z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie składiki są iezależe, o Y o rozkładzie dwumiaowym i parametrach, q, gdzie q q i i o Z, której warukowy rozkład (przy daej wartości Q) jest rozkładem dwumiaowym z parametrami, Q, zaś zmiea Q ma rozkład -puktowy taki, że Pr( Q qi ), i,,..., Wariacje tych trzech zmieych porządkują ierówości, które przyjmują postać rówości jedyie w przypadku gdy wszystkie q i są idetycze. Wybierz poprawy porządek. (A) var X var X var Y var Z var Z var Y var Y var X var Z var Z var Y var X var Z var X var Y

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Rozważamy dwie zmiee losowe o rozkładach złożoych, różiące się założeiami o rozkładzie liczby składików i rozkładzie pojedyczego składika: PL Y YN, gdzie N ma rozkład Poissoa o wartości oczekiwaej, zaś każdy ze składików Y ma rozkład logarytmiczy o fukcji prawdopodobieństwa daej wzorem Y k LP Y k Pr c l( c) k dla k,,,... YN, gdzie N ma rozkład logarytmiczy o fukcji prawdopodobieństwa z parametrem c (jak wyżej), zaś każdy ze składików Y ma rozkład Poissoa o wartości oczekiwaej. Rozważamy jedyie dopuszczale wartości parametrów 0 oraz c 0,. Waruek koieczy i dostateczy, aby przy tych założeiach zachodziła ierówość: var( LP) var( PL) moża przedstawić w postaci: (A) l( c) c l( c) c l( c) c l( c) c l( c) c l( c) c c

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Liczba szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełiających zależość rekurecyją: N Pr Pr N k k k k0 Jeśli wiemy, że Pr k (A) , k,,,... N, to wartość oczekiwaa liczby szkód (N) wyosi:

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie 4. W poiższej tabeli zawarte są wybrae iformacje o rozkładzie wartości pojedyczej szkody Y: y 4 6 mi Y, y 6 Pr Y y 4 Z iformacji tych wyika, że 4 Y (F) 6 Y wyosi: 4

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Modelujemy przebiegający w czasie proces ściągaia ależości regresowych przez ubezpieczyciela. Niech T ozacza zmieą losową o rozkładzie: ciągłym a przedziale 0, z pewą, być może dodatią masą prawdopodobieństwa w pukcie, reprezetującą czas ściągięcia ależości regresowej (liczoy od mometu powstaia prawa do regresu). Niech f T, F T oraz h T ozaczają odpowiedio fukcję gęstości, dystrybuatę oraz fukcję hazardu zmieej T. Dystrybuacie oraz fukcji hazardu adajemy astępującą iterpretację: t FT t ft sds to wskaźik ściągalości do czasu t (oczywiście F T 0 0) 0 F T t PrT t ft t ht t F t lim to wskaźik ściągalości ostateczej, dla t 0 to atężeie procesu ściągaia (gęstość ściągaia T ależości, które do mometu t pozostają jeszcze ie ściągięte) Załóżmy, że atężeie procesu ściągaia dae jest fukcją hazardu określoą a półosi dodatiej astępująco: h t T ( t)( t). Wtedy wskaźik ściągalości ostateczej wyosi: (A) 4 4

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie 6. Proces pojawiaia się szkód startuje w momecie T 0 0. Niech T ozacza momet zajścia -tej szkody. Poieważ szkody umerujemy według kolejości zajścia, wobec tego zachodzi 0 T T. Wypłata odszkodowaia za -tą szkodę astępuje w momecie T D. Załóżmy, iż zmiee losowe T, T T, T T, oraz D, D, D, są wszystkie awzajem iezależe i mają idetyczy rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej rówej. Prawdopodobieństwo, iż dla pewego ustaloego wypłata odszkodowaia za szkodę -gą poprzedzi wypłatę odszkodowaia za szkodę -tą wyosi: (A)

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie 7. W klasyczym modelu procesu adwyżki Ut u ct S N t u jest adwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzoych do mometu t, N t jest procesem Poissoa z parametrem itesywości, S Y i i proces t jest sumą wypłat, N i pojedycze wypłaty Y Y,,... są iezależe., Y Niech A będzie zdarzeiem polegającym a tym, że do ruiy (stau ujemej adwyżki) doszło już przy pierwszej szkodzie. Niech B będzie zdarzeiem polegającym a tym, że do ruiy w ogóle w skończoym czasie doszło. Załóżmy, że: wypłaty Y i mają rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą parametr itesywości składki c wyosi c 0%, kapitał początkowy wyosi u Prawdopodobieństwo warukowe Pr A B wyosi:, l( /) (A) 4 7

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie 8. N Y, Y,,... to iezależe zmiee losowe, N ma rozkład Poissoa z wartością, Y oczekiwaą rówą 0, zaś Y, Y, Y,... mają idetyczy rozkład Pareto o dystrybuacie określoej a półosi dodatiej wzorem: F y y Niech M max Y, Y,..., Y N, przy czym jeśli N 0, to przyjmujemy M 0. Niech m 0. 9 ozacza taką liczbę, że PrM m Liczba m 0. 9 wyosi (z przybliżeiem do jedej dziesiątej): (A)

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie 9. Pewie podmiot posiada wyjściowy majątek o wartości w, i arażoy jest a stratę X. Strata X jest zmieą losową o złożoym rozkładzie Poissoa: X Y Y... Y N z oczekiwaą liczbą szkód rówą (N), oraz: z wartością pojedyczej szkody o rozkładzie wykładiczym i wartości oczekiwaej rówej jede. Ryek ubezpieczeiowy oferuje kotrakty z pokryciem adwyżki każdej szkody poad kwotę d, a więc pokrywa: X Y d) ( Y d)... ( Y ) d ( N d ( ) ( X d W zamia za składkę w wysokości: ), gdzie parametr ma wartość miejszą od 00%. Podmiot te postępuje racjoalie, a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwaej użyteczości, przy czym jego fukcja użyteczości jest postaci: u( x) exp( x). Maksimum oczekiwaej użyteczości podmiot te osiągie wybierając kotrakt z udziałem własym d w każdej szkodzie rówym: (A) l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) 9

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie 0. Rozważamy klasyczy model procesu adwyżki Ut u ct S N t u to adwyżka początkowa ct to suma składek zgromadzoych do mometu t, S Y i i proces liczący t to łącza wartość szkód zaszłych do mometu t,, gdzie: N oraz wartości poszczególych szkód Y, Y, Y,... są iezależe, przy czym: N t jest procesem Poissoa z parametrem itesywości, wartości poszczególych szkód Y, Y, Y,... mają te sam rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej rówej c ( ), 0 Wiadomo, że zmiea losowa: L : sup u U( t) t 0 daje się przedstawić jako zmiea o rozkładzie złożoym: L l l... l N, ( L 0 gdy N 0), gdzie składik l jest zmieą określoą w przypadku, gdy adwyżka spadie poiżej u, i rówy jest wtedy: l u U( t ), gdzie t jest tym mometem czasu, kiedy po raz pierwszy do takiego spadku doszło. Warukowa wartość oczekiwaa liczby takich spadków, pod warukiem że astąpiła ruia: ( N L u) daa jest wzorem: (A) u u u u u 0

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Egzami dla Aktuariuszy z marca 0 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja A B D 4 E C 6 E 7 B 8 E 9 C 0 A * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.