WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Transkrypt

1 WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

2 Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena charakterystyk populacji generalnej na podstawie danych częściowych = metody rachunku prawdopodobieństwa statystyka opisowa statystyka matematyczna

3 Definicja prawdopodobieństwa (klasyczna) Laplace'a (1812) Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. Jedna kostka do gry Pierre Simon de Laplace ( ) Prawdopodobieństwo wyrzucenia 6 oczek? P(6)=1/6

4 Ω Ω =6 Zdarzenia losowe A = {2, 4, 6} B = {1, 2}

5 A = {2, 4, 6}

6 Definicja prawdopodobieństwa częstościowa (statystyczna) R.von Mises a (1931) Zaproponował, żeby zdefiniować prawdopodobieństwo jako granicę ciągu częstości: R.von Mises ( ) gdzie kn(a) to liczba rezultatów sprzyjających zdarzeniu A po n próbach.

7 Definicja prawdopodobieństwa częstościowa (statystyczna) R.von Mises a (1931) np. rzut monetą W długiej serii doświadczeń obserwuje się pojawienie się zdarzenia A. Jeśli częstość zdarzenia A wyznaczoną jako iloraz kn(a) i n przy wzrastaniu długości serii zbliża się do pewnej liczby p oscylując wokół tej liczby i jeśli wahania częstości zdarzenia A przejawiają tendencję malejącą przy wzrastającym n, to liczba p nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia A.

8 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA Def., Zmienną losową jest zmienna, która przyjmuje różne wartości liczbowe, wyznaczone przez los. (A.D. Aczel ) Def. Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(ω) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu ω Ω jedną i tylko jedną liczbę X(ω)=x nazywamy zmienną losową. (J. Jóźwiak, J.Podgórski)

9 TYPY ZMIENNEJ LOSOWEJ X skokowe (dyskretne) czyli przyjmujące skończoną lub co najwyżej przeliczalną liczbę wartości ciągłe czyli: wartości rzeczywiste z pewnego przedziału

10 Rozkład zmiennej losowej skokowej = funkcja prawdopodobieństwa to uporządkowany zbiór wszystkich wartości zmiennej xi wraz z przyporządkowanymi im prawdopodobieństwami p, p, p...p , n Funkcja prawdopodobieństwa: p i = P(X = x i ), gdzie n i 1 p i gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wartości, lub i1 p i gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę wartości 1 1, (2)

11 Rozkład prawdopodobieństwa Rozkład dystrybuanty x i F(x) 1/8 4/8 7/8 1 Dystrybuanta zmiennej losowej X jest to funkcja F(x) określona na zbiorze liczb rzeczywistych F(x) = P(X x), czyli jest to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość nie większą od wartości x. Dla zmiennej losowej X skokowej, która przyjmuje wartości x1, x2,... z prawdopodobieństwami p1, p2,..., dystrybuanta ma postać: F x PX x i pi x x i x x i x

12 Własności dystrybuanty: F dla x, 0 x 1, lim 0 x F x oraz lim Fx 1, x F x jest funkcją niemalejącą (dla x1<x2 zachodzi x F ) F i przedziałami stałą, 1 x 2 F x jest funkcją prawostronnie ciągłą. P(a < X b) = F(b) F(a)

13 Rozkład prawdopodobieństwa P(0<X 2)=? Rozkład dystrybuanty x i F(x) 1/8 4/8 7/8 1 lub P(0<X 2)=P(X=1)+P(X=2)=3/8+3/8=6/8 P(a < X b) = F(b) F(a) P(0<X 2)=F(2) - F(0)=7/8-1/8=6/8

14 ROZKŁAD DWUPUNKTOWY Zmienna losowa np. rzut monetą: reszka=0; orzeł=1, Założenie: przeprowadzamy doświadczenie, którego rezultatem mogą być dwa wzajemnie wykluczające się zdarzenia losowe A oraz A prawdopodobieństwo realizacji zdarzenia A wynosi p, przy czym 0<p<1, prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi q=1-p, przyporządkowując zdarzeniu A liczbę 1 oraz zdarzeniu A liczbę 0, otrzymujemy zmienną losową X, której funkcja prawdopodobieństwa ma postać: Funkcja prawdopodobieństwa, np. P X 1 p, PX 1 p 0 ; 0 p 1

15 ROZKŁAD DWUMIANOWY Założenie Jacob Bernoulli ( ) zmienna losowa X jest liczbą sukcesów zaobserwowanych w eksperymencie przeprowadzonym zgodnie ze schematem Bernoulliego, Schemat Bernoulliego wykonujemy doświadczenie, którego rezultatem może być zdarzenie A (sukces) z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne (porażka) A z prawdopodobieństwem q=1-p, doświadczenie powtarzamy n-krotnie w sposób niezależny co oznacza, że prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje w pojedynczych próbach stałe i równe p, liczba sukcesów jaką zaobserwujemy w wyniku n-krotnego powtórzenia doświadczenia, może być równa k=0,1,2,...,n.

16 ROZKŁAD DWUMIANOWY Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy, jeśli przyjmuje wartości k= 0, 1, 2, z prawdopodobieństwami określonymi wzorem Liczbę doświadczeń n oraz prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy parametrami tego rozkładu

17 Rozkład zmiennej losowej ciągłej opisany jest przez funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych jako: f x lim x0 P x X x x x

18 ROZKŁAD NORMALNY- zmienna ciągła Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m oraz, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: x f x m e 2 2

19 f(x) f(x) Rozkład normalny zmiennej X ~ N(m, σ) rozkład Gaussa f x xm e 2 krzywa Gaussa 2 Własności Jest symetryczna względem prostej x=m Osiąga maksimum równe m x Jej ramiona mają punkty przegięcia dla x=m-σ i x=m+σ

20 Rozkład normalny Własności funkcja gęstości zmiennej losowe X~ N(m, σ) 2 xm f x e m1 m2

21 Rozkład normalny Reguła 3 sigm Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X o rozkładzie normalnym N(m, σ) przyjmie wartość różniącą się od średnie o:

22 Rozkład normalny Standaryzacja zmiennej losowej X~ N(m,σ)

23 Parametry zmiennej losowej Momenty zwykłe rzędu k (k=1, 2, ) zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną k-tej potęgi tej zmiennej, tzn.: - zmienna losowa skokowa - zmienna losowa ciągła

24 Parametry zmiennej losowej Średnia zmiennej losowej= wartość oczekiwana zmiennej losowej= nadzieja matematyczna= moment zwykły pierwszego rzędu Def. Wartością oczekiwanej zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie: E X i xf x i p x i dx dla zmiennej losowej skokowej dla zmiennej losowej ciąglej gdzie pi oznaczają wartości funkcję funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przyjmującej wartości xi (i=1,2,...), natomiast f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa.

25 Parametry zmiennej losowej Właściwości E(X) E(b) = b E(aX) = ae(x) E E(aX+b) = ae(x)+b Jeśli Y = X - E(X) to E(Y) = 0 E(X±Y) = E(X)±E(Y) E(XY) = E(X)*E(Y) jeśli X i Y są niezależne

26 Parametry zmiennej losowej Momenty centralny rzędu k (k=1, 2, ) zmiennej losowej X nazywamy wartość k oczekiwaną funkcji g(x)=[x-e(x)] tej zmiennej, tzn.: - zmienna losowa skokowa - zmienna losowa ciągła

27 Parametry zmiennej losowej Wariancja zmiennej losowej = moment centralny drugiego rzędu

28 Wartość oczekiwana i wariancja, 1 1 np X E X E X E n i i n i i p np X D X D X D i n i n i i ROZKŁAD DWUMIANOWY Parametry zmiennej losowej

29 Parametry zmiennej losowej Właściwości D²(X)=E[X-E(X)]² D²(b) = 0 D²(X+b) = D²(X) D²(aX) = a²d²(x) D²(aX+b) = a²d²(x) Jeśli to D²(Y) = 1 Jeśli c E(X) to D²(X) < E(X-c)² D²(X±Y) = D²(X) + D²(Y) jeśli X i Y są nieskorelowane