Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
|
|
- Łucja Szymczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia Przestrzeń probabilistyczna Prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne Zajęcia Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym i twierdzenie Bayesa Przestrzenie mierzalne, przestrzenie z miarą, σ-ciała Zmienne i wektory losowe Zajęcia Dystrybuanta Wartość oczekiwana Wariancja Zajęcia Kowariancja Ważne nierówności Zajęcia Dwuwymiarowa zmienna losowa Rozkłady brzegowe Niezależność zmiennych losowych Zajęcia Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] Rozkład normalny Zajęcia Własności rozkładu normalnego Funkcja tworząca momenty Zajęcia Rozkład gamma Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych Zajęcia Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (cd.) Zajęcia Warunkowa wartość oczekiwana aktualizacja mgr inż. Natalia Jarzębkowska, Politechnika Gdańska, FTiMS, KAMiN 1
2 Zajęcia Twierdzenie Radona-Nikodyma Warunkowa wartość oczekiwana (cd.) Zajęcia Zajęcia Warunkowa wartość oczekiwana - zadania Zajęcia Kolokwium - zadania Literatura 24
3 Zajęcia 1 ( ) 1.1 Przestrzeń probabilistyczna Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ): Ω - niepusty zbiór zdarzeń elementarnych F - σ-ciało podzbiorów Ω (definicja) P - miara probabilistyczna na (Ω, F ) (definicja) Wniosek 1 Jeżeli (Ω, F, P ) jest przestrzenią probabilistyczną i A, B, A 1, A 2,..., A n F, to: 1. Jeżeli A 1, A 2,..., A n są parami rozłączne, to P ( n 2. P (A ) = 1 P (A) 3. Jeżeli A B, to P (B\A) = P (B) P (A) 4. Jeżeli A B, to P (A) P (B) 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (+dowody) i=1 A i ) = n P (A i ) i=1 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 1 W magazynie są elementy pochodzące z dwóch fabryk: I i II. Elementy są klasyfikowane jako dobre i niedobre. Niech A oznacza zdarzenie: wybierany w sposób losowy element jest dobry oraz B oznacza zdarzenie: wybierany w sposób losowy element pochodzi z fabryki I. W tabeli podane są liczby elementów, odpowiadające poszczególnym zdarzeniom: Zdarzenie A A Razem B a b a + b B c d c + d Razem a + c b + d a + b + c + d = n Definicja 2 Prawdopodobieństwo warunkowe P (A B), gdy P (B) > 0. Definicja 3 Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa P B, gdy P (B) > 0. Twierdzenie 2 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, P (B) > 0. Wówczas (B, F B, P B ) jest przestrzenią probabilistyczną. (+dowód, że P B - miara probabilistyczna) 3
4 Zadanie 1 Wybieramy jedną rodzinę z dwojgiem dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli wiemy, że w tej rodzinie: a) starsze dziecko jest chłopcem, b) jest co najmniej jeden chłopiec. Zadanie 2 W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyprodukowanych wyrobów jest dobrych. Wśród 100 sztuk dobrych wyrobów 75 jest pierwszego gatunku. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pewna sztuka wyprodukowana w tym przedsiębiorstwie jest pierwszego gatunku. Twierdzenie 3 Jeśli P (A), P (B) > 0, to P (A B) > P (A) P (B A) > P (B). 1.3 Zdarzenia niezależne Definicja 4 Niezależność zdarzeń A, B F Definicja 5 Niezależność zdarzeń A 1, A 2,..., A n F Definicja 6 Niezależność zdarzeń A 1, A 2,... F Zadanie 3 Niech Ω = {(x, y) : 0 < x < 9, 0 < y < 9} A = B = {(x, y) : 1 < x < 4, 0 < y < 9} C = {(x, y) : 3 < x < 6, 0 < y < 9} Zbadań niezależność zdarzeń A, B, C. 4
5 Zajęcia 2 ( ) Zadanie 4 Wybieramy jedną rodzinę spośród rodzin, mających n dzieci. Niech zdarzenie A polega na tym, że w losowo wybranej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka, B - w rodzinie są dziewczynki i chłopcy. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 2.1 Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym i twierdzenie Bayesa Twierdzenie 4 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zdarzenia A i tworzą skończone lub przeliczalne rozbicie Ω oraz P (A i > 0) dla każdego i, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi: P (B) = i P (A i )P (B A i ), gdzie i przebiega wszystkie wartości. Twierdzenie 5 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli zdarzenia A i tworzą skończone lub przeliczalne rozbicie Ω oraz P (A i > 0) dla każdego i. Niech P (B) > 0. Wówczas dla każdego zdarzenia A i z rozważanego zbiory zdarzeń zachodzi równość (wzór Bayesa): gdzie j przebiega wszystkie wartości. P (A i B) = P (A i)p (B A i ) P (A j )P (B A j ), j Zadanie 5 Na pierwszym roku pewnego wydziału słuchacze pochodzą z trzech grup: 1, 2, 3. Liczebności słuchaczy z odpowiednich grup są równe: 50, 40, 30. Wiadomo, że prawdopodobieństwo terminowego ukończenia studiów dla słuchaczy z odpowiednich grup są równe:0.3, 0.4, 0.5. Z rozważanego zespołu 120 osób wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć: a) prawdopodobieństwo P a tego, że pochodzi z grupy 1; b) prawdopodobieństwo P b tego, że ukończy on terminowo studia; c) prawdopodobieństwo P c tego, że pochodzi on z grupy 1, jeśli stwierdzono, że ukończył terminowo studia. 2.2 Przestrzenie mierzalne, przestrzenie z miarą, σ-ciała Definicja 7 Przestrzeń mierzalna (M, M ) (+przykłady) Twierdzenie 6 Część wspólna rodziny σ-ciał w M jest σ-ciałem w M. 5
6 Definicja 8 σ-ciało generowane przez R - rodzinę podzbiorów M (najmniejsze σ-ciało w M zawierające rodzinę R) Definicja 9 σ-ciało borelowskie Definicja 10 Miara µ Definicja 11 Przestrzeń z miarą (M, M, µ) 2.3 Zmienne i wektory losowe Definicja 12 Zmienna (wektor) losowy Definicja 13 Funkcja borelowska Twierdzenie 7 Niech X będzie wektorem losowym o wartościach w R, a ϕ : R n R m funkcją borelowską. Wtedy ϕ(x) jest wektorem losowym o wartościach w R m. Definicja 14 Rozkład prawdopodobieństwa na R n Definicja 15 Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej (wektora) losowej µ X (+pokazanie, że jest to miara probabilistyczna) 6
7 Zajęcia 3 ( ) 3.1 Dystrybuanta Definicja 16 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ Definicja 17 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X Definicja 18 Zmienna losowa skokowa (dyskretna), funkcja prawdopodobieństwa oraz dystrybuanta Zadanie 6 Zmienna losowa dyskretna X ma rozkład prawdopodobieństwa: x i p i Znajdź dystrybuantę F X. Oblicz P ( 1 < X 1). Definicja 19 Zmienna losowa ciągła, zależność między dystrybuantą a funkcją gęstości Zadanie 7 Wyznaczyć stałą A taką, aby funkcja f(x) = 0, x < 0 Ae 3x, x 0 była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > 1). Zadanie 8 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f X, dystrybuancie F X i niech Y = X 2. Znaleźć gęstość f Y i dystrybuantę F Y. 3.2 Wartość oczekiwana Definicja 20 Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej, postaci wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej Twierdzenie 8 Załóżmy, że zmienne losowe EX i EY istnieją. Wówczas: 1. jeśli X 0, to EX 0, 2. EX E X, 3. Dla dowolnych a, b R istnieje wartość oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey 4. gdy A F, to E(1 A ) = P (A) = dp A 7
8 Zadanie 9 Niech gęstością f zmiennej losowej X będzie funkcja x 2, dla x 1, f(x) = 0, dla x < 1. Oblicz EX. Twierdzenie 9 Niech X 0. Wówczas EX = 0 (1 F X (t))dt = 0 P (X > t)dt, przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość. 3.3 Wariancja Definicja 21 Wariancja zmiennej losowej Twierdzenie 10 Jeśli wariancja zmiennej losowej X istnieje, to V ar(x) = EX 2 (EX) 2 8
9 Zajęcia 4 ( ) Twierdzenie 11 Niech X będzie zmienną losową taką, że EX 2 <. Wówczas V ar(x) istnieje oraz 1. V ar(x) 0 2. V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) Definicja 22 Zmienna losowa standaryzowana Wniosek 12 Zmienna losowa dana wzorem: Y = X EX V ar(x) dla V ar(x) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną. 4.1 Kowariancja Definicja 23 E XY < Wniosek 13 cov(x, Y ) = E(XY ) EXEY Kowariancja cov(x, Y ) między całkowalnymi zmiennymi losowymi X, Y, dla których Definicja 24 Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych Twierdzenie 14 Jeśli zmienne losowe X 1,..., X n mają wariancję, to istnieje wariancja sumy oraz ( n ) n n V ar X i = V ar(x i ) + 2 cov(x i, X j ). i=1 i=1 1 i<j n Ponadto jeśli są parami nieskorelowane, to ( n ) n V ar X i = V ar(x i ). i=1 i=1 9
10 4.2 Ważne nierówności Twierdzenie 15 (Nierówność Jensena) Niech E X < i niech g będzie taką funkcją wypukłą, że E g(x) <. Wówczas zachodzi g(ex) E[g(X)]. Twierdzenie 16 (Nierówność Schwarza) Jeśli EX 2 <, EY 2 <, to (E XY ) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie 17 (Nierówność Höldera) Niech p > 1, q > 1 spełniają równość 1 p + 1 q = 1. Jeśli E X p <, E Y q <, to E XY (E X p ) 1 p (E Y q ) 1 q. Twierdzenie 18 (Nierówność Czebyszewa) Dla każdej zmiennej losowej spełniającej warunek P (X < 0) = 0 o skończonej wartości oczekiwanej EX oraz dla każdego ε > 0 zachodzi P (X ε) EX ε. 10
11 Zajęcia 5 ( ) 5.1 Dwuwymiarowa zmienna losowa Definicja 25 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) i jej rozkład µ (X,Y ) Definicja 26 Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej F (X,Y ) Wniosek 19 Niech x 1 < x 2, y 1 < y 2 oraz A = {(x, y) R 2 : x 1 < x x 2, y 1 < y y 2 }. Wówczas µ (X,Y ) (A) = F (X,Y ) (x 2, y 2 ) F (X,Y ) (x 2, y 1 ) F (X,Y ) (x 1, y 2 ) + F (X,Y ) (x 1, y 1 ) Definicja 27 Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) Definicja 28 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) typu ciągłego 5.2 Rozkłady brzegowe Definicja 29 Dystrybuanty brzegowe dla dwuwymiarowej zmiennej losowej Definicja 30 Rozkłady brzegowe dla dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej Definicja 31 Gęstości brzegowe dla dwuwymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego 5.3 Niezależność zmiennych losowych Definicja 32 Niezależność zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n Definicja 33 Niezależność zmiennych losowych X 1, X 2,... Wniosek 20 Własność dystrybuant i gęstości lub rozkładu prawdopodobieństw w przypadku niezależnych zmiennych losowych Zadanie 10 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o następującym łącznym rozkładzie prawdopodobieństwa: P (X = 0, Y = 1) = C P (X = 2, Y = 1) = 0, 1 P (X = 0, Y = 0) = 0, 2 P (X = 2, Y = 0) = 0 P (X = 0, Y = 2) = 0, 3 P (X = 2, Y = 2) = 0, 2 a) Znajdź C. b) Wyznacz rozkłady brzegowe. 11
12 c) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. d) Oblicz EX, EY, V ar(x), V ar(y ). e) Oblicz cov(x, Y ) i ρ XY. Zadanie 11 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości: a) Znajdź C. C(xy 2 + 3x), 0 < x < 2, 0 < y < 1 f(x, y) = 0, dla pozostałych b) Niech A = {(x, y) R 2 : 0 x y, 0 y 1}. Wyznacz P ((X, Y ) A). c) Wyznacz rozkłady brzegowe. d) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. e) Oblicz EX, EY, V ar(x), V ar(y ). f) Oblicz cov(x, Y ) i ρ XY. 12
13 Zajęcia 6 ( ) Zadanie 12 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o podanych rozkładach Znajdź rozkład wektora losowego (X, Y ). P (X = 0) = 0.9, P (Y = 1) = 0.3, P (X = 2) = 0.1, P (Y = 0) = 0.7. Zadanie 13 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f X i dystrybuancie F X. Niech Y = ax + b, gdzie (a 0). Znajdź gęstość f Y i dystrybuantę F Y. 6.1 Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] 0, x < a f(x) = 1 b a, a x b 0, x > b Zadanie 14 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]. Oblicz EX i V arx. Niech Y =. Znajdź EY. X X+1 Zadanie 15 Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o znanych rozkładach. a) Y = max(x 1, X 2,..., X n ), b) Z = min(x 1, X 2,..., X n ). Znajdź rozkłady zmiennych Y i Z. Jak wyglądają rozkłady zmiennych losowych Y i Z w przypadku, gdy X 1, X 2,..., X n są zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1]? Twierdzenie 21 Jeśli istnieje moment rzędu r zmiennej losowej, to istnieją momenty rzędu l < r. 6.2 Rozkład normalny f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2, σ > 0, m R (1) Zadanie 16 Niech X będzie zmienną losową o gęstości zadanej wzorem (1). Pokaż, że a) f(x)dx = 1, R b) EX = m. 13
14 Zajęcia 7 ( ) 7.1 Własności rozkładu normalnego Zadanie 17 Niech X będzie zmienną losową o gęstości zadanej wzorem (1). Pokaż, że V arx = σ 2. Zadanie 18 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej 0 i wariancji równaj σ 2. Pokaż, że a) EX 2k+1 = 0, k = 0, 1,... b) EX 2k = (2k 1)!! σ 2k, k = 1, 2,... Zadanie 19 (Reguła trzech sigm) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej m i wariancji równaj σ 2. Oblicz P ( X m 3σ), wiedząc, że 1 3 e x2 2 dx π Funkcja tworząca momenty Definicja 34 Funkcja tworząca momenty M X zmiennej losowej X Twierdzenie 22 Niech X będzie zmienną losową Jeśli M X istnieje w otoczeniu 0, to d n dt n M X(t) = EX n. t=0 Zadanie 20 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej 0 i wariancji równaj 1. Znajdź funkcję tworzącą momenty M X zmiennej losowej X. 14
15 Zajęcia 8 ( ) Zadanie 21 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym: a) o średniej 1 i wariancji 9, b) o średniej 3 i wariancji 4. Znajdź funkcję tworzącą momenty M X. Przy jej pomocy oblicz EX Rozkład gamma f(x) = 0, x 0 a p Γ(p) xp 1 e ax, x > 0, (2) gdzie a > 0 jest parametrem skali, a p > 0 parametrem kształtu oraz Γ jest funkcją gamma, zdefiniowaną następująco Zadanie 22 (Własności funkcji gamma) a) Γ(1) = 1, b) Γ( 1 2 ) = π, c) Γ(p) = (p 1)Γ(p 1), d) Γ(n) = (n 1)!, n N, Γ(p) = x p 1 e x dx, p > 0 0 Zadanie 23 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f zadanej wzorem (2). Wykaż, że a) f(x)dx = 1, R b) EX = p a, c) EX 2 = p(p+1) a 2, d) V arx = p a 2. Zadanie 24 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym. Pokaż, że zmienna losowa X 2 ma rozkład gamma dla a = p =
16 8.2 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych Twierdzenie 23 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio µ X i µ Y. Wówczas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X + Y zadany jest wzorem: µ X+Y (B) = (µ X µ Y )(B) := µ X (B y)µ Y (y)dy, B B(R). R Ponadto, gdy X i Y są zmiennymi losowymi typu ciągłego o funkcjach gęstości f X i f Y, to funkcja gęstości zmiennej losowej X + Y zadana jest wzorem: f X+Y (u) = (f X f Y )(u) := f X (u y)f Y (y)dy. 16
17 Zajęcia 9 ( ) 9.1 Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych (cd.) Przypomnienie: Splot miar: (µ X µ Y )(B) := R µ X (B y)µ Y (y)dy, B B(R) Splot funkcji: (f X f Y )(u) := f X (u y)f Y (y)dy Twierdzenie 24 (Podstawowe własności splotu funkcji) 1. f g = g f, 2. (f g) h = f (g h), 3. f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2. Zadanie 25 (Rozkład trójkątny) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na odcinku [0, 1]. Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. Zadanie 26 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach odpowiednio: 0, x > 1 f(x) = 1 2, x 1 0, x > 2 Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. g(x) = 1 4, x 2 Zadanie 27 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o podanych niżej rozkładach Znajdź rozkład zmiennej losowej X + Y. P (X = 1) = 1 2 P (X = 2) = 1 4 P (X = 3) = 1 4 P (Y = 0) = 1 2 P (Y = 1) = 1 4 P (Y = 2) = 1 4 Zadanie 28 Niech X 1 i X 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0 (odpowiednio). Znajdź rozkład zmiennej losowej X 1 + X 2. 17
18 Zadanie 29 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach gęstości 0, x < 0 f X (x) = 2e 2x, x 0 0, y < 0 f Y (y) = 4e 4y, y 0. Wykorzystując splot funkcji znajdź gęstość zmiennej losowej X + 2Y. 18
19 Zajęcia 10 ( ) Zadanie 30 Znajdź funkcję gęstości zmiennej losowej X + Y, jeśli wiadomo, że zmienne X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X ma rozkład normalny standardowy, a rozkład zmiennej Y zadany jest następująco: P (Y = 1) = P (Y = 1) = Warunkowa wartość oczekiwana Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Definicja 35 Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A Twierdzenie 25 Jeżeli P (A) > 0 i X ma skończoną wartość oczekiwaną, to E(X A) = 1 XdP. P (A) A Twierdzenie 26 (Uogólniony wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Niech zdarzenia A i, i I, stanowią (skończone lub przeliczalne) rozbicie przestrzeni Ω takie, że P (A i ) > 0, i I. Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, to EX = i I E(X A i )P (A i ). Definicja 36 Warunkowa wartość oczekiwana E(X F 0 ) zmiennej losowej X względem σ-ciała F 0 = σ(a i, i I), gdzie A i, i I, stanowią (przeliczalne lub skończone) rozbicie przestrzeni Ω. Twierdzenie E(X F 0 ) jest F 0 -mierzalną zmienną losową określoną na (Ω, F, P ), 2. A F0 E(X F 0 )dp = XdP. A A Definicja 37 Warunkowa wartość oczekiwana całkowalnej zmiennej losowej X względem dowolnego pod-σ-ciała 19
20 Zajęcia 11 ( ) 11.1 Twierdzenie Radona-Nikodyma Definicja 38 Absolutna ciągłość miary ν względem miary µ (ν µ) określonych na przestrzeni mierzalnej (M, M ) Twierdzenie 28 (Radona-Nikodyma) Niech (M, M, µ) będzie przestrzenią z miarą σ skończoną µ. Niech ν : M [0, ) będzie miarą absolutnie ciągłą względem µ. Wówczas istnieje funkcja mierzalna f : M [0, ) taka, że A M ν(a) = fdµ. Funkcję f nazywamy pochodną Radona-Nikodyma i oznaczmy przez dν dµ. A 11.2 Warunkowa wartość oczekiwana (cd.) Twierdzenie 29 Niech X będzie całkowalną zmienną losową określoną na (Ω, F, P ). Jeśli G F jest ustalonym podσ-ciałem, to E(X G ) istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do równości P p.w.). Twierdzenie 30 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, F 0, F 1 F ustalonymi pod-σ-ciałami oraz X, Y, X 1, X 2,... całkowalnymi zmiennymi losowymi. Wówczas 1. jeżeli X jest F 0 -mierzalna, to E(X F 0 ) = X, 2. jeżeli X 0, to E(X F 0 ) 0, 3. jeżeli X Y, to E(X F 0 ) E(Y F 0 ), ( 4. E(X F 0 ) E X F 0 ), 5. E(αX + βy F 0 ) = αe(x F 0 ) + βe(y F 0 ), α, β R, 6. jeżeli X 1 X 2..., lim n X n = X z pr.1, to lim n E(X n F 0 ) = E(X F 0 ), 7. jeżeli F 0 F 1 F, to E (E(X F 0 ) F 1 ) = E (E(X F 1 ) F 0 ) = E (X F 0 ), 8. jeżeli F 0 i σ(x) są niezależne, to E (X F 0 ) = EX, 9. jeżeli X jest zmienną losową mierzalną względem F 0 i XY jest całkowalną zmienną losową, to E (XY F 0 ) = XE (Y F 0 ), 10. E (E(X F 0 )) = EX. 20
21 Definicja 39 Warunkowa wartość oczekiwana E(X Y ) zmiennej losowej X pod warunkiem zmiennej losowej Y, gdzie X jest całkowalną zmienną losową Lemat 31 Niech Y będzie zmienną losową, a X - zmienną losową mierzalną względem σ(y ). Wówczas istnieje funkcja borelowska f taka, że X = f(y ). Wniosek 32 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi oraz niech h będzie dowolną funkcją borelowską taką, że h(x) jest całkowalna. Wówczas a) jeśli X i Y posiadają rozkłady skokowe, gdzie X ma wartości w X oraz Y w Y, oraz P Y (y) = P (Y = y) > 0, P (X,Y ) (x, y) = P (X = x, Y = y), to E(h(x) Y ) = x X h(x) P (X,Y )(x, Y ), P Y (Y ) b) jeśli wektor (X, Y ) ma funkcję gęstości f (X,Y ), a f Y (y) = R E(h(X) Y ) = h(x)f X Y (x Y )dx, f (X,Y ) (x, y)dx, to gdzie f X Y (x y) = f (X,Y ) (x,y) f Y (y), f Y (y) 0 0, w p.p. Zajęcia 12 ( ) Zajęcia nie odbyły się z powodu godzin dziekańskich. 21
22 Zajęcia 13 ( ) 13.1 Warunkowa wartość oczekiwana - zadania Zadanie 31 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o podanym rozkładzie łącznym Wyznacz E(X Y ). P (X = 0, Y = 1) = 0.1, P (X = 1, Y = 1) = 0.2, P (X = 0, Y = 0) = 0, P (X = 1, Y = 0) = 0.2, P (X = 0, Y = 2) = 0.2, P (X = 1, Y = 2) = 0.3. Zadanie 32 Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) jest 1 e x e y + e x y, x > 0, y > 0 F (x, y) = 0, dla pozostałych x, y. Wyznacz gęstości warunkowe f X Y i f Y X. Zadanie 33 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym na = {(x, y) : 0 x y 1}. Wyznacz P (X 1/4 Y = 1/2), E(X Y = 1/2), E(X Y = y) i E(X Y ). Zadanie 34 Niech (X, Y ) ma rozkład o gęstości f(x, y) = 8xy1 K (x, y). Wyznacz E(Y X). K = {(x, y) : x > 0, y > 0, x 2 + y 2 < 1} 22
23 Zajęcia 14 ( ) 14.1 Kolokwium - zadania Zadanie 1 Podaj i udowodnij twierdzenie o wariancji sumy n zmiennych losowych, n > 1. Zadanie 2 Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej X względem σ-ciała F 0 = σ(a i, i I), gdzie A i, i I, stanowią (przeliczalne lub skończone) rozbicie przestrzeni Ω (bez dowodów) Zadanie 3 Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o gęstości: C(xy 2 + 3x), 0 < x < 2, 0 < y < 1 f(x, y) = 0, dla pozostałych x, y a) Niech A = {(x, y) R 2 : 0 x y, 0 y 1}. Czy P ((X, Y ) A) = 0.1? b) Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. c) Wyznacz V arx (lub V ary ). Zadanie 4 Niech X 1 i X 2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0 (odpowiednio). Znajdź rozkład zmiennej losowej X 1 + X 2. Zadanie 5 (A i C) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [ 2, 2]. Wyznacz funkcję gęstości zmiennej losowej Y = X 2. Zadanie 5 (B) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Pokaż, że zmienna losowa Y = e X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Zadanie 6 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Weibulla z parametrami λ, p > 0, tj. funkcja gęstości dana jest wzorem 0, x < 0 f X (x) = λpx p 1 e λxp, x 0. Wykaż, że V arx = λ 2/p Γ(1 + 2 p ) λ 2/p ( Γ(1 + 1 p ) ) 2, gdzie Γ jest funkcją gamma. Zadanie 7 W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. W wyniku 10 rzutów losowo wybraną monetą otrzymano 10 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że była to moneta z orłami po obu stronach. 23
24 Literatura [1] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydanie II, Script, 2001 [2] A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka: rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna, procesy stochastyczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006 [3] A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978 [4] A. Plucińska, E. Pluciński, Zadania z probabilistyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983 [5] J. Stojanow i in., Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoRozkłady łaczne wielu zmiennych losowych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 3 Motywacje Przykłady sytuacji z kilkoma zmiennymi losowymi: Antropometria: wzrost, waga ciała i grubość skóry przedramienia
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowo