Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa

Transkrypt

1 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018

2 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0 )) jest ściśle związane z pochodną funkcji f w punkcie x 0. Styczną możemy traktować jako geometryczną interpretację pochodnej funkcji. Pojęcie stycznej w sensie rachunku różniczkowego jest czymś innym niż do figury czyli prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z figurą, którą poznaje się w szkole średniej. DEFINICJA Definicja 1: Styczna do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona i ciągła w otoczeniu O( x 0 ). Styczną do wykresu funkcji f w punkcie x 0 (w punkcie wykresu P( x 0, f( x 0 )) lub dla argumentu x 0 ) nazywamy prostą będąca granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty ( x 0, f( x 0 )) i (x, f(x)), gdy x x 0. f(x 0 ) y=f(x) Rysunek 1: Styczna do wykresu funkcji w punkcie x 0 jako graniczne położenie siecznych, gdy x x 0.

3 UWAGA Uwaga 1: Współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez punkty ( x 0, f( x 0 )) i (x, f(x)) jest dany wzorem f(x) f( x 0 ). x x 0 Rysunek 2: Sieczna i do wykresu funkcji - uzasadnienie wzoru na współczynnik kierunkowy siecznej. Styczna jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty ( x 0, f( x 0 )) i (x, f(x)), gdy f(x) f( x x x, czyli współczynnik kierunkowy stycznej będzie odpowiadał granicy właściwej funkcji 0 ) 0 przy x x (o ile x x 0 0 istnieje). Stąd widać już związek stycznej z pochodną funkcji. UWAGA Uwaga 2: Geometrycznie jest prostą, która w sąsiedztwie punktu styczności najlepiej przybliża wykres funkcji różniczkowalnej. UWAGA Uwaga 3: Jeżeli y = ax + b jest przepisem stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0, to liczba a (współczynnik kierunkowy stycznej) jest równa pochodnej funkcji f w punkcie x 0.

4 PRZYKŁAD Przykład 1: W dowolnym punkcie x 0 R do wykresu funkcji f(x) = 2x 1 pokrywa się z wykresem tej funkcji. Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = 2x 1 i stycznej do niego. W związku z tym, pochodna funkcji f w każdym punkcie x 0 jest równa 2, bo jest równa współczynnikom kierunkowym stycznych do wykresu funkcji f w punktach x 0, które stale wynoszą 2. Zatem f ( x 0 ) = 2 dla każdego x 0 R. Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że określenie stycznej do wykresu funkcji jako prostej, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, jest błędne. Przykład stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0, która ma więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem przedstawia poniższy rysunek. Rysunek 4: Wykres funkcji i stycznej do niego, które mają dwa punkty wspólne. Natomiast w ostatnim przykładzie rozważaliśmy funkcję, której wykres pokrywa się ze styczną w dowolnym punkcie R, czyli wykres i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Z drugiej strony, oczywiście, każdy z łatwością wskaże proste mające tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, a nie są stycznymi do tego wykresu.

5 UWAGA Uwaga 4: Nie w każdym punkcie ciągłości funkcji istnieje do wykresu tej funkcji. UWAGA Uwaga 5: Jeżeli nie istnieje do wykresu funkcji w punkcie x 0, to nie istnieje również pochodna tej funkcji w punkcie x 0. PRZYKŁAD Przykład 2: Funkcja k(x) = x 3 nie posiada ani stycznej, ani pochodnej w x 0 = 3. Rysunek 5: Wykres funkcji k(x) = x 3 nie mającej stycznej w punkcie x 0 = 3. Styczna w punkcie x 0 istnieje, jeżeli otrzymamy tą samą prostą jako graniczne położenie siecznych wykresu funkcji przy x zmierzającym do x 0 z lewej strony i przy x zmierzającym do x 0 z prawej strony. W przypadku funkcji k(x) = x 3 każda sieczna wykresu przechodząca przez punkty ( x 0, k( x 0 )) i (x, k(x)), gdy x < x 0, ma przepis y = x + 3, a zatem i prosta będąca ich granicznym położeniem, przy x x 0, ma przepis y = x + 3. Natomiast, gdy x > x 0, sieczne i prosta będąca ich granicznym położeniem mają przepis y = x 3. Zatem prosta będąca położeniem granicznym lewostronnym (granica lewostronna) jest różna od prostej będącą położeniem granicznym prawostronnym (granicy prawostronnej), czyli prosta będąca położeniem granicznym obustronnym (granica obustronna) nie istnieje. UWAGA Uwaga 6: Podsumowując, pochodna (właściwa) funkcji ciągłej w punkcie x 0 (czyli współczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie) będzie istniała, jeżeli będzie istniała do wykresu funkcji w tym punkcie oraz będzie miała równanie kierunkowe (czyli nie będzie pionowa). W ostatniej uwadze został wspomniany przypadek pionowej stycznej do wykresu funkcji. Taka sytuacja ma miejsce, gdy funkcja

6 jest ciągła w otoczeniu O( x 0 ) i obie pochodne jednostronne w x 0 są niewłaściwe (pochodna obustronna może istnieć lub nie). Rysunek 6: Pionowa do wykresu funkcji - istnieje pochodna niewłaściwa w x 0. Rysunek 7: Pionowa do wykresu funkcji - nie istnieje pochodna w x 0. Zwróćmy uwagę, że przypadek stycznej pionowej spełnia definicję stycznej do wykresu funkcji. Przykładem takiej stycznej jest prosta x = 0, która jest styczną do wykresu funkcji f(x) = 3 x w punkcie x 0 = 0. Dla ustalonego x 0 R można łatwo wyprowadzić przepis na styczną do wykresu funkcji, jeżeli funkcja ma pochodną (właściwą) w punkcie x 0. Na podstawie wcześniejszych obserwacji równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać y = f ( x 0 ) x + b. Ponadto punkt styczności ( x 0, f( x 0 )) należy do stycznej, więc f( x 0 ) = f ( x 0 ) x 0 + b, stąd b = f( x 0 ) f ( x 0 ) x 0. Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać: y = f ( x 0 ) x + f( x 0 ) f ( x 0 ) x 0. Na podstawie tego wyprowadzenia sformułujmy twierdzenie. TWIERDZENIE Twierdzenie 1: o równaniu stycznej do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ) i posiada pochodną (właściwą) w punkcie x 0. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać y = f ( x 0 )(x x 0 ) + f( x 0 ).

7 PRZYKŁAD Przykład 3: Wskażmy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 3 x dla argumentu x 0 = 8. Pochodna funkcji f to f (x) = 1 dla x 0, 3 3 x 2 zatem f ( x 0 ) = f (8) = 1 1 = Ponadto f( x 0 ) = f(8) = 3 8 = 2. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać: y = f ( x 0 )(x x 0 ) + f( x 0 ), więc w tym przypadku 1 y = (x 8) Po uporządkowaniu: 1 4 y = x Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = 3 x i do jej wykresu dla argumentu x 0 = 8. Znając własności współczynnika kierunkowego a prostej y = ax + b, możemy sformułować następujące twierdzenie. TWIERDZENIE Twierdzenie 2: o kącie nachylenia stycznej do dodatniej części osi Ox Niech x 0 R oraz funkcja f będzie określona w otoczeniu O( x 0 ) i posiada pochodną (właściwą) w punkcie x 0. Niech α oznacza miarę kąta skierowanego między dodatnią częścią osi Ox i styczną do wykresu funkcji f w punkcie ( x 0, f( x 0 )). Wtedy tg α = f ( x 0 ). Jednym z zastosowań stycznej, a tym samym pochodnej funkcji, jest określenie kąta między krzywymi będącymi wykresami funkcji, które się przecinają.

8 DEFINICJA Definicja 2: Kąt przecięcia się wykresów funkcji Niech x 0 R. Niech funkcje f i g będą określone w otoczeniu O( x 0 ), posiadają pochodne właściwe lub niewłaściwe w punkcie x 0 oraz ich wykresy mają punkt wspólny ( x 0, y 0 ). Kątem przecięcia się wykresów funkcji f i g w punkcie ( x 0, y 0 ) nazywamy kąt ostry lub prosty między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie przecięcia ( x 0, y 0 ). y=g(x) y=f(x) Rysunek 9: Kąt przecięcia się wykresów funkcji f i g. Kąt przecięcia się wykresów funkcji możemy obliczyć, wykorzystując twierdzenie: TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o kącie przecięcia się wykresów funkcji Niech x 0 R. Niech funkcje f i g będą określone w otoczeniu O( x 0 ), posiadają pochodne (właściwe) w punkcie x 0 oraz ich wykresy mają punkt wspólny ( x 0, y 0 ). Miara kąta φ przecięcia się wykresów funkcji f i g w punkcie ( x 0, y 0 ) wyraża się wzorem φ = arctg f ( x 0 ) g ( x 0 ), gdy ( ) ( ) f ( x 0 ) g ( x 0 ) f x 0 g x 0 Jeżeli f ( x 0 ) g ( x 0 ) = 1, to φ = π. 2 Powyższy wzór jest konsekwencją wzoru na tangens różnicy kątów oraz związku pochodnej funkcji w punkcie ze styczną do f ( x wykresu funkcji w tym punkcie. Wartość 0 ) g ( x 0 ) jest równa tangensowi kąta φ lub kąta do niego przyległego. Wartość 1+ f ( x 0 ) g ( x 0 ) tangensa dla kątów przyległych różni się tylko znakiem. Szukamy tangensa dodatniego kąta ostrego, więc właściwą wartość wybieramy przez zastosowanie wartości bezwzględnej. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :30:32 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=d51cd577d2072c71cd49bb65fb8b4555

9 Autor: Tomasz Zabawa