Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Transkrypt

1 Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy jedykę. Oblicz E ( Y = ). (A) (C) 6 8 (E) 0

2 Zadaie. Niech będą iezależymi zmieymi losowymi przy czym ma rozkład Pareto() a ( mi( ) max( mają jedakowy rozkład Pareto (). Oblicz P < < )). Rozkład Pareto ( λ θ ) jest rozkładem o gęstości f θ λ θ ( λ + x) 0 ( x) = θ + x > 0 x 0. (A) (C) (E) 5 5

3 Zadaie. Niech ( Y ) będzie dwuwymiarową zmieą losową o fukcji gęstości Niech f ( x y) = π 0 x > 0 i y > 0 i x + y w przeciwym przypadku. < Y Z = i V = + Y. Wtedy łączy rozkład zmieych Z V jest taki że (A) EZ = fukcja gęstości rozkładu brzegowego zmieej Z wyraża się wzorem g( z) = π ( + z ) dla z ( 0 + ) (C) mediaa rozkładu brzegowego zmieej Z jest rówa (E) zmiee Z i V są zależe fukcja gęstości rozkładu brzegowego zmieej V wyraża się wzorem g V ( v) = v dla v (0)

4 Zadaie. Niech m będą zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym N( µ σ ) każda i Y Y Y zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym N( µ σ ) każda. Wszystkie zmiee są iezależe. Hipotezę H : µ = µ przy alteratywie H : µ > µ weryfikujemy w astępujący sposób. Zliczamy liczbę S elemetów w próbce większych od wszystkich elemetów próbki Y Y Y. H 0 m Hipotezę odrzucamy S s gdzie s jest wartością krytyczą. Przypuśćmy że m=7 i =8. Podaj rozmiar testu s=. (A) (C) (E) 05 0

5 Zadaie 5. Niech Niech T =. i i= będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości f θ x ( x) = 0 tóre z poiższych stwierdzeń jest prawdziwe? (A) lim P{( T e ) > e } = lim P{ T e > e } = (C) lim P{ T < e } = lim P{ T e > e } = (E) lim P{ T > e } = x (0;) x (0;). 5

6 Zadaie 6. Ustawiamy w ciąg 6 elemetów typu a i 9 elemetów typu b. Wszystkie ciągi są jedakowo prawdopodobe. Serią azywamy ciąg elemetów jedego typu przed i za którym występuje elemet drugiego typu a przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii ( serie elemetów typu a i serie elemetów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo że w ciągu będzie 6 serii. (A) (C) (E)

7 Zadaie 7. Niech m + będą iezależymi zmieymi losowymi przy czym zmiee losowe i = m mają rozkład Weibulla o gęstości i θ θ x e x > 0 fθ ( x) = x 0 x 0 a i i = m + m + m + są zmieymi losowymi o rozkładzie Weibulla o gęstości θ θ x e x > 0 gθ ( x) = x 0 x 0 gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Jeśli m = = 5 to błąd średiokwadratowy estymatora ajwiększej wiarogodości wyzaczoego a podstawie próby jest rówy m+ (A) θ (C) θ θ θ 9 (E) θ 6 7

8 Zadaie 8. Niech będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto a ) a ( Y Y Y będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto ( gdzie a a > 0 m a ) są iezaymi parametrami. Wszystkie zmiee są iezależe. Na poziomie ufości a α budujemy przedział ufości [ dt ct] dla ilorazu parametrów a podstawie a estymatora ajwiększej wiarogodości T tego ilorazu w te sposób że a a α Pa ( ) ( ) a ct < = P dt > = a a. a a Jeśli α = 0 i m= i =5 to przedział ufości ma długość (A) 0T 77T (C) 606T 50T (E) T Uwaga: Rozkład Pareto ( λ θ ) jest rozkładem o gęstości f θ λ θ ( λ + x) 0 ( x) = θ + x > 0 x 0 8

9 Zadaie 9. Zmiee losowe wariację Z Z σ Z mają jedakową wartość oczekiwaą µ jedakową i współczyik korelacji Corr i ) = ρ dla i j. Zmiee losowe ( j są awzajem iezależe oraz iezależe od zmieych losowych i mają rozkłady postaci zmieej losowej Z i i. i= σ ( ) (A) + ( ρσ µ ) P ( Z i = 0) = P( Z i = ) =. Oblicz wariację µ σ + + ρ (C) µ + σ µ σ + + ρ σ ( ) (E) + ( ρσ + µ ) 9

10 Zadaie 0. Niech N Y Y będą iezależymi zmieymi losowymi. Zmiee i i = mają rozkłady wykładicze o wartości oczekiwaej zmiee losowe Y i i = mają rozkłady wykładicze o wartości oczekiwaej. Warukowy rozkład zmieej losowej N przy daym Λ = λ jest rozkładem Poissoa o wartości oczekiwaej λ. Rozkład brzegowy zmieej Λ jest rozkładem gamma o gęstości λ 6λe λ > 0 f ( λ) =. 0 λ 0 Niech S N N > = i N 0 = Yi i T i= i= 0 N = 0 0 N N > 0 = 0 Oblicz współczyik korelacji Corr( S T ). (A) 0 (C) (E)

11 Egzami dla Aktuariuszy z 7 styczia 005 r. Prawdopodobieństwo i statystyka Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko :... L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja A A B C 5 D 6 C 7 E 8 A 9 D 0 E * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia omisja Egzamiacyja.