JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

Transkrypt

1 JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład: Rozpatrujemy dośwadczee polegające a rzuce symetryczą moetą. Wyem tego dośwadczea mogą być zdarzea "pojawee sę orła" albo "pojawee sę resz" tworzące zbór zdarzeń elemetarych. Na zborze zdarzeń elemetarych oreślamy zmeą losową X w sposób astępujący: X (orzeł) = ; X (resza) = 0 Zmea losowa X przyjmuje wartość ze zboru {0,}. Zdarzea "pojawee sę orła" "pojawee sę resz" realzują sę z prawdopodobeństwam rówym /, zatem: P(X=) = P{orzeł} = /, P(X=0) = P{resza} = /. Typy zmeej losowej: Soowa (przyjmuje sończoą lub esończoą, ale przelczalą lczbę wartośc), Cągła (jej wartośc ależą do przedzału ze zboru lczb rzeczywstych). ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA przyjmuje wartość x, x,... z prawdopodobeństwam, odpowedo p, p,..., tam że: = = p =, gdy X przyjmuje sończoą lczbę welosc, lub () p =, gdy X przyjmuje esończoą lczbę wartosc () Zbór prawdopodobeństw postac p spełających rówość () lub () oreślamy maem ucj prawdopodobeństwa zmeej losowej X typu soowego. Wyres ucj prawdopodobeństwa x p p 3. p. p. 0 x x x 3 x

2 Dystrybuata zmeej losowej soowej przyjmuje postać: F( x) = p ( < x< ) x x Iormacje a temat własośc dystrybuaty oraz wyres dystrybuaty zajdują sę w materałach z poprzedch zajęć. ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA Przyjmuje eprzelczalą lczbę wartośc. Zatem jej rozładu e moża opsać za pomocą ucj prawdopodobeństwa ja w przypadu zmeej losowej soowej. Fucją, tóra opsuje rozład zmeej losowej cągłej, jest ucja gęstośc. Jest to ucja oreśloa a zborze lczb rzeczywstych o astępujących własoścach: ( x) 0, b ( ) ( ) a + x dx= P a< X b dla a< b ( x) dx P( < X + ) = = Należy zauważyć, że prawdopobeństwo postac P(X=a) jest rówe zeru: a ( ) PX ( = a) = xdx= 0 a Przyładowy wyres ucj gęstośc prawdopodobeństwa gracza terpretacja P (x) ( a < X b) P ( a < X b) ( x) b = a dx a b x Dystrybuatę zmeej losowej cągłej oreśla sę astępująco: x ( x) = ( t) d( t) F, gdze (t) jest ucją gęstośc zmeej losowej X

3 PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ: Wartość oczewaa: E x p ( X ) = x ( x) dx Własośc wartośc oczewaej: Ea ( ) dla zmeej losowej soowej = a, gdze a stała, E[( ax) ] = a E( X ) E( ax + b) = ae( X ) + b dla zmeej losowej cąglej Waracja: D ( X) = E X E( X) = Własośc waracj: D ( a ) = 0 D X + a = D X ( ) ( ) D ax = a D X ( ) ( ) D ax + b = a D X ( ) ( ) ( ) x E X p dla zmeej losowej soowej ( ) ( ) x E X x dx dla zmeej losowej cąglej Momet zwyły rzędu : m = E ( X ) = x x p ( x) dx dla zmeej losowej soowej dla zmeej losowej cąglej Momet cetraly rzędu : x E x u = E[ X E( X )] = x E( x) [ ( )] p [ ] ( x) dx dla zmeej losowej soowej dla zmeej losowej cąglej

4 ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ Rozład zerojedyowy Zmea losowa X ma rozład zero-jedyowy, jeśl przyjmuje wartość z prawdopodobeństwem 0<p< oraz wartość 0 z prawdopodobeństwem q=-p. Fucja prawdopodobeństwa rozładu zero-jedyowego: x 0 p -p p Dystrybuata zmeej losowej zero-jedyowej: 0, dla x < 0 F( x) = p, dla 0 x <, dla x Wartość oczewaa waracja zmeej losowej zero-jedyowej: E X = 0 p + p = p, D ( ) ( ) ( X ) = ( 0 p) ( p) + ( p) p = p( p). Rozład dwumaowy Zmea losowa X ma rozład dwumaowy, jeśl przyjmuje wartośc =0,,,..., z prawdopodobeństwam oreśloym wzorem: P ( X = ) = p ( p) Lczbę dośwadczeń oraz prawdopodobeństwo sucesu p azywamy parametram tego rozładu. Dystrybuata zmeej losowej X o rozładze dwumaowym: F ( x) = P( X x) = p ( p) x Wartość oczewaa waracja zmeej losowej X o rozładze dwumaowym: E( X) = E X= E( X) = p, = = D X = D X = D X = p p = = ( ) ( ) ( ). Schemat Beroullego: wyoujemy dośwadczee, tórego rezultatem może być suces z prawdopodobeństwem p lub poraża z prawdopodobeństwem q=-p, dośwadczee powtarzamy -rote w sposób ezależy co ozacza, że prawdopodobeństwo sucesu pozostaje w pojedyczych próbach stałe rówe p, lczba sucesów jaą zaobserwujemy w wyu -rotego powtórzea dośwadczea, może być rówa =0,,,...,.

5 Rozład ormaly Wele zjaws śwata zyczego cechuje rozład ormaly, p. waga wzrost ludz. Dlatego rozład te m bardzo duże zaczee w statystyce. Do rozładu tego prowadz ta proces ształtowaa zjawsa, w ramach tórego a dae zjawso oddzałuje duża lczba ezależych czyów, tórych wpływ, tratoway odrębe, jest mało zaczący. Zmea losowa X ma rozład ormaly o parametrach m oraz σ, co w sróce zapsuje sę jao X : N( m,σ ), jeżel jej ucja gęstośc wyraża sę wzorem: ( x m) ( x) σ = e σ π, < x < + Fucja gęstośc rozładu ormalego o parametrach m σ:, przy czym σ > 0. Własośc rzywej gęstośc rozładu ormalego: a) jest symetrycza względem prostej x = m, b) osąga masmum rówe σ π dla x = m, c) jej ramoa mają puty przegęca dla x = m oraz x = m + σ σ. Dystrybuatą zmeej losowej X mającej rozład ormaly jest ucja F(x) oreśloa a ( t m) zborze lczb rzeczywstych o postac: F( x) = σ x σ π e dt Ze względu a symetryczość rozładu F(-x)=-F(x)

6 Rozład ormaly ze średą m=0 oraz odchyleem stadardowym σ= azywamy stadardowym rozładem ormalym ozaczamy N(0,). Wartośc ucj gęstośc dystrybuaty rozładu ormalego wystadaryzowaego są tablcowae. Stadaryzacja zmeej losowej X o rozładze ormalym z parametram m σ: X m U =, gdze U ~ N (0,). σ Zatem: a X m b m a m b m b m a m Pa ( < X b) = P < = P < U = F F σ σ σ σ σ σ σ Reguła trzech sgm P( X m σ ) = 0,6869 P( X m σ ) = 0,9545 P( X m 3 σ ) = 0, 9973 Addytywość rozładu ormalego Jeśl X ~ N( m, σ ) a X ~ N( m, σ ) oraz X X są ezależe to X + X ~ N( m + m, σ + σ ) Zaletą rozładu ormalego jest to, że wele rozładów jest zbeżych do rozładu ormalego przy wzrośce lczebośc zborowośc (zob. tw. gracze). INNE ROZKŁADY: Rozład t-studeta o lczbe stop swobody υ to rozład zmeej losowej oreśloy ucją gęstośc o postac: υ + υ + Γ t +, υ Γ υ π () t = ( < t < + ) gdze υ=- zaś Γ(x) jest ucją gamma.

7 Parametry: ( ) E t () Dt = 0, υ = = υ 3 Przy rozład t-studeta zbega do rozładu ormalego N(0,). Rozład χ (Ch- wadrat) o lczbe stop swobody υ to rozład zmeej losowej oreśloy ucją gęstośc o postac: ( χ ) υ = υ Γ 0 ( χ ) υ e χ dla dla χ χ > 0 0 gdze υ=-. Rozład χ (ch- wadrat) o lczbe stop swobody υ ma statystya: χ = gdze: = X m σ X ezależe zmee losowe mające jedaowy rozład N(m,σ), υ=.

8 Parametry: E D ( χ ) = υ; ( χ ) = υ Przy υ rozład statysty χ zdąża do rozładu ( υ ; ) N. Rozład F-Sedecora o lczbe stop swobody lcza υ lczbe stop swobody maowa υ to rozład oreśloy ucją gęstośc o postac: υ υ υ + υ υ υ Γ υ υ Γ Γ 0 dla F 0 ( F) = + F ( ) ( υ υ υ F + υ ) dla F > 0 Parametry: ( ) E F D ( F) υ = υ = υ ( υ+ υ ) ( ) ( υ 4) υ υ