Twierdzenia graniczne:

Transkrypt

1 Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX <, to k > 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X <, to t > 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości % wylosowao bez zwracaia 400 elemetów. Oszacuj prawdopodobieostwo, że wśród wylosowaych elemetów liczba wadliwych ie przekracza 5%. X liczba wylosowaych wadliwych elemetów X ma rozkład dwumiaowy z prawdopodobieostwem sukcesu p = 0,0 i = 400 szacujemy P(X 0) = 1 P(X > 0) = 1 P(X 1) z ierówości Markowa P(X 1) ,0 = 8 1 P(X 0) = Zmiee losowe X 1, X, X 3, X 4 są iezależe o tym samym rozkładzie jedostajym a odciku [0,1]. Oszacuj P(X 1 + X + X 3 + X 4 < 3). P(X 1 + X + X 3 + X 4 < 3) = 1 - P(X 1 + X + X 3 + X 4 3) E(X 1 + X + X 3 + X 4 ) = = = 1 3

2 3. Niech X będzie sumą 10 iezależych zmieych losowych o rozkładzie wykładiczym z parametrem =. Oszacuj prawdopodobieostwo P(3 < X < 7). EX = 10 1 = 5, σ = D X = = 5 P(3 < X < 7) = P( X 5 < ) = P( X - 5 < 5 σ) = 1 P( X 5 5 σ) = Z ierówości Czebyszewa oszacowao, że prawdopodobieostwo tego, że liczba N orłów w serii rzutów symetryczą moetą różi się od swojej wartości oczekiwaej o więcej iż 5% tej wartości oczekiwaej jest ie większe iż 1/160. Z ilu co ajmiej rzutów składa się ta seria? EX =, D X = 4 P( X - 1 ) 1 P( X - σ) 1 1 = 16 = = Tw. słabe prawo wielkich liczb Jeżeli X 1, X, X 3, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwaej m i wariacji σ 0,, to ε > 0: lim P( X 1 + X + + X m < ε) = 1 Wiosek: Jeżeli X 1, X, X 3, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedykowym dla P(X i = 1) = p, to ε > 0: lim P( X 1 + X + + X p < ε) = 1

3 Niech X i będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie ormalym N(m, ). Jak duże musi byd, aby w słabym prawie wielkich liczb graicę moża było zastąpid liczbą z błędem ie większym iż 0,001. Błędem w zastąpieiu graicy liczbą P( X 1+X + +X 1 - P X 1+X + +X E( X 1+X,+ +X P X 1+X + +X m < ε ) jest m < ε = P( X 1+X + +X m ε) = σ = σ σ σ σ σ ε 0, ε ) = m, D X 1+X,+ +X m ε Tw. moce prawo wielkich liczb Jeżeli X 1, X, X 3, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwaej m i wariacji σ 0,, to P( lim X 1 + X + + X = m) = 1 Cetrale twierdzeie graicze: Tw. Lideberga-Levy ego Jeżeli X 1, X, X 3, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o tym samym rozkładzie, wartości oczekiwaej m i wariacji σ 0,, to lim P(X 1 + X + + X m < x) = Φ x, σ gdzie Φ x jest dystrybuatą stadaryzowaego rozkładu ormalego N(0,1)

4 Tw. Moivre a-laplace a Jeżeli Y 1, Y, Y 3, jest ciągiem zmieych losowych i Y ma rozkład dwumiaowy z parametrami i p, to lim P(Y p < x) = Φ(x) pq Mówimy, że zmiea Y ma rozkład asymptotyczie ormaly z parametrami p i pq. 1. Niech zmiea χ ma rozkład chi-kwadrat o stopiach swobody Eχ =, D χ = z tw. Lideberga-Levy ego lim P( χ < x) = Φ(x) czyli χ ma rozkład asymptotyczie ormaly z parametrami i Niech X 1, X, X 3, będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o różych rozkładach, EX i = m i, D X i = σ i Ozaczmy przez W i 3 = E( X i m i 3 ), W 3 = W W W 3, σ = σ 1 + σ + + σ Tw. Lapuowa Jeżeli X 1, X, X 3, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o różych rozkładach oraz lim W = 0, to σ lim P(X 1 + X + + X (m 1 + m + + m ) < x) = Φ x σ Jeżeli liczba zmieych losowych ieograiczeie wzrasta, to przy spełieiu założeia lim rozkład średiej arytmetyczej tych zmieych dąży do rozkładu ormalego W σ = 0

5 Def. Mówimy, że fukcja Z: jest zespoloą zmieą losową Z( ) = X( ) + iy( ), gdzie X,Y są rzeczywistymi zmieymi losowymi oraz i = 1. Def. Fukcją charakterystyczą zmieej losowej X azywamy fukcję : C określoą jako Uwaga: φ t = E costx + ie(sitx) Tw. własości fukcji charakterystyczej 1. jest jedostajie ciągła. (0) = 1 3. t : (t) 1 4. t R: φ t = φ(t) φ t = E e itx = e itx df(x) Tw. Jeżeli zmiee losowe X i Y są iezależe, to fukcja charakterystycza sumy zmieych X i Y rówa jest iloczyowi fukcji charakterystyczych X i Y φ X+Y = φ X φ Y Wiosek: 1. Dla zmieej X typu skokowego P(X = x k ) = p k fukcja charakterystycza φ t = k p k. a R: φ ax t = φ X (at) 3. a R: φ X+a t = e ita φ X (t) e itx k

6 Tw. Istieie k-tego mometu zmieej losowej X jest rówoważe istieiu k-tej pochodej fukcji charakterystyczej, przy czym m k = EX k = φ k (0) i k Fukcja charakterystycza zmieej X: 1. X ma rozkład zero-jedykowy φ t = pe it + q. X ma rozkład dwumiaowy z parametrami i p φ t = (pe it + q) 3. X ma rozkład Poissoa z parametrem φ t = e λ(eit 1) 4. X ma rozkład jedostajy a przedziale *a,b] φ t = eitb e ita b a it 5. X ma rozkład wykładiczy z parametrem φ t = λ λ it 6. X ma rozkład ormaly stadaryzoway N(0,1) φ t = e t 7. X ma rozkład gamma z parametrami i φ t = ( 1 1 iβt )α 1. Oblicz momety rozkładu ormalego stadaryzowaego N(0,1). φ t = e t φ t = ( 1) t =0! φ +1 0 = 0 φ 0 = ( 1)!! m k = 0, k = + 1!!, k =. Niech X 1, X,, X będą iezależymi zmieymi o rozkładach N(m i, σ i ). Wyzacz rozkład

7 zmieej Y = X 1 + X + + X jeżeli X i ma rozkład N(m i, σ i ) to zmiea X i = X i m i ma rozkład N(0,1) φ σ Xi t = e t i czyli φ Xi t = φ σi X i +m i t = e itm iφ Xi σ i t = e itm ie (σ i t) φ Y t = φ X1 t φ X t φ X t = e it(m 1+m + +m ) e (σ 1 +σ + +σ )t zmiea Y ma rozkład ormaly N(m 1 + m + + m, σ 1 + σ + + σ ) 3. Oblicz fukcję charakterystyczą zmieej X o gęstości 0, x x, 1 < x 0 f x = 1 x, 0 < x 1 0, x > 1 φ t = e itx f(x)dx 0 = 1 + x e itx dx + 1 +[ 1 x eitx it + eitx it ] 0 1 (1 x)e itx dx = [ 1 + x eitx 0 it 1 e it + e it (1 cost) = t = t Wiosek: Jeżeli (t) jest fukcją charakterystyczą zmieej X, to 1. p k = P X = x k = 1 e itx kφ t dt dla zmieej typu skokowego. f x = 1 π π π π e itx φ t dt dla zmieej typu ciągłego eitx it ] 0 + 1