6,68 4,054 5,47 6,873 8,59 9,633 30,995 3,346 33,687 35,00 36,443 37,659 38,968 40,70 4,566 4,856 44,40 45,49 46,693 47,96 6,635 9,0,345 3,77 5,086 6,8 8,475 0,090,666 3,09 4,75 6,7 7,688 9,4 30,578 3,000 33,409 34,805 36,9 37,566 38,93 40,89 4,638 4,980 44,34 45,64 46,963 48,78 49,588 50,89 0,87 3,85 6,68 8,465 0,57,457 4,3 6,5 7,877 9,588 3,64 3,909 34,58 36,3 37,697 39,5 40,790 4,3 43,80 45,35 46,797 48,68 49,78 5,79 5,60 54,05 55,476 56,893 58,30 59,

69 69 Tablica IV. Tablica rozkładu Studeta Tablica podaje wartości x takie, że P T x ( ), - ilość stopi swobody 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0, ,58 0,4 0,37 0,34 0,3 0,3 0,30 0,30 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,6 0,35 0,89 0,77 0,7 0,67 0,65 0,63 0,6 0,6 0,60 0,60 0,59 0,59 0,58 0,58 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,55 0,54 0,54 0,53 0,50 0,445 0,44 0,44 0,408 0,404 0,40 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,77 0,67 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,54 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,530 0,530 0,530 0,59 0,57 0,56 0,54,376,06 0,978 0,94 0,90 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,86 0,86 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,85 0,848 0,845 0,84,963,386,50,90,56,34,9,08,00,093,088,083,079,076,074,07,069,067,066,064,063,06,060,059,058,058,057,056,055,055,050,046,04,036 3,078,886,638,533,476,440,45,397,383,37,363,356,350,345,34,337,333,330,38,35,33,3,39,38,36,35,34,33,3,30,303,96,89,8 6,34,90,353,3,05,943,895,860,833,8,796,78,77,76,753,746,740,734,79,75,7,77,74,7,708,706,703,70,699,697,684,67,658,645,706 4,303 3,8,776,57,447,365,306,6,8,0,79,60,45,3,0,0,0,093,086,080,074,069,064,060,056,05,048,045,04,0,000,980,960 3,8 6,965 4,54 3,747 3,365 3,43,998,896,8,764,78,68,650,64,60,583,567,55,539,58,58,508,500,49,485,479,473,467,46,457,43,390,358,36 63,657 9,95 5,84 4,604 4,03 3,707 3,499 3,355 3,50 3,69 3,06 3,055 3,0,977,947,9,898,878,86,845,83,89,807,797,787,779,77,763,756,750,704,660,67, ,69 3,598,94 8,60 6,859 5,959 5,405 5,04 4,78 4,587 4,437 4,38 4, 4,40 4,073 4,05 3,965 3,9 3,883 3,850 3,89 3,79 3,767 3,745 3, ,690 3,674 3,659 3,646 3,55 3,460 3,373 3,

70 Tablica V. Tablica rozkładu F - Sedecora P F ; k) ( Tablica dla = 0,05: ,5 9,0 9, 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,79 8,66 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,96 5,8 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,56 4,64 4,43 4,4 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,06 3,87 3,77 3,74 3,7 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,44 3,34 3,3 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,5 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,4,94,83,79,76,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,98,77,66,6,59,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,85,65,53,49,46,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,75,54,43,38,35,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,67,46,34,30,6, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,60,39,7,,9,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,54,33,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,49,8,5,,07,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,45,3,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,4,9,06,0,98,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,38,6,03,98,94,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,35,,99,95,9,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,0,96,9,88,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,07,94,89,85,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,05,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,5,03,89,84,80,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,0,87,8,78,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,,99,85,80,76,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,0,97,84,79,74,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,9,96,8,77,73,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,8,94,8,75,7, ,7 3,3,9,69,53,4,33,7,6,93,79,74,70,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,08,84,69,64,59,5 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,03,78,63,58,5, ,94 3,09,70,46,3,9,0,03,93,68,5,45,39,8 00 3,89 3,04,69,4,6,4,06,98,88,6,46,39,3,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,83,57,39,3,4,00. 70

71 Cetrale twierdzeie graicze Lideberga Levy'ego Jeśli iezależe zmiee losowe X i (i =,,..., ) mają taki sam rozkład oraz istieje E(X ) = m i D (X ) = > 0 to ciąg dystrybuat (F ) stadaryzowaych średich arytmetyczych X (lub stadaryzowaych sum i Y X i ) X / m i X m jest zbieży do dystrybuaty rozkładu N(0, ).. 7

72 Prawo wielkich liczb Chiczya (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o takim samym rozkładzie oraz iech istieje E(X i ) = m. Y Wtedy ciąg X i jest zbieży i stochastyczie do m.. 7

73 Populacja to zbiorowość podlegająca badaiu statystyczemu. Aby populację określić jedozaczie charakteryzujemy ją pod względem: rzeczowym czasowym przestrzeym (terytorialym).. 73

74 Cecha to właściwość elemetów populacji ze względu a którą prowadzimy badaie statystycze. Wariaty to wartości cechy (cecha powia mieć przyajmiej dwa wariaty).. 74

75 Przykład Populacja: Studeci II semestru Wydziału Cyberetyki WAT, wg stau a Cechy: płeć, wzrost, kolor oczu, ocea a egzamiie z matematyki po I semestrze, ulubioy tygodik, wysokość miesięczych dochodów, czas poświęcoy a aukę w tygodiu poprzedzającym ostatią sesję egzamiacyją.. 75

76 Przykład Populacja: Samochody osobowe zarejestrowae w Warszawie, wg stau a Cechy: kolor karoserii, przebieg, średie zużycie paliwa a 00 km, marka, czas osiągaia prędkości 00 km/godz.. 76

77 Uproszczoa klasyfikacja cech:. 77

78 Badaie statystycze może być: pełe (obejmuje całą populację), częściowe (obejmuje część populacji próbę).. 78

79 Próba powia być reprezetatywa tz. rozkład wariatów badaej cechy w próbie powiie być zbliżoy do rozkładu w całej populacji.. 79

80 George Gallup Pioier w dziedziie badaia opiii publiczej. Rozwiął techikę doboru grupy reprezetatywej. 80

81 Rok wybory prezydeckie w USA. Frakli Delao Roosvelt - Partia Demokratycza, Alf Lado - Partia Republikańska. "Literary Digest" 0 ml akiet (zwrot ok. ml), - ieprawidłowa progoza. Gallup 4000 akiet (w 935 założył pierwszy a świecie istytut badaia opiii publiczej) - prawidłowa progoza. Wyiki: Roosvelt - 60,8%, Lado - 36,5%.. 8

82 Uwaga Badaia pełe ie zawsze są możliwe lub celowe (badaia iszczące, duża próba, wysokie koszty).. 8

83 Humor Polski lata 80-te. 83

84 Liczebość próby. Dla reprezetatywej próby dorosłej liczebości Polski zwykle osób. Jerzy Spława-Neyma (894-98) polski i amerykański matematyk i statystyk. Wprowadził pojęcie przedziału ufości.. 84

85 ROZKŁADY PODSTAWOWYCH STATYSTYK X zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (X, X,...,X ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, X i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak X (taką próbę azywamy próbą prostą). Jeśli x i jest wartością zmieej X i (i =,,..., ) to ciąg (x, x,..., x ) azywamy realizacją próby (są to dae statystycze).. 85

86 Statystyka to praktyczie dowola fukcja od próby Y = g(x, X,..., X ) Statystyka przekształca iformację zawartą w próbie czyiąc prostszym wioskowaie o rozkładzie cechy w populacji.. 86

87 Statystyka jako fukcja od zmieej losowej jest też zmieą losową i możemy mówić o jej rozkładzie. Statystyka ma rozkład dokłady, jeśli jest spełioy dla każdego. Statystyka ma rozkład asymptotyczy, jeśli jest spełioy, gdy dąży do ieskończoości.. 87

88 Statystyki podstawowe: X X i X i średia z próby Gdy X i mają rozkład zerojedykowy ( sukces, 0 porażka) to średią możemy zapisać w postaci Y W gdzie Y jest liczbą sukcesów w próbie Te szczególy przypadek średiej azywamy średią częstością sukcesu.. 88

89 89. i i X X S S wariacja z próby Uwaga. i X i X S i i S X X S S odchyleie stadardowe z próby

90 90. i i X X S S ˆ ˆ wariacja z próby ieobciążoa i i m X S S 0 0 wariacja z próby dla daej wartości oczekiwaej m.

91 Uwaga Sˆ S zatem dla dużych S ˆ S ˆ S S. 9

92 Rozkłady iektórych statystyk: Jeśli cecha X ma rozkład N(m, ), to:,, a) statystyka X ma rozkład N m X m b) statystyka S ma rozkład Studeta z - stopiami swobody, S c) statystyka 0 ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, S d) statystyka ma rozkład chi kwadrat z - stopiami swobody,. 9

93 Jeśli cecha X ma rozkład N(m, ) a cecha Y ma rozkład N(m, ), (próby iezależe odpowiedio i elemetowe) to: e) statystyka X Y ma rozkład N m m,, gdy X ma rozkład N(m, ), Y ma rozkład N(m, ), to X Y ( ) e ) statystyka S S ma rozkład Studeta z + - stopiami swobody, f) statystyka Sˆ Sˆ ( Y ) ( X ) ma rozkład F,,. 93

94 Uwaga. ) Statystyki X i S są zmieymi losowymi iezależymi, ) Ciąg średich z próby jest zbieży (wg prawdopodobieństwa) do wartości oczekiwaej m rozpatrywaej cechy (zakładamy, że EX = m istieje), 3) Ciąg wariacji z próby jest zbieży (wg prawdopodobieństwa) do wariacji rozpatrywaej cechy (zakładamy, że D X = > 0 istieje), 4) Gdy spełioe są założeia puktu ) i 3) to średia ma dla dużych w przybliżeiu rozkład N m, (rozkład asymptotyczy) W szczególości średia częstość sukcesu ma rozkład asymptotyczy p( p) N p,, gdzie p prawdopodobieństwo sukcesu. Y W. 94

95 ESTYMACJA PUNKTOWA Niech - iezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będziemy estymować (przybliżać) a podstawie elemetowej próby. - wybieramy statystykę U o rozkładzie zależym od - obliczamy a podstawie próby jej wartość u - przyjmujemy, że u Statystykę U azywamy estymatorem parametru.. 95

96 Klasyfikacja estymatorów. Estymator U jest: - zgody jeśli U wg prawdopodobieństwa - ieobciążoy jeśli E ( U ) - asymptotyczie ieobciążoy jeśli lim E ( U ) - ajefektywiejszy gdy jest ieobciążoy i ma ajmiejszą wariację w klasie ieobciążoych estymatorów tego parametru, - asymptotyczie ajefektywiejszy gdy jest ieobciążoy lub asymptotyczie ieobciążoy i jego wariacja dąży do wariacji estymatora ajefektywiejszego.. 96

97 Przykład Niech X N(m; ). Przyjmijmy, że mamy próbę (X, X, X 3, X 4 ). Zakładamy, że = jest zae, szukamy estymatora parametru m. Rozpatrzmy kilka prostych estymatorów. U U ( X U U U U X X 4 X 3 3 X 4 ( X 3 X U 4 X 3 5 X i ix i ) ) Sprawdzimy własości tych estymatorów.. 97

98 Policzmy wartości oczekiwae tych estymatorów (zbadamy czy są ieobciążoe). EU m EU m EU m 3 m E U 4 3 EU 5 m EU 6 m Zatem estymatory U i U 4 są obciążoe, ależy je odrzucić.. 98

99 Policzmy wariacje pozostałych estymatorów. D U 0, 5 D U 3 0, 5 D U 5, 5 D U 6 0, 3 Zatem estymator U 3 ma ajmiejszą wariację.. 99

100 Estymatory parametrów rozkładu N(m, ). Parametr Estymator Własości estymatora m X Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. S Zgody. Asymptot. ieobciążoy. Asymptot. ajefektywiejszy. S Zgody. Nieobciążoy. ˆ Asymptot. ajefektywiejszy. 0 S Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. S Ŝ Zgode. Asymptot. ieobciążoe. Asymptot. ajefektywiejsze. 0 S. 00

101 Estymatory iych parametrów. Parametr Estymator Własości estymatora Wartość oczekiwaa (rozkład dowoly) (rozkład Poissoa) p (rozkład zero-jedykowy) Wariacja (rozkład dowoly) X X liczba W sukcesów = średia częstość sukcesu S S ˆ Zgody. Nieobciążoy. Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Nieobciążoy. Najefektywiejszy. Zgody. Asymptot. ieobciążoy. Zgody. Nieobciążoy.. 0

102 Uwaga a) w praktyce zgodość estymatora sprawdza się a podstawie praw wielkich liczb lub korzysta się z faktu, że estymator ieobciążoy (asymptotyczie ieobciążoy), którego wariacja dąży do zera (tz. lim D U 0 ) jest estymatorem zgodym. b) w praktyce efektywość estymatora bada się a podstawie ierówości Rao-Cramera:. 0

103 03. Dla (praktyczie każdego) estymatora ieobciążoego U prawdziwa jest ierówość i i p i p d d U D ) ( ) ( l dla zmieej losowej skokowej )dx x, ( f ) x, ( f l U D dla zmieej losowej ciągłej

104 Przy czym dla estymatora ajefektywiejszego zachodzi rówość (jeśli istieje estymator ajefektywiejszy to prawe stroy powyższych ierówości są rówe jego wariacji).. 04

105 C. R. Rao (90 - ), Harald Cramér ( ), statystyk matematyk, statystyk,. 05

106 . 06

107 Przykład Niech X N(m; ). Przyjmijmy, że estymatorem parametru m jest X. Sprawdzimy własości tego estymatora.. 07

108 08. Rozwiązaie: m m m X E X E X E i i i i i ) ( zatem jest to estymator ieobciążoy.

109 D lim X D D X D ( X i ) i i i i X lim 0 zatem jest to estymator zgody.. 09

110 f x m ( x, m) e Wyzaczmy prawą stroę ierówości Rao-Cramera:. 0

111 . dx m x f m x dx m x f m x f m 4 4 ), ( ), ( ), ( l zatem jest to estymator ajefektywiejszy.

112 Przykład Niech X N(m; ). Obliczymy S E, S 0 E, ˆ E S..

113 Rozwiązaie: E S E Y E ( ) S S E (estymator obciążoy) S bo statystyka ma rozkład chi kwadrat z stopiami swobody, oraz wartość oczekiwaa zmieej losowej o rozkładzie chi kwadrat jest rówa liczbie stopi swobody.. 3

114 4. ˆ S E S E S E (estymator ieobciążoy)

115 Y E S E S E S E (estymator ieobciążoy)

116 Wiosek S jest estymatorem asymptotyczie ieobciążoym parametru bowiem: lim E S lim S ˆ jest estymatorem ieobciążoym parametru. 0 S jest estymatorem ieobciążoym parametru.. 6

117 Wyzaczaie estymatorów metodą mometów (K.Pearso) Niezae momety teoretycze cechy X szacujemy przez momety empirycze tego samego rzędu. Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle mało efektywe (zwłaszcza dla rozkładów asymetryczych).. 7

118 Momety teoretycze: k mk E( X ) momet rzędu k zmieej losowej X (m = EX). k l mkl E( X Y ) momet rzędu k, l zmieej losowej (X, Y).. 8

119 Momety empirycze: M M k k x i x momet rzędu k cechy X (M = X ). y k l kl i i momet rzędu k, l jedocześie badaych cech (X, Y). Zatem przyjmujemy, że: m k M k oraz m kl M kl Parametry będące fukcjami mometów teoretyczych szacuje się przez wartości tych fukcji obliczoe dla mometów empiryczych.. 9

120 Przykład Dla rozkładu wykładiczego z parametrem a mamy wartość oczekiwaą rówą EX = m = /a. Poieważ przyjmujemy m M to /a X, zatem estymatorem parametru a jest. X. 0

121 Wyzaczaie estymatorów metodą ajwiększej wiarygodości (MNW) (R.A.Fisher) Dla uproszczeia rozpatrujemy przypadek gdy iezay jest tylko jede parametr rozkładu. a) wyzaczamy fukcję wiarygodości L( ; x, x,..., x ) i i dla zmieej losowej skokowej L( ; x, x,..., x ) p( ; x i i dla zmieej losowej ciągłej f ( ; x ) ).

122 b) wyzaczamy logarytm fukcji wiarygodości, l ) l( ; x, x,..., x ) l L( ; x, x,..., x ) ( c) wyzaczamy dla którego fukcja l ( ) ma maksimum (w tym celu obliczamy pochodą fukcji l ( ), wyzaczamy miejsce zerowe pochodej i sprawdzamy czy w tym pukcie pierwsza pochoda odpowiedio zmieia zak lub druga pochoda jest ujema), d) przyjmujemy, że wyzaczoy w te sposób wzór a jest poszukiwaym estymatorem. Uwaga ) Postać fukcji wiarygodości wyika z wielowymiarowego rozkładu próby (gęstość/fukcja prawdopodobieństwa jest iloczyem gęstości/f.p brzegowych). ) Logarytmowaie fukcji wiarygodości wyika z potrzeb praktyczych. 3) Jeśli rozpatrujemy przypadek gdy iezaych jest wiele parametrów rozkładu to postępujemy podobie stosując rachuek różiczkowy fukcji wielu zmieych..

123 Uwaga Estymatory uzyskae tą metodą są zwykle co ajmiej zgode, asymptotyczie ieobciążoe i asymptotyczie ajefektywiejsze. Warto też wiedzieć, że estymatory uzyskae tą metodą mają asymptotyczy rozkład ormaly Uwaga Niech g będzie fukcją rzeczywistą różowartościową. Jeśli u jest estymatorem NW parametru to estymatorem NW parametru g( ) jest g(u ). Własość ta jest prawdziwa rówież dla przypadku wielu parametrów.. 3

124 Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu jedostajego w [0; ], > 0. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Wtedy L( ) dla 0 l ( ) l l '( ) / 0 x i. 4

125 Zauważmy, że max i,,.. x i zatem L ( ) ma ajwiększą wartość dla maxx i i jest to szukay estymator NW. i,,... 5

126 Estymatory uzyskae MNW ie zawsze są wyzaczoe jedozaczie. Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu jedostajego w [ ; + ]. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ). Wtedy L( ) dla xi jest fukcją stałą względem parametru. zatem każda wartość x max i ; i,,.. mi i,,.. x i może być szukaym estymatorem NW.. 6

127 Przykład Wyzaczymy MNW estymator parametru rozkładu Poissoa. Mamy próbę (X, X, X 3,..., X ).. 7

128 Wtedy L( ) x x! x x.. x e... e e x! x!... x! x.. x l lx!... x! l( ) l L( ) x.. x l ( ) / '. 8

129 Wyzaczamy pukt krytyczy l'( ) 0 x.. x x.. x / x / 0 sprawdzamy istieie maksimum l ''( ) x.. x / 0 Zatem estymatorem parametru jest średia z próby.. 9

130 Przykład zastosowaia estymacji Chcemy w dyskrety sposób (obawa karalości) oceić odsetek k osób dających łapówki. Moża to zrobić astępująco. Pytaa osoba rzuca moetą i wyik rzutu zachowuje do swojej wiadomości. Przygotowujemy dużą liczbę kart a połowie których jest pytaie: "czy wypadł orzeł?" a a drugiej połowie kart jest pytaie "czy dajesz łapówki?". Karty losujemy. Pytay losuje kartę i odpowiada TAK (T) lub NIE a wylosowae pytaie. Rozpatrywae doświadczeie ma rozkład zerojedykowy z iezaym parametrem p. Niech K wylosowaie karty z pytaiem r. Niech K wylosowaie karty z pytaiem r. Wtedy p = P(T) = P(K) P(T K) + P(K) P(T K) = = 0,5 0,5 + 0,5k Estymatorem dla p jest średia w. Stąd estymatorem k jest k w - 0,5.. 30

131 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech - iezay parametr rozkładu cechy X. Niech będzie liczbą z przedziału (0, ). Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od oraz P U U to przedział losowy U ; U azywamy przedziałem ufości dla parametru, a poziomie ufości -. Jeśli a podstawie próby obliczymy wartości u i u statystyk U i U to otrzymamy liczbowy przedział ufości.. 3

132 Iterpretacja poziomu ufości -. Na ogół dla różych prób otrzymuje się róże liczbowe przedziały ufości, lecz ależy oczekiwać, że około ( - )00% z ich będzie zawierać rzeczywistą wartość parametru. Np. dla - = 0,99 oczekujemy, że przeciętie w tylko próbie a 00 otrzymay liczbowy przedział ufości ie będzie zawierał parametru.. 3

133 Uwaga. Z powyższej iterpretacji wyika, że poziom ufości ie może być zbyt iski. Jeśli atomiast zwiększamy admierie wartość poziomu ufości to rośie długość przedziału ufości i spada jakość oszacowaia parametru (rośie błąd bezwzględy i błąd względy). Dlatego przyjmuje się, że ajbardziej odpowiedie wartości poziomu ufości mieszczą się w graicach 0,9-0,

134 Uwaga. Jeśli chcemy poprawić jakość oszacowaia iezaego parametru przedziałem ufości to ależy zwiększyć liczebość próby.. 34

135 Jerzy Neyma (894-98), statystyk. Wprowadził i rozwiął pojęcie przedziału ufości.. 35

136 Zestawieie ajważiejszych przedziałów ufości. Poziom ufości = (typowe wartości : 0,9; 0,95; 0,99). L.p. 3 Parametr Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Wartość oczekiwaa m Rozkład cechy, założeia Normaly N(m,), jest zae Normaly N(m,), ie jest zae Dowoly Licza próba > 80 X X X Przedział ufości σ u σ u ; X S u Su ; X S u ; X S u Wyzaczaie liczby u ( u ) α Błąd względy P ( T u ) α X ( u ) α σ x u S u S u X. 36

137 37. 4 Wariacja Normaly N(m,), ; u S u S ) ( ) ( u Y P u Y P 5 Odchyleie stadardowe Normaly N(m,), ; u S u S ) ( ) ( u Y P u Y P 6 Odchyleie stadardowe Normaly N(m,), licza próba > 80 S u S S u S ; ) ( α u Φ u 7 Wariacja Normaly N(m,), licza próba > 80 ) ;( ) ( S u S S u S ) ( α u Φ

138 8 Prawdopod obieństwo sukcesu p Rozkład zerojedykowy P( X) p, P( X0) p licza próba, > 00 Wu Gdzie W( W) ; Wu W( W) W k/ k-liczba sukcesów Φ( u ) α u W ( W W dystrybuata rozkładu ormalego N(0,) T zmiea losowa o rozkładzie Studeta z stopiami swobody Y zmiea losowa o rozkładzie chi kwadrat ( ) z stopiami swobody.. 38

139 Uzasadieie ) Rozpatrujemy stadaryzowaą statystykę X m U (ma rozkład N(0;)). Rozkład ormaly jest symetryczy więc szukamy przedziału [-u, u ] aby P ( u U u ). Z powyższego waruku wyika rówość Φ( u ) stąd zajdujemy w tablicach dystrybuaty rozkładu ormalego N(0;) wartość u. α 39

140 40 Przekształcamy: ) ( u m X u P ) ( u m X u P ) ( u X m u X P ostateczie ) ( u X m u X P

141 ) Korzystamy z rozkładu t-studeta Rozpatrujemy statystykę X m U S (ma rozkład T - ). Rozkład Studeta jest symetryczy więc szukamy przedziału [-u, u ] aby P ( u U u ). Z powyższego waruku wyika rówość P ( T u ) α stąd zajdujemy w tablicach rozkładu Studeta wartość u. 4

142 4 Przekształcamy: ) ( u S m X u P ) ( S u m X S u P ) ( S u X m S u X P ostateczie ) ( S u X m S u X P

143 43 3) Dla dużych prób, statystyka S m X U ma w przybliżeiu rozkład ormaly N(0,). Wówczas przedział ufości ma taki kształt jak w ) ) ( S u X m S u X P

144 Zadaie. Trwałość żarówek z pewej partii jest zmieą losową X o rozkładzie ormalym N(m, 00 h). Z partii tej pobrao próbę 6 żarówek i otrzymao x = 670 h. Oszacujemy średią trwałość żarówek z tej partii przedziałem ufości, a poziomie ufości - = 0,95. Zajdziemy względy błąd tego oszacowaia. 44

145 Rozwiązaie. Zastosujemy przedział ufości r : σ u X ; X σ u α. Mamy ( u ) = 0,975, stąd u, 96, więc błąd (bezwzględy), czyli połowa długości przedziału ufości σ u 00,96 6 = 49 h, 45

146 zatem szukaym przedziałem ufości jest przedział < ; > = < 6 ; 79 >. σu 49 Błąd względy x = x 670 =,8%. 46

147 Przykład. Badaa cecha ma rozkład N(m, ). Średia z próby 0 elemetowej wyosi 5. Wyzaczymy przedziały ufości dla wartości oczekiwaej dla różych poziomów ufości. Sprawdzimy jak zmieia się błąd względy przy rozpatrywaych poziomach ufości. 47

148 - u lewy-k prawy-k bł.wzgl 0,8 0,9,8 3,68 6,3 5,9% 0,85 0,95,440 3,5 6,49 5,95% 0,9 0,95,645 3,30 6,70 6,80% 0,9 0,955,695 3,5 6,75 7,00% 0,9 0,96,75 3,9 6,8 7,3% 0,93 0,965,8 3,3 6,87 7,49% 0,94 0,97,88 3,06 6,94 7,77% 0,95 0,975,960,98 7,0 8,0% 0,96 0,98,054,88 7, 8,48% 0,97 0,985,70,76 7,4 8,97% 0,98 0,99,36,60 7,40 9,6% 0,99 0,995,576,34 7,66 0,64% 0,99 0,9955,6,30 7,70 0,79% 0,99 0,996,65,6 7,74 0,96% 0,993 0,9965,697, 7,79,4% 0,994 0,997,748,6 7,84,35% 0,995 0,9975,807,0 7,90,60% 0,996 0,998,878,03 7,97,89% 0,997 0,9985,968,93 8,07,6% 0,998 0,999 3,090,8 8,9,77% 0,999 0,9995 3,90,60 8,40 3,59% 48

149 błąd względy 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% błąd względy jako fukcja poziomu ufości 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, poziom ufości 49

150 Przykład. Zapytao 000 wylosowaych dorosłych osób czy popierają wprowadzeie kary śmierci. Sześćset osób odpowiedziało twierdząco. Na poziomie ufości 0,95 oszacować odsetek wszystkich dorosłych osób popierających wprowadzeie kary śmierci. Zakładając, że rozpatrywae próby są reprezetatywe rozwiążemy powyższe zadaie dla prób o różych liczebościach. W każdym przypadku obliczymy błąd względy. 50

151 k - u w ,95 0,975,96 0,6 lewy-k prawy-k bł.wzgl 00 0,5040 0,6960 6,00% 00 0,53 0,6679,3% 300 0,5446 0,6554 9,4% 400 0,550 0,6480 8,00% 500 0,557 0,649 7,6% 600 0,5608 0,639 6,53% 700 0,5637 0,6363 6,05% 800 0,566 0,6339 5,66% 900 0,5680 0,630 5,33% 000 0,5696 0,6304 5,06% 00 0,570 0,690 4,83% 00 0,573 0,677 4,6% 300 0,5734 0,666 4,44% 400 0,5743 0,657 4,8% 500 0,575 0,648 4,3% 600 0,5760 0,640 4,00% 700 0,5767 0,633 3,88% 800 0,5774 0,66 3,77% 900 0,5780 0,60 3,67% 000 0,5785 0,65 3,58% 5

152 błąd względy jako fukcja liczebości próby błąd względy 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% 8,00% 6,00% 4,00%,00% 0,00% liczebość próby Wiosek. Błąd względy zmiejsza się wraz ze wzrostem liczebości próby. 5

153 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, parametr rozkładu cechy X. 53

154 Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową) H 0 ( 0 i alteratywą H, która ma jedą z astępujących postaci H ( ) 0, H ), H ) ( 0 ) ( 0 54

155 Postępowaie przy weryfikacji powyższych hipotez jest astępujące. Wybieramy pewą statystykę U o rozkładzie zależym od parametru oraz pewą liczbę z przedziału (0, ) i wyzaczamy podzbiór K zbioru liczb rzeczywistych tak by spełioy był waruek P ( U K 0 ) czyli aby prawdopodobieństwo, iż statystyka U przyjmie wartość ze zbioru K, przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa było rówe. 55

156 . Pobieramy próbę i obliczamy wartość u statystyki 3. Podejmujemy decyzje gdy gdy odrzuceia H 0 ). u K odrzucamy H 0, u K przyjmujemy H 0 (ie ma podstaw do U 56

157 Uzasadieie: Hipotezę H 0 odrzucamy gdy u K bowiem prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia U K jest bardzo małe przy założeiu, że prawdziwa jest hipoteza H 0 i skoro takie zdarzeie dla pobraej próby zaszło, ależy sądzić, że założeie o prawdziwości hipotezy H 0 było iesłuszie przyjęte. 57

158 Termiologia. U - sprawdzia, (statystyka testowa) K zbiór krytyczy (zbiór odrzuceń), - poziom istotości (typowe wartości : 0,; 0,05; 0,0). ˆ - krytyczy poziom istotości (poziom istotości przy którym astępuje zmiaa decyzji). 58

159 Błędy decyzji w teście sprawdzającym hipotezę H 0. Decyzja Przyjmujemy H 0 Odrzucamy H 0 H 0 - prawdziwa Decyzja właściwa Błąd I rodzaju H - fałszywa Błąd II rodzaju Decyzja właściwa 0 Prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju wyosi: P( U 0 K H ) Prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju wyosi: P( U K H) 59

160 Testy do weryfikacji hipotez o wartości oczekiwaej I. Cecha X populacji ma rozkład ormaly N(m, ), jest zae Hipoteza zerowa H 0( m m0 ) H U Wyzaczaie H ( m 0 ) m X / m Zbiór kryt. K k ; ) H ( m m0 ) 0 ( ; k H m ) ( ; k k ; ) ( m0 liczby k ) Nr testu (k (k ) ( k ) II. Cecha X populacji ma rozkład ormaly N(m, ), ie jest zae. Hipoteza zerowa H0( m m0 ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k H( m m0 ) k ; ( T k) ) H ( ) X m m m0 0 ( ; k ( T k) H ( S / m m0 ) ( ; k k ; ) ( T k) III. Cecha X populacji ma dowoly rozkład, próba jest licza > 0. Hipoteza zerowa H 0( m m0 ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k H ( ) m m0 X m k ; ) ) 3 Nr tes tu P 4 P 5 P 6 Nr testu (k 7 0 H( m m0 ) ( ; k (k ) S / 8 H ( ) m m0 ( ; k ; ) k ( k ) 9 60

161 Test do weryfikacji hipotezy o prawdopodobieństwie sukcesu Cecha X populacji ma rozkład zerojedykowy P ( X ) p, P( X 0) p, p (0;) Hipoteza zerowa H 0 ( p p0 ) Próba licza >00 H Nr testu (k 0 U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k p k ; ) ) H( p p0 ) W 0 H p0 ( p0 ) ( p p ) ( ; k 0 (k ) H W średia ( p p0 ) ( ; k k ; ) ( k ) częstość sukcesu k W 6

162 H Test do weryfikacji hipotez o odchyleiu stadardowym Cecha X populacji ma rozkład ormaly N(m, ). Hipoteza zerowa H 0 ( 0) H U Wyzaczaie liczb Zbiór kryt. K k i l ( ) 0 k ; ) P( Y k) 3 ( ) 0 S ( 0 ; k P( Y k) 4 ( ) 0 ( 0 ; k l ; P( Y l) / 5 H H ) 0 P ( Y k) / Uwaga: dla >30 moża stosować statystykę U o rozkładzie N(0,). S 0 ( ) Nr testu 6

163 Testy do porówywaia wartości oczekiwaych Badae są dwie cechy X i Y różych populacji. Zakładamy, że cechy te są zmieymi losowymi iezależymi. Z populacji, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową.. Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N ( m, ), N( m, ), przy czym odchyleia stadardowe i są zae. Hipoteza zerowa H 0 ( m m ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k Nr testu H( m m ) X Y k ; ) (k ) 6 H( m m ) ( ; k (k ) 7 H ( ) m m ( ; k k ; ) ( k ) 8 63

164 . Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N ( m, ), N( m, ), przy czym odchyleia stadardowe obu cech są sobie rówe i ie są zae. Hipoteza zerowa H 0 ( m m ) H U Zbiór kryt. Wyzaczaie liczby k K H ( m ) m X Y k ; ) S S H( m m ) ; k H ( m ) m Wielkość S p P( T ) k Nr testu 9 ( P( T k) ( ; k k ; ) 0 P( T k) S S azywamy wariacją połączoych populacji. H 3. Cechy X i Y mają rozkłady dowole o wartościach oczekiwaych m, m, przy czym próby są licze,, > 0. H 0 ( m m ) H ( m ) m U X Y Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k Nr testu k ; (k ) ) S S H( m m ) ( ; k (k ) 3 H ( m ) ( ; k k ; ) m ( k ) 4 64

165 Test do porówywaia prawdopodobieństw sukcesu. Badae są dwie cechy X i Y różych populacji o rozkładach zerojedykowych, P X ) p, P( X 0), ( p ( Y ) p, P( Y 0) p, P Z populacji, której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową. Obie próby są licze, >00. Hipoteza zerowa: H 0 ( p p ) H U Zbiór kryt. K Wyzaczaie liczby k Nr testu H( p p ) W W k ; ) (k ) 5 H ( ) p p ( ; k (k ) 6 H ( ) W( W) p p ( ; k k ; ) ( k ) 7 W, W średie częstości sukcesów w poszczególych próbach, W ( k /, W k /, k k ) /( ) W - średia częstość sukcesu w połączoych próbach, W W W 65

166 Test do weryfikacji hipotez o porówywaiu wariacji Cechy X i Y mają rozkłady ormale odpowiedio N ( m, ), N( m, ). Z populacji, w której badaa jest cecha X pobrao próbę elemetową, atomiast z drugiej populacji pobrao próbę elemetową. Tak dobieramy ozaczeia populacji aby Sˆ S ˆ Hipoteza zerowa H 0 ( ) H H( ) U ˆ Sˆ Zbiór kryt. K S k ; ) Wyzaczaie liczby k P ( F ; k) (F - rozkład Sedecora) Nr testu 8 66

167 Przykłady Przykład. Według daych produceta, określoy typ samochodu zużywał 0 l/00km. Po dokoaiu pewych usprawień w tym typie samochodu oczekuje się, że zużycie paliwa spadie. Aby to sprawdzić dokoao pomiaru zużycia paliwa w 5 losowo wybraych samochodach tego typu po moderizacji i otrzymao wyik x 9, 5 3 l/00km. Zakładając, że zużycie paliwa ma rozkład ormaly N(m, ) sprawdzić czy moderizacja istotie zmiejszyła zużycie paliwa. Przyjąć = 0,05. 67

168 Rozwiązaie. Zastosujemy test. H 0 ( m 0), H( m 0), = 0,05 zatem (k ) = 0,95 stąd k =,64 Zbiór krytyczy K = (-; -,64> Wartość statystyki 9,3 0 u 5,75 iterpretacja graficza: 0,05 -,75 --,64 0 Poieważ u K to hipotezę H 0 odrzucamy. Zatem zmiay kostrukcyje istotie zmiejszyły zużycie paliwa. 68

169 Obliczymy dla jakich wartości średiej z próby 5 - elemetowej decyzja byłaby taka sama: x 0 9, 5,64 x 9, 34 Zatem dla x 34 wartość U ależy do zbioru krytyczego. 69

170 Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. (,75) ˆ 0,96 stąd ˆ 0,04. Zatem dla < 0,04 podjęlibyśmy ią decyzję. Zauważmy, że odrzucając hipotezę 0 H arażamy się a popełieie błędu I rodzaju (prawdopodobieństwo jego popełieia wyosi 0,05). 70

171 Przykład. Dla sytuacji z poprzediego przykładu iech x 9,44 5. Rozpatrzmy hipotezy H 0 ( m 0), H( m 9), Zastosujemy test. 7

172 Zbiór krytyczy jak poprzedio K = (-; -,64> Wartość statystyki 9,44 0 u iterpretacja graficza: 5,4 0,05 -,64 -,4 0 Poieważ u K to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. Przyjmując hipotezę H 0 arażamy się a popełieie błędu II rodzaju. Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. (,4) ˆ 0,9 stąd ˆ 0,08. Zatem dla > 0,08 podjęlibyśmy ią decyzję. 7

173 Obliczymy prawdopodobieństwo popełieia błędu II rodzaju. X 0 P( U K m 9) P 5,64m P X 9,344m 9 9 X 9 9,3449 P 5 5 (0,86) 0, Zatem przyjmując hipotezę H 0 możemy zakwalifikować około 0% samochodów mających zużycie 9 l/00km jako samochody o zużyciu 0 l/00km. 73

174 Przykład Dwie brygady produkują detale. Z partii detali wyprodukowaych przez I brygadę wylosowao 000 szt. i wśród ich było 0 braków. Z partii detali wyprodukowaych przez II brygadę wylosowao 900 szt. i wśród ich było 30 braków. Na poziomie istotości = 0,0 sprawdzić hipotezę, że odsetek braków w I brygadzie jest iż iższy iż w II brygadzie. 74

175 Rozwiązaie. Zastosujemy test 6. H 0 ( p p p ), H( p ), = 0,0 Zbiór krytyczy K = ( ;,33> Obliczamy: w ; w 30/ 900 0/000 w 50 /900 Wartość statystyki u,8 75

176 iterpretacja graficza: 0,0 --,33 -,8 0 Poieważ u K to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. Ozacza to, że w graicach błędu statystyczego obie brygady mają te sam odsetek braków. 76

177 Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. (,8) ˆ 0,96485 stąd ˆ 0,035. Zatem dla > 0,035 podjęlibyśmy ią decyzję. 77

178 Przykład. Dokładość pracy obrabiarki sprawdza się wyzaczając odchyleie stadardowe średicy toczoego detalu, powio oo wyosić 0, 0. Zmierzoo średice (mm) losowo wybraych detali i otrzymao: 00,6; 99,6; 00,0; 00,; 00,3; 00,0; 99,9; 00,; 00,4; 00,6; 00,5. Zakładając, że średice detali mają rozkład ormaly, sprawdzić a podstawie powyższych daych, że obrabiarka ma pożądaą dokładość. Przyjąć poziom istotości 0,05. 78

179 Rozwiązaie. Zastosujemy test 5. H 0 ( 0,), H( 0,), = 0,05 Zbiór krytyczy K = <8,307; ) Obliczamy: x 00, s 0, 09 Wartość statystyki 0,09 u 0,04 iterpretacja graficza: 5 0,05 8,307 5 Poieważ u K to hipotezę H 0 odrzucamy. Zatem ależy sądzić, że obrabiarka ma gorszą dokładość iż pożądaa. Wyzaczymy krytyczy poziom istotości ˆ. Y 0 (5) ˆ 0,005 Zatem dla < 0,005 podjęlibyśmy ią decyzję. 79

180 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH Test zgodości Hipoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacji ma rozkład o dystrybuacie F). Hipoteza alteratywa H( ma rozkładu o dystrybuacie F). Cecha X populacji ie 80

181 Weryfikacja powyższych hipotez za pomocą tzw. testu przebiega astępująco:. Pobieramy liczą próbę ( >80). Prezetujemy ją w szeregu rozdzielczym klasowym w r klasach.. Obliczamy a podstawie próby estymatory ajwiększej wiarygodości iezaych parametrów. 3. Przyjmujemy, że cecha X ma rozkład o dystrybuacie F. 4. Dla każdego przedziału klasowego A ; ) i ai ai obliczamy prawdopodobieństwo p i P( X Ai ) P( ai X ai ) F( ai ) F( a i ) 8

182 5. Obliczamy u r i ( i p p i i ) r i ( i ˆ ˆ i i ) A i. gdzie i jest liczebością (empiryczą) klasy ˆ i jest liczebością teoretyczą klasy A i 6. Wyzaczamy zbiór krytyczy prawostroy K k ; ), gdzie k wyzaczamy z tablicy rozkładu dla r l stopiami swobody gdzie l liczba iezaych parametrów rozkładu X, i dla prawdopodobieństwa (rówemu poziomowi istotości). 7. Podejmujemy decyzję: odrzucamy hipotezę H 0, gdy przyjmujemy hipotezę H 0, gdy u K u K 8

183 Uwaga. Do obliczaia prawdopodobieństw p i, pierwsza i ostatia klasa szeregu rozdzielczego powiy mieć postać A ( ; a), a ;) A r r i do każdej z ich powio ależeć co ajmiej 5 elemetów próby. Do pozostałych klas powio ależeć co ajmiej 0 elemetów próby. Klas ie może być miej iż 4. 83

184 Przykład. Badao liczbę awarii systemu komputerowego (cecha X populacji). W ciągu 00 tygodi zarejestrowao astępujące ilości awarii: Liczba awarii Liczba tygodi Na poziomie istotości = 0,05 sprawdź czy liczba awarii ma rozkład Poissoa. hipotezy: H 0 ( H( i Cecha X populacji ma rozkład Poissoa) Cecha X populacji ie ma rozkładu Poissoa). i i i p i p i ( p ,3,3 0, , , ,5 5, 0, ,3 3 0, ,066 6,6 0,9 50, ,9 i p i ) 84