1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

Transkrypt

1 1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b = F b F a, F6. X = x 0 = lim F x F x 0 ; x x + 0 Rozkładu zmieej loowej dykretej X może być poday w potaci wzoru: albo w potaci tablicy: gdzie p i = 1; px i = X = x i = p i, x i x 1 x 2... x p i p 1 p 2... p, p i, jeśli X jet zmieą loową kokową x i <x F x = x ; ftdt, jeśli X jet zmieą loową ciągłą Właściwości zmieej loowej typu ciągłego: 1. F x = fx, 2. fxdx = 1, 1

2 3. c R X = c = 0, 4. a X < b = a < X b = a < X < b = a X b = F b F a, 5. a X b = b a fxdx; x i p i, jeśli X jet zmieą loową kokową EX = ; x fxdx, jeśli X jet zmieą loową ciągłą Dla zmieej loowej kokowej X mamy: x i EX 2 p i D 2 X = ; x 2 i p i EX 2 Dla zmieej loowej ciągłej X mamy: x EX 2 fxdx D 2 X = ; x 2 fxdx EX 2 DX = D 2 X; 2

3 2 Rozkłady zmieych loowych ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY: X = 1 = p, X = 0 = q = 1 p, gdzie 0 < p < 1, 0 dla x 0 F x = q dla 0 < x 1, 1 dla x > 1 EX = p, D 2 X = pq; ROZKŁAD BERNOULLIEGO: X = k = p k q k, gdzie q = 1 p oraz k = 0, 1,...,, k F x = p k q k, k<x k EX = p, D 2 X = pq; ROZKŁAD OISSONA: k, λ = X = k = λk k! e λ, gdzie k = 0, 1, 2,..., F x = λ λk e k<x k!, EX = λ, D 2 X = λ, λ = p; ROZKŁAD JEDNOSTAJNY: 1 dla a x b fx = b a, 0 dla pozotałych x 0 dla x a x a F x = dla a < x b, b a 1 dla x > b EX = a + b 2, D2 X = 1 12 b a2 ; 3

4 ROZKŁAD WYKŁADNICZY: 1 x fx = λ e λ dla x 0, 0 dla pozotałych x 1 e x λ dla x > 0 F x = 0 dla pozotałych x, EX = λ, D 2 X = λ 2 ; ROZKŁAD NORMALNY Nµ, σ: fx = 1 σ x µ 2 2π e 2σ 2 dla < x <, F x = 1 σ 2π x e t µ 2 2σ 2 dt, EX = µ, D 2 X = σ 2, Jeżeli zmiea loowa X ma rozkład Nµ, σ, to zmiea X µ σ N0, 1, ma rozkład ϕx = 1 2π e x2 2 dla x R, Φx = 1 2π x Φ x = 1 Φx. e t2 2 dt, 3 Grupowaie, prezetacja i aaliza daych 3.1 Szeregi tatytycze Szereg zczegółowy: x 1, x 2,..., x gdzie x 1 x 2... x. Szereg rozdzielczy puktowy: 4

5 Wariat cechy x i Liczba jedotek o i-tym wariacie cechy i x 1 1 x x k Razem Szereg rozdzielczy przedziałowy: Numer klay Klay Ilość wariatów cechy w daej klaie 1 x mi x mi + h 1 2 x mi + h x mi + 2h 2 3 x mi + 2h x mi + 3h k x max h x max k Razem k. 3.2 Charakterytyki liczbowe z próby Średia z próby: x = 1 x i zereg zczegółowy, x = 1 k i x i zereg rozdzielczy puktowy, x = 1 k i xi zereg rozdzielczy przedziałowy x i to środek i tej klay. Wariacja z próby: x 2 = 1 2 x i x 2 i = x 2 zereg zczegółowy, 2 = k x i x 2 i = x 2 i i x 2 zereg rozdzielczy puktowy, 5

6 2 = k x i x 2 i = 2 x i i x 2 zereg rozdzielczy przedziałowy. Odchyleie tadardowe z próby: = 2. Wpółczyik zmieości z próby: v = 100%. x 4 Etymacja przedziałowa 4.1 rzedziały ufości dla wartości średiej µ Model I. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ, przy czym µ - iezae, a σ - zae. Wówcza przedział ufości dla średiej µ populacji otrzymuje ię ze wzoru: x u 1 σ < µ < x + u 1 σ = 1, gdzie liczbę u 1 odczytujemy z tablic dytrybuaty tadardowego rozkładu 2 ormalego N0, 1 korzytając z Φu 1 = MODEL II. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ, gdzie µ i σ - iezae, mała próba. Wówcza przedział ufości dla średiej µ populacji otrzymuje ię ze wzoru: x t, ν lub z rówoważego wzoru: x t, ν < µ < x + t, ν = 1, 1 1 ŝ < µ < x + t, ν ŝ = 1, gdzie liczbę t, ν odczytujemy z tablic rozkładu t Studeta dla daego i dla ν = 1 topi wobody oraz ŝ = x i x MODEL III. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ bądź dowoly iy rozkład, przy czym µ i σ 2 ą iezae, duża próba. Wówcza przedział ufości dla średiej µ populacji otrzymuje ię ze wzoru: x u 1 < µ < x + u 1 = 1, 6

7 lub ze wzoru: x u 1 ŝ < µ < x + u 1 ŝ = 1. 5 arametrycze tety itotości 5.1 arametrycze tety itotości dla wartości średiej MODEL I. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ, przy czym σ jet zae. Hipoteza zerowa: H 0 : µ = µ 0, µ 0 to pewa określoa liczba. Wartość tatytyki tetowej: u ob = x µ 0 σ. Hipotezy alteratywe i odpowiedie obzary krytycze: H 1 : µ µ 0 Q =, u 1 2 ] [u 1 2, + ; H 1 : µ > µ 0 Q = [u 1, + ; H 1 : µ < µ 0 Q =, u 1 ]. MODEL II. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ, przy czym µ i σ ą iezae, mała próba. Hipoteza zerowa: H 0 : µ = µ 0. 1 lub tob = x µ 0 ŝ. Wartość tatytyki tetowej: t ob = x µ 0 Hipotezy alteratywe i odpowiedie obzary krytycze: H 1 : µ µ 0 Q =, t, ν ] [t, ν, + ; H 1 : µ > µ 0 Q = [t 2, ν, + ; H 1 : µ < µ 0 Q =, t 2, ν ]. MODEL III. opulacja geerala ma rozkład ormaly Nµ, σ bądź dowoly iy rozkład, przy czym µ i σ 2 ą iezae, duża próba. Hipoteza zerowa: H 0 : µ = µ 0. Wartość tatytyki tetowej: u ob = x µ 0. Hipotezy alteratywe i odpowiedie obzary krytycze: 7

8 H 1 : µ µ 0 Q =, u 1 2 ] [u 1 2, + ; H 1 : µ > µ 0 Q = [u 1, + ; H 1 : µ < µ 0 Q =, u 1 ]. 8