STATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys matematyki wyższej. Część III", A.Plucińska, E.Pluciński, "Probabilistyka", W.Krysicki i ii, "Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza w zadaiach", cz. II. D. Bobrowski, Probabilistyka w zastosowaiach techiczych (WNT)

2 ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory zbioru, (dokładie σ ciało podzbiorów)), P prawdopodobieństwo (fukcja przyporządkowująca zdarzeiom szasę ich zajścia). P : S R

3 Zmieą losową X azywamy fukcję (borelowską czyli praktyczie każdą) przyporządkowującą zdarzeiom elemetarym liczby rzeczywiste. X : Ω R 3

4 Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F : R R określoą wzorem: F( x) P( X x) P ((, x)) X 4

5 Własości dystrybuaty: a) F jest fukcją iemalejącą, b) F jest fukcją lewostroie ciągłą, c) F( ) 0; F( ), d) dystrybuata zmieej losowej wyzacza jedozaczie jej rozkład, e) P( a X b) F( b) F( a); a b ozacza graicę prawostroą, (jeśli a jest puktem ciągłości dystrybuaty to P(X = a ) = 0). f) P( X a) F( a ) F( a); gdzie F( a ) 5

6 Zmiea losowa jest skokowa (dyskreta) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest skończoy lub przeliczaly. Rozkład zmieej losowej skokowej często określamy za pomocą fukcji prawdopodobieństwa: P( X x ) p (własość: ; k pk 0 k k k p ) Liczby p k azywamy skokami, a wartości x k puktami skokowymi. 6

7 Zmiea losowa X o dystrybuacie F jest ciągła jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R gdzie f jest fukcją spełiającą waruki: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i azywamy ją gęstością prawdopodobieństwa zmieej losowej X. 7

8 Własości zmieej losowej ciągłej: a) b) a P( X a) f ( x) dx F( a), P( a X P( a b) X b) P( a X b a f ( x) dx b) P( a X b) F( b) F( a) c) P( X a) 0, dla dowolego a R ; (brak puktów skokowych), d) F jest fukcją ciągłą i prawie wszędzie różiczkowalą F( x) f ( x) (rówość zachodzi dla puktów ciągłości gęstości). Wyzaczając gęstość przez różiczkowaie dystrybuaty, w puktach w których F ie jest różiczkowala moża przyjąć, że gęstość jest rówa zero. 8

9 Własości rozkładu zmieej losowej często charakteryzujemy jej parametrami. 9

10 Jedym z podstawowych parametrów jest wartość oczekiwaa. Wartość oczekiwaa. Ozaczeie EX lub m. Dla zmieej losowej skokowej EX i x i p i (jeśli ewetualy szereg jest zbieży bezwzględie, takie szeregi są "odpore" p. a zmiaę kolejości wyrazów). Dla zmieej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewetuala całka iewłaściwa jest zbieża bezwzględie). 0

11 Przykład Dla zmieej losowej o fukcji prawdopodobieństwa x k - 3 p k 0, 0,6 0, EX 0, 0,6 30,,6.

12 Przykład Dla zmieej losowej o gęstości f ( x) x x 0, 0 x 0, 3 x EX x xdx x dx

13 Własości wartości oczekiwaej a) Ec = c; c stała, b) E(aX) = ae(x), c) E(X + Y) = EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y iezależe, to E(XY) = EXEY., 3

14 Miarą rozrzutu wartości zmieej losowej jest wariacja. Wariacja. Ozaczeie D X lub. D X = E(X EX) Dla zmieej losowej skokowej D X ( xi EX ) pi Dla zmieej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx 4

15 Własości wariacji a) D c = 0; c stała, b) D (ax) = a D (X), c) D (X + b) = D X, b stała, d) X, Y iezależe, to D (X Y) = D X + D Y e) D X = E(X ) (EX). 5

16 Uzasadieie e) D X = E(X EX) = E(X XEX + (EX) ) = EX EXEX + (EX) = = E(X ) (EX). 6

17 Jeśli rozrzut wartości zmieej losowej chcemy (p. z powodu iterpretacji w zastosowaiach) mierzyć w tych samych jedostkach co X to stosujemy odchyleie stadardowe. 7

18 Odchyleie stadardowe. Ozaczeie DX lub. DX D X 8

19 Rozkłady skokowe Rozkład jedopuktowy Określamy: P(X = c) = gdzie c ustaloa liczba. 9

20 EX = c, D X = 0 (tylko te rozkład ma zerową wariację!!!) 0

21 Rozkład dwupuktowy (zerojedykowy) Niech p ( 0, ) będzie ustaloą liczbą. Określamy: P(X = 0) = q, P(X = ) = p ; gdzie q = p. Umowa: 0 - porażka - sukces

22 EX = p, D X = pq

23 Rozkład dwumiaowy Dla daych p ( 0, ), N określamy fukcję prawdopodobieństwa P( X k) k p k q k gdzie q = p k = 0,,,...,. (wzór Beroulliego) 3

24 Jakub Beroulli ( ) - szwajcarski matematyk i fizyk. 4

25 Jeśli przyjmiemy, że ozacza liczbę iezależych doświadczeń z których każde kończy się jedym z dwóch wyików: sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeiu) lub porażką i zmiea losowa X ozacza liczbę sukcesów to powyższy wzór wyzacza prawdopodobieństwo uzyskaia dokładie k sukcesów w doświadczeiach (próbach). 5

26 Sprawdzeie k0 P( X k) k0 p k k q k p q 6

27 EX = p, D X = pq 7

28 8 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaą rozkładu dwumiaowego. p q p p q p k k p q p k k k q p k k EX k k k k k k k k k 0 ) ( )! )!( ( )! ( )!!(!

29 Rozkład geometryczy X - liczba prób Beroulliego poprzedzających pierwszy sukces q = - p k = 0,,,... P( X k) k pq 9

30 Sprawdzeie k 0 P( X k) k0 pq k p q 30

31 EX = q/p; D X = q/p 3

32 Rozkład Poissoa Dla > 0 określamy fukcję prawdopodobieństwa k P( X k) k! e k = 0,,,... 3

33 Siméo Deis Poisso (78 840), fracuski mechaik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami ozaczoymi, rówaiami różicowymi i różiczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 33

34 Sprawdzeie k0 e P( X k) k0 k k! e k0 e k e k! 34

35 EX = D X = 35

36 36 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaą rozkładu Poissoa. e e k e e k k EX k k k k 0 )! (!

37 Rozkład Poissoa (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych (praktyczie 30) i małych p (praktyczie p 0,) przybliżać rozkład dwumiaowy (przybliżeie Poissoa) p k k q k k e k! gdzie p 37

38 Rozkłady ciągłe Rozkład jedostajy Rozkład którego gęstość jest stała w pewym przedziale azywamy jedostajym. Gęstość rozkładu jedostajego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 38

39 Poieważ gęstość ta ma oś symetrii w pukcie x = (a + b)/ to EX = (a+b)/ 39

40 Pokażemy, że DX = (b a)/ 40

41 4 Przykład Najpierw obliczymy EX b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a Zatem 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D

42 Rozkład wykładiczy Rozkład te występuje często w zagadieiach rozkładu czasu między zgłoszeiami (awariami) lub czasu oczekiwaia a obsługę w systemach kolejkowych. Gęstość rozkładu wykładiczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x 0 x 0 4

43 dystrybuatą tego rozkładu jest fukcja ax e x 0 F( x) 0 x 0 (uzasadieie: F'(x) = f(x)) 43

44 Przykład Obliczymy EX EX 0 Uwaga. xae ax ax ax dx xe e a Podobie moża udowodić, że 0 a D X a 44

45 45 Własość. ) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozkład Poissoa o parametrze T, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłączych przedziałach czasu są iezależe to czas X między kolejymi zgłoszeiami ma rozkład wykładiczy o parametrze a = /. ) Dla dowolych t, T > 0 mamy T X P t X T t X P (własość braku pamięci) T X P e e e t X P T t X P t X P t X T t X P t X T t X P Ta ta a T t ) ( Jest to jedyy rozkład ciągły o tej własości.

46 Rozkład ormaly (Gaussa) Dla m R, ( 0, ) Określamy gęstość rozkładu f ( x) e ( xm) x R 46

47 Carl Friedrich Gauss ( ) iemiecki matematyk i fizyk. Jego badaia związae z teorią błędów doprowadziły do odkrycia rozkładu ormalego zmieej losowej (azyway także rozkładem Gaussa), który jest ajważiejszym rozkładem w teorii prawdopodobieństwa. 47

48 48

49 Uwaga Jeśli X ma rozkład N(m, ) to zmiea losowa Y = (X m)/ ma rozkład N(0, ) (takie przekształceie azywamy stadaryzacją). 49

50 Wartości dystrybuaty dla argumetów ujemych wyzaczamy a podstawie zależości ( x) = (x) 50

51 Przykład Dochód miesięczy (zł) w pewej populacji osób ma rozkład ormaly N(600; 300). Jaki procet osób w tej populacji ma dochód miesięczy poiżej 000 zł? X wysokość miesięczego dochodu P( X 000) P X P Y ( ) () 0,977 0,08,8% 5

52 Przykład Czas wykoaia pewego detalu (mi.) jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N(m; ). Wiadomo, że 80% robotików wykouje te detal dłużej iż 0 miut a 60% robotików dłużej iż miut. a) wyzacz parametry rozkładu czasu wykoaia detalu m i, b) jaki odsetek robotików wykouje te detal w czasie krótszym iż 6 miut? X czas wykoaia detalu. 5

53 P ( X 0) 0,8 stąd m 0 0,84 m 0, P ( X ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy układ rówań otrzymamy m =,85; = 3,39. P( X 6) P X,85 3,39 6,85 3,39 (,0) (,0) 0,07,7% P Y,0 53

54 Prawo trzech sigm Jeśli X ma rozkład N(m, ) to P( m X m ) 0,683 P( m X m ) 0,955, P ( m 3 X m 3 ) 0,997 Ostatia rówość świadczy o tym, że chociaż rozkład ormaly ma gęstość różą od zera a całej prostej to praktyczie iemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale ( m 3, m 3 ) własość tą azywamy prawem trzech sigm., m 38 m + 38 m 54

55 Iterpretacja graficza parametrów rozkładu N(m, ) m m 55

56 Trzy rozkłady ciągłe, które mają duże zaczeie w statystyce matematyczej: Rozkład chi kwadrat, Rozkład Studeta, Rozkład F Sedecora Rozkłady te są stablicowae. 56

57 Rozkład chi kwadrat (χ ) Y liczba stopi swobody Y X... X X,..., X - iezależe, o rozkładzie N(0, ) EX = ; DX = 57

58 Karl Pearso ( ) agielski matematyk, prekursor statystyki matematyczej 58

59 59 Gęstość rozkładu Y ) ( y y e y y f y Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (

60 mediaa domiata m e = x 0,5-0,67 d = -, 60

61 Odczyt z tablicy dla rozkładu chi kwadrat. (podobie iterpretujemy graficzie odczyt z tablicy F Sedecora.) P( Y k) Uwaga. ) Dla =, wykres gęstości rozkładu chi kwadrat jest iy (tylko część malejąca wykresu) ) dla > 30 stosujemy przybliżeie rozkładem ormalym. ~ N( ;) Y 6

62 Rozkład Studeta T liczba stopi swobody X, Y - iezależe X o rozkładzie N(0, ); Y o rozkładzie chi kwadrat z stopiami swobody X Y EX = 0 ; dla > DX = /(-) dla > 6

63 63 Gęstość rozkładu T R t t t f ` ) ( Uwaga. - fukcja Eulera, 0 ) ( dx e x x p. () = ( - )!; ) / ( ; )!! ( ) (

64 William Gosset ( ), statystyk agielski. Publikował pod pseudoimem Studet (stąd azwa wprowadzoego przez iego - w roku rozkładu prawdopodobieństwa: rozkład Studeta). 64

65 Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozkładu Studeta. P( T k) Uwaga. T k k N( 0, ) 65

66 Rozkład F Sedecora ; N stopie swobody Y Y ; F, - iezależe o rozkł. chi kwadrat Y Y ; 66

67 EX = DX = 4 ( ) dla > dla > 4 67

68 68 gęstość ) ( x x x x x f W tablicy ) ( F ; k P

69 69 TABLICE Tablica I. Rozkład Poissoa. P X k k e k ( )! \ k , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0, , , , , , , , , , , , \ k , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0, , , , , , , , , , , , ,000

70 Tablica II. Dystrybuata (x) rozkładu ormalego N(0, ) (-x) = - (x) x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 x 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0, 0,5793 0,583 0,586 0,590 0,5949 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0, 0,3 0,679 0,67 0,65 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,3 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,684 0,6879 0,4 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,5 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,7 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 0,9,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9047,,3 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,3,4 0,994 0,9073 0,90 0,9354 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0, ,9389,4,5 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,6,7 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,7,8 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,8,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,9,0 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869,0, 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574,, 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,,3 0,9898 0, , , , , ,9 06 0,9 06 0, ,9 576,3,4 0,9 80 0,9 04 0,9 40 0,9 45 0, , , , , ,9 363,4 70

71 x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x,5 0, , ,9 43 0, , , , , , ,9 50,5,6 0, , , , , , , , , ,9 647,6,7 0, , , , , , ,9 70 0, ,9 78 0,9 7365,7,8 0, , , , , , , , ,9 80 0,9 8074,8,9 0, , , , , ,9 84 0, ,9 85 0, ,9 8605,9 3,0 0, , , , , , , , , , ,0 3, 0, , , , , , ,9 3 0, , , , 3, 0, , , , , , , , , , , 3,3 0, , , , , , , , , , ,3 3,4 0, , , , , , , , , , ,4 3,5 0, , , , , , , , , , ,5 3,6 0, , , , , , , , , , ,6 3,7 0, , , , , , , , , , ,7 3,8 0, , , , , , , , , , ,8 3,9 0, , , , , , , , , , ,9 4,0 0, , , , , , , , , , ,0 4, 0, , , , , , , , , , , 4, 0, , , , , , , , , , , 4,3 0, , , , , , , , , , ,3 4,4 0, , , , , , , , , , ,4 4,5 0, , , , , , , , , , ,5 4,6 0, , , , , , , , , , ,6 4,7 0, , , , , , , , , , ,7 4,8 0, , , , , , , , , , ,8 4,9 0, , , , , , , , , , ,9 Wartości k gdy (k) =. 0,9 0,9 0,9 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 k,8,34,405,476,555,645,75,88,960,054,70,36,576 0,6 0,7 0,8 0,999 0,9999 0, , k 0,53 0,54 0,84 k 3,090 3,79 4,65 4,753 7

72 9 Tablica III. Tablica rozkładu chi kwadrat Tablica podaje wartości x takie, że P Y x ( ), - ilość stopi swobody 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0, ,000 0,00 0,5 0,97 0,554 0,87,39,646,088,558 3,053 3,57 4,07 4,660 5,9 5,8 6,408 7,05 7,633 8,60 8,897 9,54 0,96 0,856,54,98,879 3,565 4,56 4,953 0,0006 0,0404 0,85 0,49 0,75,34,564,03,53 3,059 3,609 4,78 4,765 5,368 5,985 6,64 7,55 7,906 8,567 9,37 9,95 0,600,93,99,697 3,409 4,5 4,847 5,574 6,306 0,004 0,03 0,35 0,7,45,635,67,733 3,35 3,940 4,575 5,6 5,89 6,57 7,6 7,96 8,67 9,390 0,7 0,85,59,338 3,09 3,848 4,6 5,379 6,5 6,98 7,708 8,493 0,06 0, 0,584,064,60,04,833 3,490 4,68 4,865 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,3 0,085 0,865,65,443 3,40 4,04 4,848 5,659 6,473 7,9 8,4 8,939 0,599 3,364 0,064 0,446,005,649,343 3,070 3,8 4,594 5,380 6,79 6,989 7,807 8,634 9,467 0,307,5,00,857 3,76 4,587 5,445 6,34 7,87 8,06 8,940 9,80 0,703,588,475 3,364 0,48 0,73,44,95 3,000 3,88 4,67 5,57 6,393 7,67 8,48 9,034 9,96 0,8,7,64 3,53 4,440 5,35 6,66 7,8 8,0 9,0 9,943 0,867,79,79 3,647 4,577 5,508 0,455,386,366 3,357 4,35 5,348 6,346 7,344 8,343 9,34 0,34,340,340 3,339 4,339 5,338 6,338 7,338 8,338 9,337 0,337,337,337 3,337 4,337 5,336 6,336 7,336 8,336 9,336,074,408 3,665 4,878 6,064 7,3 8,383 9,54 0,656,78,899 4,0 5,9 6,6 7,3 8,48 9,5 0,60,689,775 3,858 4,939 6,08 7,096 8,7 9,46 30,39 3,39 3,46 33,530,64 3,665 4,64 5,989 7,89 8,558 9,803,030,4 3,44 4,63 5,8 6,985 8,5 9,3 0,465,65,760 3,900 5,038 6,7 7,30 8,49 9,553 30,675 3,795 3,9 34,07 35,39 36,50,706 4,605 6,5 7,779 9,36 0,645,07 3,36 4,684 5,987 7,75 8,549 9,8,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,4 9,65 30,83 3,007 33,96 34,38 35,563 36,74 37,96 39,087 40,56 3,84 5,99 7,85 9,488,070,59 4,067 5,507 6,99 8,307 9,675,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,44 3,40 3,67 33,94 35,7 36,45 37,65 38,885 40,3 4,337 4,557 43,773 5,4 7,84 9,837,668 3,388 5,033 6,6 8,68 9,679,6,68 4,054 5,47 6,873 8,59 9,633 30,995 3,346 33,687 35,00 36,443 37,659 38,968 40,70 4,566 4,856 44,40 45,49 46,693 47,96 6,635 9,0,345 3,77 5,086 6,8 8,475 0,090,666 3,09 4,75 6,7 7,688 9,4 30,578 3,000 33,409 34,805 36,9 37,566 38,93 40,89 4,638 4,980 44,34 45,64 46,963 48,78 49,588 50,89 0,87 3,85 6,68 8,465 0,57,457 4,3 6,5 7,877 9,588 3,64 3,909 34,58 36,3 37,697 39,5 40,790 4,3 43,80 45,35 46,797 48,68 49,78 5,79 5,60 54,05 55,476 56,893 58,30 59,

73 0 Tablica IV. Tablica rozkładu Studeta Tablica podaje wartości x takie, że P T x ( ), - ilość stopi swobody 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0, ,58 0,4 0,37 0,34 0,3 0,3 0,30 0,30 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,6 0,35 0,89 0,77 0,7 0,67 0,65 0,63 0,6 0,6 0,60 0,60 0,59 0,59 0,58 0,58 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,55 0,54 0,54 0,53 0,50 0,445 0,44 0,44 0,408 0,404 0,40 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,77 0,67 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,54 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,530 0,530 0,530 0,59 0,57 0,56 0,54,376,06 0,978 0,94 0,90 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,86 0,86 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,85 0,848 0,845 0,84,963,386,50,90,56,34,9,08,00,093,088,083,079,076,074,07,069,067,066,064,063,06,060,059,058,058,057,056,055,055,050,046,04,036 3,078,886,638,533,476,440,45,397,383,37,363,356,350,345,34,337,333,330,38,35,33,3,39,38,36,35,34,33,3,30,303,96,89,8 6,34,90,353,3,05,943,895,860,833,8,796,78,77,76,753,746,740,734,79,75,7,77,74,7,708,706,703,70,699,697,684,67,658,645,706 4,303 3,8,776,57,447,365,306,6,8,0,79,60,45,3,0,0,0,093,086,080,074,069,064,060,056,05,048,045,04,0,000,980,960 3,8 6,965 4,54 3,747 3,365 3,43,998,896,8,764,78,68,650,64,60,583,567,55,539,58,58,508,500,49,485,479,473,467,46,457,43,390,358,36 63,657 9,95 5,84 4,604 4,03 3,707 3,499 3,355 3,50 3,69 3,06 3,055 3,0,977,947,9,898,878,86,845,83,89,807,797,787,779,77,763,756,750,704,660,67, ,69 3,598,94 8,60 6,859 5,959 5,405 5,04 4,78 4,587 4,437 4,38 4, 4,40 4,073 4,05 3,965 3,9 3,883 3,850 3,89 3,79 3,767 3,745 3, ,690 3,674 3,659 3,646 3,55 3,460 3,373 3,

74 Tablica V. Tablica rozkładu F - Sedecora P F ; k) ( Tablica dla = 0,05: ,5 9,0 9, 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,79 8,66 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,96 5,8 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,56 4,64 4,43 4,4 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,06 3,87 3,77 3,74 3,7 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,44 3,34 3,3 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,5 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,4,94,83,79,76,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,98,77,66,6,59,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,85,65,53,49,46,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,75,54,43,38,35,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,67,46,34,30,6, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,60,39,7,,9,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,54,33,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,49,8,5,,07,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,45,3,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,4,9,06,0,98,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,38,6,03,98,94,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,35,,99,95,9,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,0,96,9,88,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,07,94,89,85,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,05,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,5,03,89,84,80,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,0,87,8,78,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,,99,85,80,76,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,0,97,84,79,74,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,9,96,8,77,73,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,8,94,8,75,7, ,7 3,3,9,69,53,4,33,7,6,93,79,74,70,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,08,84,69,64,59,5 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,03,78,63,58,5, ,94 3,09,70,46,3,9,0,03,93,68,5,45,39,8 00 3,89 3,04,69,4,6,4,06,98,88,6,46,39,3,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,83,57,39,3,4,00

75 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ N-WYMIAROWEJ. CIĄGI LOSOWE,S, P- ustaloa przestrzeń probabilistycza. X = (X, X,..., X ) - zmiea losowa - wymiarowa (wektor losowy, ciąg losowy). X : R (fukcja borelowska) P : X R [0, ] - rozkład zmieej losowej X.

76 Dystrybuata F ( x,..., x) P X x,..., X X azywamy zmieą losową skokową jeśli jej zbiór wartości jest skończoy lub przeliczaly. x 3

77 X azywamy zmieą losową ciągłą jeśli jej dystrybuata da się przedstawić w postaci F x x ( x,..., x ) f ( u,..., u ) du... du dla pewej ieujemej fukcji f zwaej gęstością. 4

78 Uwaga..W puktach ciągłości fukcji f zachodzi: ( ) F( x x,... x..., x ) f ( x,..., x.dla A ( R ) mamy P X ( A)... f ( x,..., x ) dx... dx A ). 5

79 Rozkłady warukowe. Jeśli P,..., k ( X x j,..., X k xkj ) 0 to rozkład zmieej losowej skokowej ( - k) wymiarowej określoej wzorem: P ( X k x k, j,..., X x j X x j,..., X k x kj ) P P ( X,..., k ( X x j x, j,..., X..., X x k j x ) kj ) azywamy rozkładem warukowym zmieej losowej X, k..., X pod warukiem, że X x,..., X x j k kj. Jeśli gęstość f,..., k 0 to rozkład zmieej losowej ciągłej ( - k) wymiarowej określoej wzorem: f ( x k,..., x x,..., x k ) f ( x f ( x,,..., x..., x azywamy rozkładem warukowym zmieej losowej X k..., X pod warukiem, że X, x,..., X k x k. k ) ) 6

80 Niezależość zmieych losowych. Zmiee losowe X, X,..., X są iezależe jeśli F( x,..., x) F ( x ) F ( x)... F ( x) dla dowolych x, x,..., x R. gdzie F i - dystrybuaty rozkładów brzegowych jedowymiarowych. Dla zmieych losowych skokowych odpowiedi waruek ma postać: P( X x j,..., X xj) P ( X x )... P ( X j j dla dowolych x j,..., xj R Dla zmieych losowych ciągłych odpowiedi waruek ma postać: f ( x,..., x) f( x ) f( x)... f ( x dla dowolych x, x,..., x R. ) x ) 7

81 Parametry (mogą ie istieć ) Wartość oczekiwaa E ( X ) EX, EX,..., EX. 8

82 Wariacja ( X ) D X, D X,...,D X D. 9

83 Momet (zwyczajy) rzędu l + l l l l m l E X X... X l... l, l 0

84 Momet cetraly rzędu l + l l l l l X EX X EX E... l... l,

85 Macierz kowariacji K = [k ij ], gdzie k ij E cov( X i, X j E X i EX i X j EX j X X EX EX ) i j i j Uwaga k ii = D X i, jest wariacją i - tej składowej.

86 Macierz K jest kwadratowa, symetrycza i słabo dodatio określoa ( w szczególości ma wyzaczik ieujemy). 3

87 Macierz korelacji ij cov( X, X ) DX i i DX Uwaga ii =. j j R = [ ij ], gdzie 4

88 5 Rozkład ormaly - wymiarowy. K - macierz kowariacyja, iech detk 0. Zmiea losowa - wymiarowa ma rozkład ormaly - wymiarowy gdy gęstość tej zmieej losowej wyraża się wzorem: ) ( ) ( exp ) )( ( exp ),...,, ( ) ( /, / m x L m x L m x m x l L x x x f x f T k j k k j j jk gdzie ) ( i i X E m dla i =,,..., L = [l jk ] j, k =,,..., jest macierzą odwrotą do K. Dla = waruek K 0 jest rówoważy warukowi.

89 6 Poieważ macierz K ma wtedy postać K to ) ( L Zatem gęstość rozkładu ormalego - wymiarowego N(m, m,,, ) moża zapisać astępująco: exp ), ( m y m y m x m x y x f Powyższa fukcja gęstości ma stałą wartość f(x, y) = h a elipsie: cost m y m y m x m x o środku w pukcie (m, m ). gdzie l h. Dla 0 osie główe mają rówaia:

90 7 4 m x m y Dla = 0 osie rozpatrywaej elipsy są rówoległe do osi układu współrzędych. Zauważmy, że gdy to jeda oś się wydłuża, a druga skraca, zależość między zmieymi staje się ściśle liiowa. Osie powyższej elipsy tworzą z osią OX kąty i + / gdzie tg

91 Fukcja charakterystycza: gdy = to ( t) exp im T t t T Kt ( t, t) exp i t t m t m t t t Twierdzeie. Dowoly rozkład brzegowy ormalego rozkładu -wymiarowego jest rozkładem ormalym. 8

92 Twierdzeie. Jeśli składowe ormalego rozkładu -wymiarowego są parami ieskorelowae to są iezależe. 9

93 Zbieżość ciągów losowych Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X z prawdopodobieństwem jeśli P : lim X ( ) X ( ) 30

94 Średiokwadratowa zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest średiokwadratowo zbieży do zmieej losowej X jeśli lim E X X 0 Rozpatrując te rodzaj zbieżości zakładamy, że dla występujących tu zmieych losowych (X ), X istieje skończoy momet rzędu. Niekiedy stosuje się zapis l.i.m. (skrót od limit i mea ). X X 3

95 Stochastycza zbieżość ciągu zmieych losowych Ciąg zmieych losowych (X ) jest stochastyczie (wg prawdopodobieństwa) zbieży do zmieej losowej X jeśli X X lim P 0 lub rówoważie X X 0 lim P 0 3

96 Zbieżość ciągu zmieych losowych wg dystrybuat (wg rozkładu) Ciąg zmieych losowych (X ) jest zbieży do zmieej losowej X wg dystrybuat jeśli ciąg ich dystrybuat F jest zbieży do dystrybuaty F w każdym pukcie jej ciągłości (F jest dystrybuatą zmieej losowej X). 33

97 ZBIEŻNOŚĆ Z PRAWDOPODOBIEŃSTWEM ZBIEŻNOŚĆ ŚREDNIOKWADRATOWA ZBIEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA zbieżość do stałej (tz. gdy graica ma rozkład jedopuktowy) ZBIEŻNOŚĆ WG DYSTRYBUANT 34

98 Przykład. Rozpatrzmy ciąg zmieych losowych skokowych określoych a przedziale [0, ) w astępujący sposób k k gdy ; X k ( ) k k 0 gdy [0, ) ; P( X k ) ; P( X k 0) Ciąg X 0, X 0, X, X 03, X 3, X 3,... zbieży stochastyczie do zera bo 0 lim P X lim 0 jest Natomiast ciąg te ie jest zbieży w żadym pukcie przedziale [0, ) bowiem dla każdego ustaloego puktu otrzymujemy rozbieży ciąg zer i jedyek (zera i jedyki występują a dowolie dalekich miejscach). 35

99 Przykład. Ciąg zmieych losowych X ciągłych o rozkładach jedostajych a przedziałach (0, /) jest zbieży do rozkładu jedopuktowego X ( P ( X 0) ) wg dystrybuat. 36

100 Cetrale twierdzeie graicze Lideberga Levy'ego Jeśli iezależe zmiee losowe X i (i =,,..., ) mają taki sam rozkład oraz istieje E(X ) = m i D (X ) = > 0 to ciąg dystrybuat (F ) stadaryzowaych średich arytmetyczych X (lub stadaryzowaych sum i Y X i ) X / m i X m jest zbieży do dystrybuaty rozkładu N(0, ). 37

101 Wiosek Dla dużych (w praktyce 30) Pa i X i m b ( b) ( a) 38

102 W przypadku szczególym gdy X i (i =,,..., ) maja rozkład zerojedykowy to powyższe twierdzeie azywamy twierdzeiem Moivre'a-Laplace'a (zmiee losowe dwumiaowy). Y X i maja rozkład i 39

103 Wiosek z twierdzeia Moivre'a-Laplace'a: Y p P i a b ( b) ( a) pq Uwaga. Powyższe twierdzeia wskazują a ważą rolę rozkładu ormalego. 40

104 Przykład Wadliwość partii żarówek wyosi 0,0. Z tej partii żarówek wylosowao 65 żarówek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowaych żarówek będzie a) miej iż 0 wadliwych, b) ajwyżej 0 wadliwych. 4

105 Rozwiązaie. Y liczba wadliwych żarówek wśród wylosowaych, Ad a) P( Y i 0) P Y i 65 0,0 65 0,0 0, ,0 65 0,0 0,99 (,5) 0,

106 43 Ad b) 0,9793 (,9) 0,99 0,0 65 0,0 65 0,99 0,0 65 0,0 65 ) ( 0) ( 0) ( 0) ( i i i i i Y P Y P Y P Y P Y P

107 Prawo wielkich liczb Chiczya (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o takim samym rozkładzie oraz iech istieje E(X i ) = m. Y Wtedy ciąg X i jest zbieży i stochastyczie do m. 44

108 Wiosek Dla dużych jeśli istieje D (X ) = > 0 to 0 Y m P 45

109 Przypadek szczególy prawo wielkich liczb Beroulliego: (X i ) ciąg iezależych zmieych losowych o rozkładzie dwumiaowym wtedy ciąg jest stochastyczie zbieży do p. X 46

110 Wiosek Dla dużych : 0 P X p pq 47

111 Przykład Wadliwość partii żarówek wyosi 0,. Z tej partii żarówek losujemy żarówek. Ile żarówek ależy wylosować aby prawdopodobieństwo, że średia liczba wadliwych żarówek różiła się co do wartości bezwzględej od wadliwości partii o miej iż 0,05 było co ajmiej rówe 0,95. 48

112 Rozwiązaie Y liczba wadliwych żarówek wśród wylosowaych Y 0,05 0, 0,05 P 0, 0,9 stąd oraz 0,05 0, 0,9 0,05,96 0, 0,9 0,975 0,95 zatem 3, 5 i >

113 Oceę odchyleia wartości zmieej losowej od jej wartości oczekiwaej daje ierówość Czebyszewa: X zmiea losowa oraz istieje E(X) = m i D (X) = > 0 wtedy P X m 0 50

114 Z ierówością Czebyszewa związae są ie ierówości p. ) ierówość Markowa E X P 0 p0 ) ierówość Czebyszewa II EX PX 0 X p 3) ierówość Czebyszewa III (wykładicza) jeśli Ee X Ee PX 0 e 4) ierówość Bersteia jeśli S liczba sukcesów w próbach Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p to p X L.Kowalski