Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego"

Transkrypt

1 Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia Przestrzeń probabilistyczna Prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne Zajęcia Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym i twierdzenie Bayesa Przestrzenie mierzalne, przestrzenie z miarą, σ-ciała Zmienne i wektory losowe Zajęcia Dystrybuanta Wartość oczekiwana Wariancja Zajęcia Kowariancja Ważne nierówności Zajęcia Dwuwymiarowa zmienna losowa Rozkłady brzegowe Niezależność zmiennych losowych Zajęcia Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] Rozkład normalny Zajęcia Własności rozkładu normalnego Funkcja tworząca momenty Zajęcia Rozkład gamma Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych Zajęcia Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (cd.) Zajęcia Warunkowa wartość oczekiwana aktualizacja mgr inż. Natalia Jarzębkowska, Politechnika Gdańska, FTiMS, KAMiN 1

2 Zajęcia Twierdzenie Radona-Nikodyma Warunkowa wartość oczekiwana (cd.) Zajęcia Zajęcia Warunkowa wartość oczekiwana - zadania Zajęcia Kolokwium - zadania Literatura 24

3 Zajęcia 1 ( ) 1.1 Przestrzeń probabilistyczna Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ): Ω - niepusty zbiór zdarzeń elementarnych F - σ-ciało podzbiorów Ω (definicja) P - miara probabilistyczna na (Ω, F ) (definicja) Wniosek 1 Jeżeli (Ω, F, P ) jest przestrzenią probabilistyczną i A, B, A 1, A 2,..., A n F, to: 1. Jeżeli A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne, to P ( n 2. P (A ) = 1 P (A) 3. Jeżeli A B, to P (B\A) = P (B) P (A) 4. Jeżeli A B, to P (A) P (B) 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (+dowody) i=1 A i ) = n P (A i ) i=1 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 1 W magazynie są elementy pochodzące z dwóch fabryk: I i II. Elementy są klasyfikowane jako dobre i niedobre. Niech A oznacza zdarzenie: wybierany w sposób losowy element jest dobry oraz B oznacza zdarzenie: wybierany w sposób losowy element pochodzi z fabryki I. W tabeli podane są liczby elementów, odpowiadające poszczególnym zdarzeniom: Zdarzenie A A Razem B a b a + b B c d c + d Razem a + c b + d a + b + c + d = n Definicja 2 Prawdopodobieństwo warunkowe P (A B), gdy P (B) > 0. Definicja 3 Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa P B, gdy P (B) > 0. Twierdzenie 2 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, P (B) > 0. Wówczas (B, F B, P B ) jest przestrzenią probabilistyczną. (+dowód, że P B - miara probabilistyczna) 3

4 Zadanie 1 Wybieramy jedną rodzinę z dwojgiem dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli wiemy, że w tej rodzinie: a) starsze dziecko jest chłopcem, b) jest co najmniej jeden chłopiec. Zadanie 2 W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyprodukowanych wyrobów jest dobrych. Wśród 100 sztuk dobrych wyrobów 75 jest pierwszego gatunku. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pewna sztuka wyprodukowana w tym przedsiębiorstwie jest pierwszego gatunku. Twierdzenie 3 Jeśli P (A), P (B) > 0, to P (A B) > P (A) P (B A) > P (B). 1.3 Zdarzenia niezależne Definicja 4 Niezależność zdarzeń A, B F Definicja 5 Niezależność zdarzeń A 1, A 2,..., A n F Definicja 6 Niezależność zdarzeń A 1, A 2,... F Zadanie 3 Niech Ω = {(x, y) : 0 < x < 9, 0 < y < 9} A = B = {(x, y) : 1 < x < 4, 0 < y < 9} C = {(x, y) : 3 < x < 6, 0 < y < 9} Zbadań niezależność zdarzeń A, B, C. 4

5 Zajęcia 2 ( ) Zadanie 4 Wybieramy jedną rodzinę spośród rodzin, mających n dzieci. Niech zdarzenie A polega na tym, że w losowo wybranej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka, B - w rodzinie są dziewczynki i chłopcy. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 2.1 Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym i twierdzenie Bayesa Twierdzenie 4 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zdarzenia A i tworzą skończone lub przeliczalne rozbicie Ω oraz P (A i > 0) dla każdego i, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi: P (B) = i P (A i )P (B A i ), gdzie i przebiega wszystkie wartości. Twierdzenie 5 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zdarzenia A i tworzą skończone lub przeliczalne rozbicie Ω oraz P (A i > 0) dla każdego i. Niech P (B) > 0. Wówczas dla każdego zdarzenia A i z rozważanego zbiory zdarzeń zachodzi równość (wzór Bayesa): gdzie j przebiega wszystkie wartości. P (A i B) = P (A i)p (B A i ) P (A j )P (B A j ), j Zadanie 5 Na pierwszym roku pewnego wydziału słuchacze pochodzą z trzech grup: 1, 2, 3. Liczebności słuchaczy z odpowiednich grup są równe: 50, 40, 30. Wiadomo, że prawdopodobieństwo terminowego ukończenia studiów dla słuchaczy z odpowiednich grup są równe:0.3, 0.4, 0.5. Z rozważanego zespołu 120 osób wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć: a) prawdopodobieństwo P a tego, że pochodzi z grupy 1; b) prawdopodobieństwo P b tego, że ukończy on terminowo studia; c) prawdopodobieństwo P c tego, że pochodzi on z grupy 1, jeśli stwierdzono, że ukończył terminowo studia. 2.2 Przestrzenie mierzalne, przestrzenie z miarą, σ-ciała Definicja 7 Przestrzeń mierzalna (M, M ) (+przykłady) Twierdzenie 6 Część wspólna rodziny σ-ciał w M jest σ-ciałem w M. 5

6 Definicja 8 σ-ciało generowane przez R - rodzinę podzbiorów M (najmniejsze σ-ciało w M zawierające rodzinę R) Definicja 9 σ-ciało borelowskie Definicja 10 Miara µ Definicja 11 Przestrzeń z miarą (M, M, µ) 2.3 Zmienne i wektory losowe Definicja 12 Zmienna (wektor) losowy Definicja 13 Funkcja borelowska Twierdzenie 7 Niech X będzie wektorem losowym o wartościach w R, a ϕ : R n R m funkcją borelowską. Wtedy ϕ(x) jest wektorem losowym o wartościach w R m. Definicja 14 Rozkład prawdopodobieństwa na R n Definicja 15 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej (wektora) losowej µ X (+pokazanie, że jest to miara probabilistyczna) 6

7 Zajęcia 3 ( ) 3.1 Dystrybuanta Definicja 16 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ Definicja 17 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X Definicja 18 Zmienna losowa skokowa (dyskretna), funkcja prawdopodobieństwa oraz dystrybuanta Zadanie 6 Zmienna losowa dyskretna X ma rozkład prawdopodobieństwa: x i p i Znajdź dystrybuantę F X. Oblicz P ( 1 < X 1). Definicja 19 Zmienna losowa ciągła, zależność między dystrybuantą a funkcją gęstości Zadanie 7 Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja f(x) = 0, x < 0 Ae 3x, x 0 była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > 1). Zadanie 8 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f X, dystrybuancie F X i niech Y = X 2. Znaleźć gęstość f Y i dystrybuantę F Y. 3.2 Wartość oczekiwana Definicja 20 Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej, postaci wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej Twierdzenie 8 Załóżmy, że zmienne losowe EX i EY istnieją. Wówczas: 1. jeśli X 0, to EX 0, 2. EX E X, 3. Dla dowolnych a, b R istnieje wartość oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey 4. gdy A F, to E(1 A ) = P (A) = dp A 7

8 Zadanie 9 Niech gęstością f zmiennej losowej X będzie funkcja x 2, dla x 1, f(x) = 0, dla x < 1. Oblicz EX. Twierdzenie 9 Niech X 0. Wówczas EX = 0 (1 F X (t))dt = 0 P (X > t)dt, przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość. 3.3 Wariancja Definicja 21 Wariancja zmiennej losowej Twierdzenie 10 Jeśli wariancja zmiennej losowej X istnieje, to V ar(x) = EX 2 (EX) 2 8

9 Zajęcia 4 ( ) Twierdzenie 11 Niech X będzie zmienną losową taką, że EX 2 <. Wówczas V ar(x) istnieje oraz 1. V ar(x) 0 2. V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) Definicja 22 Zmienna losowa standaryzowana Wniosek 12 Zmienna losowa dana wzorem: Y = X EX V ar(x) dla V ar(x) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną. 4.1 Kowariancja Definicja 23 E XY < Wniosek 13 cov(x, Y ) = E(XY ) EXEY Kowariancja cov(x, Y ) między całkowalnymi zmiennymi losowymi X, Y, dla których Definicja 24 Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych Twierdzenie 14 Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja sumy oraz ( n ) n n V ar X i = V ar(x i ) + 2 cov(x i, X j ). i=1 i=1 1 i<j n Ponadto jeśli są parami nieskorelowane, to ( n ) n V ar X i = V ar(x i ). i=1 i=1 9

10 4.2 Ważne nierówności Twierdzenie 15 (Nierówność Jensena) Niech E X < i niech g będzie taką funkcją wypukłą, że E g(x) <. Wówczas zachodzi g(ex) E[g(X)]. Twierdzenie 16 (Nierówność Schwarza) Jeśli EX 2 <, EY 2 <, to (E XY ) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie 17 (Nierówność Höldera) Niech p > 1, q > 1 spełniają równość 1 p + 1 q = 1. Jeśli E X p <, E Y q <, to E XY (E X p ) 1 p (E Y q ) 1 q. Twierdzenie 18 (Nierówność Czebyszewa) Dla każdej zmiennej losowej spełniającej warunek P (X < 0) = 0 o skończonej wartości oczekiwanej EX oraz dla każdego ε > 0 zachodzi P (X ε) EX ε. 10

11 Zajęcia 5 ( ) 5.1 Dwuwymiarowa zmienna losowa Definicja 25 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) i jej rozkład µ (X,Y ) Definicja 26 Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej F (X,Y ) Wniosek 19 Niech x 1 < x 2, y 1 < y 2 oraz A = {(x, y) R 2 : x 1 < x x 2, y 1 < y y 2 }. Wówczas µ (X,Y ) (A) = F (X,Y ) (x 2, y 2 ) F (X,Y ) (x 2, y 1 ) F (X,Y ) (x 1, y 2 ) + F (X,Y ) (x 1, y 1 ) Definicja 27 Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) Definicja 28 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) typu ciągłego 5.2 Rozkłady brzegowe Definicja 29 Dystrybuanty brzegowe dla dwuwymiarowej zmiennej losowej Definicja 30 Rozkłady brzegowe dla dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej Definicja 31 Gęstości brzegowe dla dwuwymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego 5.3 Niezależność zmiennych losowych Definicja 32 Niezależność zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n Definicja 33 Niezależność zmiennych losowych X 1, X 2,... Wniosek 20 Własność dystrybuant i gęstości lub rozkładu prawdopodobieństw w przypadku niezależnych zmiennych losowych Zadanie 10 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o następującym łącznym rozkładzie prawdopodobieństwa: P (X = 0, Y = 1) = C P (X = 2, Y = 1) = 0, 1 P (X = 0, Y = 0) = 0, 2 P (X = 2, Y = 0) = 0 P (X = 0, Y = 2) = 0, 3 P (X = 2, Y = 2) = 0, 2 a) Znajdź C. b) Wyznacz rozkłady brzegowe. 11

12 c) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. d) Oblicz EX, EY, V ar(x), V ar(y ). e) Oblicz cov(x, Y ) i ρ XY. Zadanie 11 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości: a) Znajdź C. C(xy 2 + 3x), 0 < x < 2, 0 < y < 1 f(x, y) = 0, dla pozostałych b) Niech A = {(x, y) R 2 : 0 x y, 0 y 1}. Wyznacz P ((X, Y ) A). c) Wyznacz rozkłady brzegowe. d) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. e) Oblicz EX, EY, V ar(x), V ar(y ). f) Oblicz cov(x, Y ) i ρ XY. 12

13 Zajęcia 6 ( ) Zadanie 12 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o podanych rozkładach Znajdź rozkład wektora losowego (X, Y ). P (X = 0) = 0.9, P (Y = 1) = 0.3, P (X = 2) = 0.1, P (Y = 0) = 0.7. Zadanie 13 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f X i dystrybuancie F X. Niech Y = ax + b, gdzie (a 0). Znajdź gęstość f Y i dystrybuantę F Y. 6.1 Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] 0, x < a f(x) = 1 b a, a x b 0, x > b Zadanie 14 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]. Oblicz EX i V arx. Niech Y =. Znajdź EY. X X+1 Zadanie 15 Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o znanych rozkładach. a) Y = max(x 1, X 2,..., X n ), b) Z = min(x 1, X 2,..., X n ). Znajdź rozkłady zmiennych Y i Z. Jak wyglądają rozkłady zmiennych losowych Y i Z w przypadku, gdy X 1, X 2,..., X n są zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1]? Twierdzenie 21 Jeśli istnieje moment rzędu r zmiennej losowej, to istnieją momenty rzędu l < r. 6.2 Rozkład normalny f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, σ > 0, m R (1) Zadanie 16 Niech X będzie zmienną losową o gęstości zadanej wzorem (1). Pokaż, że a) f(x)dx = 1, R b) EX = m. 13

14 Zajęcia 7 ( ) 7.1 Własności rozkładu normalnego Zadanie 17 Niech X będzie zmienną losową o gęstości zadanej wzorem (1). Pokaż, że V arx = σ 2. Zadanie 18 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej 0 i wariancji równaj σ 2. Pokaż, że a) EX 2k+1 = 0, k = 0, 1,... b) EX 2k = (2k 1)!! σ 2k, k = 1, 2,... Zadanie 19 (Reguła trzech sigm) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej m i wariancji równaj σ 2. Oblicz P ( X m 3σ), wiedząc, że 1 3 e x2 2 dx π Funkcja tworząca momenty Definicja 34 Funkcja tworząca momenty M X zmiennej losowej X Twierdzenie 22 Niech X będzie zmienną losową Jeśli M X istnieje w otoczeniu 0, to d n dt n M X(t) = EX n. t=0 Zadanie 20 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej 0 i wariancji równaj 1. Znajdź funkcję tworzącą momenty M X zmiennej losowej X. 14

15 Zajęcia 8 ( ) Zadanie 21 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym: a) o średniej 1 i wariancji 9, b) o średniej 3 i wariancji 4. Znajdź funkcję tworzącą momenty M X. Przy jej pomocy oblicz EX Rozkład gamma f(x) = 0, x 0 a p Γ(p) xp 1 e ax, x > 0, (2) gdzie a > 0 jest parametrem skali, a p > 0 parametrem kształtu oraz Γ jest funkcją gamma, zdefiniowaną następująco Zadanie 22 (Własności funkcji gamma) a) Γ(1) = 1, b) Γ( 1 2 ) = π, c) Γ(p) = (p 1)Γ(p 1), d) Γ(n) = (n 1)!, n N, Γ(p) = x p 1 e x dx, p > 0 0 Zadanie 23 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f zadanej wzorem (2). Wykaż, że a) f(x)dx = 1, R b) EX = p a, c) EX 2 = p(p+1) a 2, d) V arx = p a 2. Zadanie 24 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym. Pokaż, że zmienna losowa X 2 ma rozkład gamma dla a = p =

16 8.2 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych Twierdzenie 23 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio µ X i µ Y. Wówczas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X + Y zadany jest wzorem: µ X+Y (B) = (µ X µ Y )(B) := µ X (B y)µ Y (y)dy, B B(R). R Ponadto, gdy X i Y są zmiennymi losowymi typu ciągłego o funkcjach gęstości f X i f Y, to funkcja gęstości zmiennej losowej X + Y zadana jest wzorem: f X+Y (u) = (f X f Y )(u) := f X (u y)f Y (y)dy. 16

17 Zajęcia 9 ( ) 9.1 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (cd.) Przypomnienie: Splot miar: (µ X µ Y )(B) := R µ X (B y)µ Y (y)dy, B B(R) Splot funkcji: (f X f Y )(u) := f X (u y)f Y (y)dy Twierdzenie 24 (Podstawowe własności splotu funkcji) 1. f g = g f, 2. (f g) h = f (g h), 3. f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2. Zadanie 25 (Rozkład trójkątny) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na odcinku [0, 1]. Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. Zadanie 26 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach odpowiednio: 0, x > 1 f(x) = 1 2, x 1 0, x > 2 Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. g(x) = 1 4, x 2 Zadanie 27 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o podanych niżej rozkładach Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. P (X = 1) = 1 2 P (X = 2) = 1 4 P (X = 3) = 1 4 P (Y = 0) = 1 2 P (Y = 1) = 1 4 P (Y = 2) = 1 4 Zadanie 28 Niech X 1 i X 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0 (odpowiednio). Znajdź rozkład zmiennej losowej X 1 + X 2. 17

18 Zadanie 29 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach gęstości 0, x < 0 f X (x) = 2e 2x, x 0 0, y < 0 f Y (y) = 4e 4y, y 0. Wykorzystując splot funkcji znajdź gęstość zmiennej losowej X + 2Y. 18

19 Zajęcia 10 ( ) Zadanie 30 Znajdź funkcję gęstości zmiennej losowej X + Y, jeśli wiadomo, że zmienne X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X ma rozkład normalny standardowy, a rozkład zmiennej Y zadany jest następująco: P (Y = 1) = P (Y = 1) = Warunkowa wartość oczekiwana Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Definicja 35 Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A Twierdzenie 25 Jeżeli P (A) > 0 i X ma skończoną wartość oczekiwaną, to E(X A) = 1 XdP. P (A) A Twierdzenie 26 (Uogólniony wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Niech zdarzenia A i, i I, stanowią (skończone lub przeliczalne) rozbicie przestrzeni Ω takie, że P (A i ) > 0, i I. Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, to EX = i I E(X A i )P (A i ). Definicja 36 Warunkowa wartość oczekiwana E(X F 0 ) zmiennej losowej X względem σ-ciała F 0 = σ(a i, i I), gdzie A i, i I, stanowią (przeliczalne lub skończone) rozbicie przestrzeni Ω. Twierdzenie E(X F 0 ) jest F 0 -mierzalną zmienną losową określoną na (Ω, F, P ), 2. A F0 E(X F 0 )dp = XdP. A A Definicja 37 Warunkowa wartość oczekiwana całkowalnej zmiennej losowej X względem dowolnego pod-σ-ciała 19

20 Zajęcia 11 ( ) 11.1 Twierdzenie Radona-Nikodyma Definicja 38 Absolutna ciągłość miary ν względem miary µ (ν µ) określonych na przestrzeni mierzalnej (M, M ) Twierdzenie 28 (Radona-Nikodyma) Niech (M, M, µ) będzie przestrzenią z miarą σ skończoną µ. Niech ν : M [0, ) będzie miarą absolutnie ciągłą względem µ. Wówczas istnieje funkcja mierzalna f : M [0, ) taka, że A M ν(a) = fdµ. Funkcję f nazywamy pochodną Radona-Nikodyma i oznaczmy przez dν dµ. A 11.2 Warunkowa wartość oczekiwana (cd.) Twierdzenie 29 Niech X będzie całkowalną zmienną losową określoną na (Ω, F, P ). Jeśli G F jest ustalonym podσ-ciałem, to E(X G ) istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do równości P p.w.). Twierdzenie 30 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, F 0, F 1 F ustalonymi pod-σ-ciałami oraz X, Y, X 1, X 2,... całkowalnymi zmiennymi losowymi. Wówczas 1. jeżeli X jest F 0 -mierzalna, to E(X F 0 ) = X, 2. jeżeli X 0, to E(X F 0 ) 0, 3. jeżeli X Y, to E(X F 0 ) E(Y F 0 ), ( 4. E(X F 0 ) E X F 0 ), 5. E(αX + βy F 0 ) = αe(x F 0 ) + βe(y F 0 ), α, β R, 6. jeżeli X 1 X 2..., lim n X n = X z pr.1, to lim n E(X n F 0 ) = E(X F 0 ), 7. jeżeli F 0 F 1 F, to E (E(X F 0 ) F 1 ) = E (E(X F 1 ) F 0 ) = E (X F 0 ), 8. jeżeli F 0 i σ(x) są niezależne, to E (X F 0 ) = EX, 9. jeżeli X jest zmienną losową mierzalną względem F 0 i XY jest całkowalną zmienną losową, to E (XY F 0 ) = XE (Y F 0 ), 10. E (E(X F 0 )) = EX. 20

21 Definicja 39 Warunkowa wartość oczekiwana E(X Y ) zmiennej losowej X pod warunkiem zmiennej losowej Y, gdzie X jest całkowalną zmienną losową Lemat 31 Niech Y będzie zmienną losową, a X - zmienną losową mierzalną względem σ(y ). Wówczas istnieje funkcja borelowska f taka, że X = f(y ). Wniosek 32 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi oraz niech h będzie dowolną funkcją borelowską taką, że h(x) jest całkowalna. Wówczas a) jeśli X i Y posiadają rozkłady skokowe, gdzie X ma wartości w X oraz Y w Y, oraz P Y (y) = P (Y = y) > 0, P (X,Y ) (x, y) = P (X = x, Y = y), to E(h(x) Y ) = x X h(x) P (X,Y )(x, Y ), P Y (Y ) b) jeśli wektor (X, Y ) ma funkcję gęstości f (X,Y ), a f Y (y) = R E(h(X) Y ) = h(x)f X Y (x Y )dx, f (X,Y ) (x, y)dx, to gdzie f X Y (x y) = f (X,Y ) (x,y) f Y (y), f Y (y) 0 0, w p.p. Zajęcia 12 ( ) Zajęcia nie odbyły się z powodu godzin dziekańskich. 21

22 Zajęcia 13 ( ) 13.1 Warunkowa wartość oczekiwana - zadania Zadanie 31 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o podanym rozkładzie łącznym Wyznacz E(X Y ). P (X = 0, Y = 1) = 0.1, P (X = 1, Y = 1) = 0.2, P (X = 0, Y = 0) = 0, P (X = 1, Y = 0) = 0.2, P (X = 0, Y = 2) = 0.2, P (X = 1, Y = 2) = 0.3. Zadanie 32 Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest 1 e x e y + e x y, x > 0, y > 0 F (x, y) = 0, dla pozostałych x, y. Wyznacz gęstości warunkowe f X Y i f Y X. Zadanie 33 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym na = {(x, y) : 0 x y 1}. Wyznacz P (X 1/4 Y = 1/2), E(X Y = 1/2), E(X Y = y) i E(X Y ). Zadanie 34 Niech (X, Y ) ma rozkład o gęstości f(x, y) = 8xy1 K (x, y). Wyznacz E(Y X). K = {(x, y) : x > 0, y > 0, x 2 + y 2 < 1} 22

23 Zajęcia 14 ( ) 14.1 Kolokwium - zadania Zadanie 1 Podaj i udowodnij twierdzenie o wariancji sumy n zmiennych losowych, n > 1. Zadanie 2 Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X względem σ-ciała F 0 = σ(a i, i I), gdzie A i, i I, stanowią (przeliczalne lub skończone) rozbicie przestrzeni Ω (bez dowodów) Zadanie 3 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości: C(xy 2 + 3x), 0 < x < 2, 0 < y < 1 f(x, y) = 0, dla pozostałych x, y a) Niech A = {(x, y) R 2 : 0 x y, 0 y 1}. Czy P ((X, Y ) A) = 0.1? b) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. c) Wyznacz V arx (lub V ary ). Zadanie 4 Niech X 1 i X 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0 (odpowiednio). Znajdź rozkład zmiennej losowej X 1 + X 2. Zadanie 5 (A i C) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [ 2, 2]. Wyznacz funkcję gęstości zmiennej losowej Y = X 2. Zadanie 5 (B) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Pokaż, że zmienna losowa Y = e X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Zadanie 6 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Weibulla z parametrami λ, p > 0, tj. funkcja gęstości dana jest wzorem 0, x < 0 f X (x) = λpx p 1 e λxp, x 0. Wykaż, że V arx = λ 2/p Γ(1 + 2 p ) λ 2/p ( Γ(1 + 1 p ) ) 2, gdzie Γ jest funkcją gamma. Zadanie 7 W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. W wyniku 10 rzutów losowo wybraną monetą otrzymano 10 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że była to moneta z orłami po obu stronach. 23

24 Literatura [1] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydanie II, Script, 2001 [2] A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka: rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna, procesy stochastyczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006 [3] A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978 [4] A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z probabilistyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983 [5] J. Stojanow i in., Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Seria 1. Zbieżność rozkładów Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014 Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

1.1 Rachunek prawdopodobieństwa

1.1 Rachunek prawdopodobieństwa Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)

Bardziej szczegółowo

Rozkłady łaczne wielu zmiennych losowych

Rozkłady łaczne wielu zmiennych losowych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 3 Motywacje Przykłady sytuacji z kilkoma zmiennymi losowymi: Antropometria: wzrost, waga ciała i grubość skóry przedramienia

Bardziej szczegółowo

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego 6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka

KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02

KARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma

Bardziej szczegółowo

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym. Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo