Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej
. Niezależość zmieych losowych Zmiee losowe X,, X są iezależe, jeśli dla dowolych zbiorów borelowskich B, B,..., B R iezależe są zdarzeia { X B}, { X B},..., { X B }, tz. gdy (.) = P( X B) P( X B)... P( X B) (.) Twierdzeie Zmiee losowe X,, X ( x, x,..., x ) R (.3) Wiosek Zmiee losowe X,, X ( x, x,..., x ) R P( X B, X B,..., X B ) są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego P( X < x, X < x,..., X < x ) = P( X < x ) P( X < x )... P( X < x ) są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego F( x, x,..., x ) = F ( x ) F ( x )... F ( x ) X X X
Własości iezależych zmieych losowych (.4) Twierdzeie X, Y zmiee losowe typu skokowego o atomach x i, i =,,, y j, j =,, odpowiedio X, Y są iezależe i, j P( X = xi, Y = y j ) = P( X = xi ) P( Y = y j ) (.5) Przykład Zmiee losowe z przykładu (0.9) są zależe, Y gdyż Atomy 0 P( X = xi ) 8 8 8 P( X = 0, Y = 0) = 0 45 45 0 45 8 8 6 8 4 45 5 = P( X = 0) P( Y = 0) X 45 45 45 0 45 45 4 P( Y = y ) j 5 5
Własości iezależych zmieych losowych (.6) Twierdzeie X, Y zmiee losowe typu o gęstościach f X, f Y odpowiedio X, Y są iezależe lub rówoważie (.7) Przykład Zmiee losowe z przykładu (0.5) są zależe, gdyż dla puktu mamy f = = f f gdzie x, y R f ( x, y) = f X ( x) fy ( y) f ( x / y) = f ( x), gdzie y R f ( y) 0 albo x R X Y f ( y / x) = f ( y), gdzie x R f ( x) 0 y R Y X dla ( x, y) K f ( x, y) = 0 dla ( x, y) K (, ) X ( ) Y ( ) 3 3 3 3 3 3 ( 3, 3) K x + dla x,0 f X ( x) = x dla x (0, 0 dla x,
Własości iezależych zmieych losowych (.8) Twierdzeie X,, X iezależe zmiee losowe E( X X... X ) i EX, i =,..., istieją E( X X... X ) = EX EX... EX (.9) Wiosek X,, X iezależe zmiee losowe o skończoej wariacji (.0) Przykład Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie dwumiaowym z parametrami =,, p (0,), tz. odpowiada liczbie sukcesów w doświadczeiach. Wykazać, że a) EX = p b) D X = p q D ( X + X +... + X ) = D X + D X +... + D X i
. Fukcje zmieej losowej dwuwymiarowej (.) Twierdzeie X, Y zmiea losowa dwuwymiarowa określoa a przestrzei probabilistyczej ( Ω, Z, P), g : R R fukcja borelowska Fukcja Z : Ω R, określoa wzorem Z = g( X, Y ) jest zmieą losową a Ω (.) Twierdzeie Jeżeli (X, Y) jest wektorem losowym typu skokowego o rozkładzie P( X = x, Y = y ) = p, i, j =,,... i Z = g( X, Y ), to W szczególości i j ij E( X Y ) = xi y j pij i, j i, j E( X ) = xi pij EZ = g( x, y ) p i, j i j ij ( X, Y ) Ω R Z R g
Fukcje zmieej losowej dwuwymiarowej typu ciągłego (.3) Twierdzeie Jeżeli (X, Y) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f i Z = g (X, Y ), to W szczególości EZ = g( x, y) f ( x, y) dxdy E( X Y ) = x y f ( x, y) dxdy E( X ) = x f ( x, y) dxdy
3. Charakterystyki liczbowe zmieej losowej dwuwymiarowej Kowariacją zmieych losowych X i Y azywamy liczbę (o ile istieje) (3.) cov( X, Y) E ( X EX )( Y EY ) a) b) c) (3.) Twierdzeie (własości kowariacji) cov( X, Y ) = E( X Y ) EX EY cov( X, X ) = D X cov( X, Y ) = cov( Y, X ) (3.3) Stwierdzeie X i Y iezależe ( ) cov( X, Y ) = 0
Własości kowariacji (3.4) Przykład (a ieodwracalość implikacji (3.3)) Y (X, Y ) jest wektorem losowym o rozkładzie a) Obliczyć kowariację b) Sprawdzić iezależość zmieych Atomy 0 0 0 6 0 6 0 0 X 0 0 6 0 0 0 0 6 (3.5) Własość Jeśli X i Y są zmieymi losowymi i istieje cov(x, Y ), to D X ± Y = D X + D Y ± X Y ( ) cov(, )
Współczyik korelacji liiowej X i Y zmiee losowe Jeśli istieją EX, EY, D X, D Y, cov( X, Y ) i D X > 0, D Y > 0, to liczbę (3.6) ρ ( X, Y ) = cov( X, Y ) D X D Y azywamy współczyikiem korelacji zmieych losowych X i Y (3.7) Własości (współczyika korelacji) a) b) ρ( X, Y ) X i Y iezależe ρ ( X, Y ) = 0 c) ρ ( X, Y ) = P( Y = ax + b) = ρ ( X, Y ) = 0 (3.8) Wiosek a 0 b R X i Y zmiee losowe ieskorelowae Jeśli zmiee są iezależe, to są ieskorelowae
4. Wybrae charakterystyki liczbowe wielowymiarowych zmieych losowych Macierz kowariacji (mometów) wektora losowego X = (X, X,, X ) rodzaj uogólieia wariacji a przypadek -wymiarowy (4.) σ σ... σ σ σ... σ σ i = D X i i, j =,,..., M =, gdzie............ σ ij = cov( X i, X j ) i j σ σ... σ M jest macierzą symetryczą det M 0 det M = 0 X jest wektorem zdegeerowaym (w rzeczywistości k-wymiarowym, gdzie k jest rzędem macierzy M)
Współczyik korelacji wielorakiej ρ ij = ρ ( X i, X j ), i, j =,,..., Macierz korelacji wektora losowego X = (X, X,, X ) ρ... ρ ρ... ρ (4.) P =............ ρ ρ... Współczyik korelacji wielorakiej (wielokrotej, wielowymiarowej) ρ i.r określa wpływ, jaki a zmieą losową X i wywierają wszystkie pozostałe zmiee X, X,..., X, X,..., X i i+ (4.3) det P ρi. r, r =... i i +... P gdzie P ii jest dopełieiem algebraiczym macierzy P ii
Współczyik korelacji cząstkowej Współczyik korelacji cząstkowej ρ ij.r określa wpływ zmieej X j a zmieą X i, po wyelimiowaiu wpływu pozostałych zmieych X k, k {,,..., }\{ i, j} a zmieą X i Pij (4.4) ρ ij. p, p =... i i +... j j +... Pii Pjj gdzie P ij jest dopełieiem algebraiczym macierzy P (4.5) Przykład Niech daa będzie macierz korelacji P wektora losowego X = (X, X, X 3 ) 3 4 0 3 P = 4 0 Obliczyć ρ.3 ρ.3
5. Cetrale twierdzeia graicze { X } N ciąg iezależych zmieych losowych, określoych a + przestrzei probabilistyczej (Ω, Z, P) o skończoej wariacji σ = D X > 0 X k EX k= k= k (5.) Y = σ jest zmieą losową stadaryzowaą F dystrybuata zmieej losowej Y, Φ dystrybuata zmieej losowej o rozkładzie ormalym N(0,) k= Mówimy, że dla ciągu zmieych { X } N zachodzi cetrale + twierdzeie graicze (CTG), jeśli ciąg zmieych losowych { Y } N + jest zbieży według rozkładu do zmieej losowej Y o rozkładzie N(0,), tz. (5.) lim F ( x) = Φ( x) dla x R
Twierdzeie Lidberga-Levy ego i Moivre a-laplace a (5.3) Twierdzeie (Lidberga-Levy ego) Jeśli { X } N jest ciągiem iezależych zmieych losowych o tym + samym rozkładzie, wartości oczekiwaej EX = m i wariacji D X = σ > 0 dla N +, to dla ciągu tego zachodzi CTG, tz. X + X +... + X m lim P x ( x) dla x < = Φ R σ (5.4) Wiosek (twierdzeie Moivre a-laplace a) Niech { X } N będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o + rozkładzie 0- z parametrem p, tz. P( X = ) = p i P( X = 0) = q = p Jeśli S = X + X +... + X, to dla każdego x R zachodzi S p lim P < x = Φ( x) p q
Twierdzeie Moivre a-laplace a przykłady (5.5) Przykłady a) Rzucamy symetryczą moetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 00 rzutach otrzymamy co ajmiej 60 razy reszkę? b) Niech day będzie schemat Beroulli ego z parametrem p = Jaka musi być liczba prób, by prawdopodobieństwo, że częstość sukcesu różi się od p o miej iż 0.0 było większe od 0.9?
Wykład Dziękuję za uwagę