5 Twierdzenia graniczne

Transkrypt

1 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 22 5 Twierzeia graicze 5.1 Typy zbieżości zmieych losowych Defiicja 5.1 Rozważmy ciag ciag z.l. { }, z których każa ma ystrybuate F, oraz z.l. Z o ystrybuacie F. Mówimy że ciag z.l. { } jest zbieży we lug rozk lau o z.l. Z jeśli lim F (x = F (x la wszystkich x D F, gzie D F jest zbiorem puktów, w których ystrybuata F jest ciag la. Zbieżość wg. rozk lau azywamy też s lab zbieżości i ozaczamy F Z lub Z lub L Z. Zauważmy, że zbiór puktów ieciag lości owolej ystrybuaty F t.j. zbiór R \ D F może być zbiorem co ajwyżej przeliczalym zatem jeśli zachozi s laba zbieżość { } o Z to lim F (x = F (x la prawie wszystkich x R (wszystkich z wyjatkiem zbioru miary 0 w mierze Lebesgue a. Zwróćmy jeszcze uwage a fakt, że w powyższej efiicji ie musimy zak laać że wszystkie z.l. oraz Z s określoe a tej samej przestrzei probabilistyczej, baamy bowiem jeyie zachowaie ich ystrybuat. Iaczej jest w przypaku kolejych wóch typów zbieżości wymagajacych za lożeia że ciag z.l. { } oraz z.l. Z s określoe a tej samej przestrzei probabilistyczej (Ω, F,. Defiicja 5.2 Mówimy, że ciag z.l. { } jest zbieży we lug prawopoobieństwa o z.l. Z jeśli (5.1 ε > 0 ( Z Z > ε { ω : Z (ω Z(ω > ε } 0. Zbieżość wg. prawopoobieństwa ( wg. azywamy też zbieżościa stochastycz i ozaczmy j symboliczie Z. Latwo pokazać, że zbieżość wg. implikuje zbieżość wg. rozk lau atomiast owrota implikacja zachozi jeyie wtey gy wszystkie oraz Z s określoe a tej samej przestrzei probabilistyczej oraz Z = c = cost, tj. gy Z jest zegeerowa z.l. przyjmujac sta l wartość c z prawopoobieństwem 1. Defiicja 5.3 Mówimy, że ciag z.l. { } jest zbieży z prawopoobieństwem 1 o z.l. Z jeśli (5.2 ( Z { ω : (ω Z(ω } = 1, tz. zbiór puktów ω la których (ω jest zbieży o Z(ω ma miare 1 (w mierze s to wiec prawie wszystkie pukty przestrzei Ω (tj. wszystkie za wyjatkiem pewego ich pozbioru miary 0. Iymi s lowy prawie wszezie zachozi zbieżość puktowa i st te rozaj zbieżości azywamy też zbieżości prawie wszezie (p.w. lub prawie a pewo (ag. almost everywhere (a.e., almost surely (a.s. i ozaczamy 1 p.w. a.s. a.e. Z lub Z lub Z lub Z. Zbieżość z 1 moża rówoważie zefiiować w astepuj acy sposób: { ω : (ω Z(ω } = 0. Oczywiście zbieżość z 1 implikuje zbieżość wg. i jest to istotie siliejszy typ zbieżości, tz. owrota implikacja ie zachozi co ilustruje poiższy kotrprzyk la.

2 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 23 rzyk la 5.1 Niech Ω = [0, 1], F = B [0,1] (zbiory borelowskie a ociku [0, 1], oraz = U[0, 1] (rozk la jeostajy a ociku [0, 1]. Zmiee losowe efiiujemy astepuj aco { 1 la ω 1 ( 2 = k, 2 k + 1] gy 2 k < 2 k+1, k = 0, 1,... 2 k 0 poza. Jeśli Z := 0 (tj. Z(ω := 0 la każego ω Ω to la 2 k < 2 k+1, k = 0, 1,..., mamy ( Z = 1 = ( = 1 = 2 k, ( Z = 0 = ( = 0 = 1 2 k. Zatem la każego ε zachozi waruek (5.1 co ozacza, że Z = 0. Jeak zbieżość z 1 ie zachozi bowiem ω ε N N (ω Z(ω > ε, tz. ie jest zbieży puktowo o 0 w żaym pukcie ω Ω. Dla ustaloego ε < 1 weźmy owole ω (0, 1. Wówczas la każego N i k takiego, że N < 2 k, istieje takie, że ω 2 k ( 2 k, 2 k + 1]; z efiicji wyika, że (ω Z(ω = (ω = 1 > ε. Na postawie wcześiejszych obserwacji możemy sformu lować astepuj ace: Twierzeie 5.1 Miezy wymieioymi typami zbieżości zachoz astepuj ace zwiazki 1 Z Z Z, c = cost c. Twierzeie 5.2 (Twierzeie S luckiego. Jeżeli X X oraz Y c = cost to (i X + Y X + c, (ii X Y cx, (iii X /Y X/c, o ile c ostawowe ierówości Jeśli z.l. X ma skończoy r-ty momet to beziemy pisać X L r. W szczególości, jeśli istieje skończoy rugi momet (X jest ca lkowala z kwaratem, a wiec rówież VarX <, to piszemy X L 2. oobie, X L 1 ozacza ca lkowal z.l. wiec E X <. Twierzeie 5.3 (Nierówość Markowa. Jeśli r, t R + oraz Z L r to (5.3 Dowó. ( Z > t E Z r t r. Niech Y := Z r, a := t r. Wtey Y L 1 jest ieujem z.l. oraz EY = E [ ] [ ] [ ] ( Y 1 (Y >a + E Y 1(Y a E Y 1(Y >a a Y > a co ozacza, że ( Z r > t r E Z r /t r, ale ( Z r > t r = ( Z > t zatem twierzeie jest uowoioe. Twierzeie 5.4 (Nierówość Czebyszewa. Jeśli X L 2 to (5.4 ( X EX t 1 VarX t 2.

3 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 24 Dowó. (5.5 W ierówości Markowa, k laziemy Z := (X EX oraz r = 2 co aje ( X EX > t VarX t 2 Biorac zarzeie przeciwe ostajemy ierówość Czebyszewa. Oczywiście (5.4 implikuje rówież (5.5 zatem wzory te s rówoważe. Wiosek 5.1 (Regu la 3 sigm. K laac w ierówości Czebyszewa t = 3σ gzie σ = VarX ostajemy ( X EX 3σ 8/9, zatem la owolej zmieej losowej majacej skończoy rugi momet 8/9 jej masy zajuje sie ie alej iż 3σ o jej śreiej, tz. z prawopoobieństwem co ajmiej 8/9 z.l. X przyjmie wartość z przezia lu [EX 3σ, EX + 3σ]. W ierówości Czebyszewa jeyym za lożeiem jest istieie rugiego mometu z.l. jest to wiec ierówość barzo uiwersala, w zwiazku z czym ie moża oczekiwać o iej użej ok laości w szacowaiu prawopoobieństwa pewych zarzeń. Niemiej jeak pojawia sie oa w owoach wielu twierzeń i jest postawowym arzeziem s lużacym o baaia zbieżości wg. prawopoobieństwa. 5.3 rawa Wielkich Liczb Niech ciag z.l. {X k }, k = 1, 2,..., oraz z.l. X be określoe a tej samej przestrzei probabilistyczej (Ω, F,. Beziemy alej używać astepuj acych ozaczeń: X := ( T X 1,..., X k, S := X k = 1 T X, k=1 X := 1 S. Wektor X azywamy prób rozmiaru atomiast z.l. X azywamy śrei z próby (rozmiaru lub śrei próbkowa. Defiicja 5.4 Mówimy, że la ciagu z.l. {X k } zachozi s labe prawo wielkich liczb (SWL jeśli 1 ( S ES 0, tz. ε > 0 lim ( 1 S ES < ε = 1,. Jeżeli EX k = EX = m, k = 1, 2,..., to powyższy waruek jest rówoważy X m, tz. ε > 0 lim ( X m < ε = 1,. oiżej przestawiamy twierzeia, w których s poae waruki ostatecze a to aby la ciagu z.l. zachozi lo SWL. Zauważmy, że ie zawsze wymagamy aby ciag z.l. {X k } by l IID (ag. Iepeet Ietically Distribute, tj. ciag iezależych z.l. o ietyczych rozk laach. rzyk la 5.2 Niech X k, k = 1, 2,..., bezie ciagiem iezależych zmieych losowych o jeakowym rozk lazie b(1, p. Dla p = 1/2 oraz = 1000 oszacować ( S (450, 550. Rozwiazaie: Wiemy, że S b(1000, 1/2 zatem ES = 500, VarS = p(1 p = 250. ierówości Czebyszewa ostajemy ( S = 1/10, zatem ( S (450, 550 9/10. Zauważmy jeszcze, że stosujac regu l e 3 sigm ostajemy ( S (452, 548 8/9. Twierzeie 5.5 (WL Beroulli ego. Jeśli {X k } IID, b(1, p to X p. Iymi s lowy, la prób Beroulli ego zachozi SWL.

4 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 25 Dowó. Korzystajac z ierówości Czebyszewa ostajemy ( S p < ε = ( S p < ε p(1 p p(1 p 1 2 ε 2 = 1 ε 2 1. Twierzeie 5.6 (WL Markowa. Dla ciagu z.l. {X k } spe liajacych waruki: (i X k L 2, (ii VarX = 1 VarS 2 0 (waruek Markowa, zachozi SWL, tz. 1 ( S ES 0. Dowó. Korzystajac z ierówości Czebyszewa ostajemy ( S ( ES ε = S ES VarS ε 2 ε 2 = 1 ε 2 VarX 0. rzyk la 5.3 Jeśli S b(, p to VarS = p(1 p wi ec VarX = 1 2 VarS = p(1 p 0 gy. Zatem z WL Markowa wyika WL Beroulli ego. Twierzeie 5.7 (WL Czebyszewa. Dla ciagu z.l. {X k } zachozi SWL jeśli spe lioe s waruki (i X k L 2, (ii k σk 2 = VarX k σ 2 (jeostajie ograiczoe wariacje, (iii X k s ieskorelowae, tj. Cov(X j, X k = 0 la j k. Jeśli z.l. X k s ieskorelowae to VarS = k=1 σ2 k σ2. St wyika, że VarX = 1 VarS 2 = 0 zatem spe lioy jest waruek Markowa i zachozi SWL. Dowó. σ 2 Twierzeie 5.8 (WL Bersteia. Dla ciagu z.l. {X k } zachozi SWL jeśli spe lioe s waruki (i X k L 2, (ii k σk 2 = VarX k σ 2, (iii ρ jk = Corr(X j, X k 0, gy j k. Dowó pozostawiamy jako zaaie 5.1. Twierzeie 5.9 (WL Chiczya. (i X k L 1, (ii {X k } IID. Dla ciagu z.l. {X k } zachozi SWL jeśli spe lioe s waruki Dowó pomijamy. Do jego przeprowazeia potrzeba jest zajomość fukcji charakterystyczych. Zauważmy, że spośró powyższych twierzeń, wystarczy pamietać WL Markowa i WL Chiczya. Twierzeia Beroulli ego, Czebyszewa i Bersteia s kosekwecj WL Markowa. Z kolei WL Chiczya różi sie zasaiczo o wcześiejszych bowiem z jeej stroy os labiamy za lożeie i omagamy sie istieia jeyie śreiej zmieych losowych (wariacja może być ieskończoa, jeak z rugiej stroy żaamy aby z.l. by ly iezależe o ietyczych rozk laach co jest istotie siliejszym za lożeiem iż waruek (ii w WL Markowa. Okazuje sie jeak, że przy za lożeiach twierzeia Chiczya ({X k } s IID i ca lkowale moża uowoić mociejsze twierzeie, a miaowicie zbieżość z 1. Natomiast tezy twierzeia Markowa ie a sie wzmocić bez zmiay za lożeń. Traktuj o tym wa twierzeia Ko lmogorowa zaliczae o mocych praw wielkich liczb.

5 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 26 Defiicja 5.5 Mówimy, że la ciagu z.l. {X k } zachozi moce prawo wielkich liczb (MWL (ag. Strog Low of Large Numbers (SLLN jeśli 1 ( 1 S ES 0, tz. ( 1 ( S ES 0 = 1,. Jeżeli EX k = EX = m, k = 1, 2,..., to powyższy waruek jest rówoważy X 1 m, tz. ( X m = 1,. Twierzeie 5.10 (I WL Ko lmogorowa. (i X k L 2, (ii {X k } s iezależe, (iii σk 2 k=1 <, k 2 zachozi MWL, tz. 1 ( 1 S ES 0. Dla ciagu z.l. {X k } spe liajacych waruki: Wiosek 5.2 Ciag iezależych z.l. o jeostajie ograiczoych wariacjach spe lia MWL (por. WL Czebyszewa. Twierzeie 5.11 (II WL Ko lmogorowa. Dla ciagu z.l. {X k } spe liajacych waruki: (i X k L 1, (ii {X k } s iezależe, (iii {X k } maj ietycze rozk lay, 1 zachozi MWL, tz. X m, gzie m := EX k. Iymi s lowy: la ciagu {X k } IID ca lkowalych z.l. zachozi MWL. 1 oato, prawziwe jest twierzeie owrote: jeśli {X k } IID i zachozi zbieżość X m, to X k L 1, przy czym m = EX k. 5.4 Twierzeia graicze la prób Beroulli ego Twierzeie 5.12 (Twierzeie Graicze e Moivre a-laplace a. Niech {X k } IID, b(1, p, 0 < p < 1; wówczas S b(, p, µ := ES = p, σ := VarS = p(1 p. Lokale TG (ieformalie. Dla użych, i k {0, 1,..., } takich, że k µ = o ( σ 2/3 mamy (5.6 (S = k 1 { exp 1 (k µ 2 } 2πσ 2 σ 2 = 1 ( k µ ϕ = ϕ σ σ µ,σ 2 (k, gzie ϕ m,σ 2(x jest gestości rozk lau ormalego ze śrei m i wariacj σ 2, atomiast ϕ(x ϕ 0,1 (x jest gestości staarowego rozk lau ormalego. Cetrale TG (5.7 X p p(1 p/ = S µ σ N(0, 1,. Uwaga 5.1 W cześci lokalej twierzeia e Moivre a-laplace a (tj. orzekajacej o zbieżości fukcji prawopoobieństwa la prób Beroulli ego o gestości rozk lau ormalego waruek k µ = o ( σ 2/3 ależy ituicyjie rozumieć w te sposób, że wielkość k µ σ ie powia przybierać wartości ekstremalych. W praktyce ozacza to, że TG e Moivre a-laplace a może awać b l ee szacowaia jeśli p jest barzo ma le tj. bliskie 0 (lub barzo uże, tj. bliskie 1, lub gy k przybiera skraje wartości ze zbioru {0, 1,..., }.

6 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 27 rzyk la 5.4 Tak jak w przyk lazie (5.2 chcemy oszacować ( S ES < 50 = ( S (450, 550, gy S b(, p, = 1000, p = 1/2. Zauważmy, że ok laa wartość tej wielkości wyosi ( S (450, 550 = 549 k=451 ( 1000 k , co bez pomocy komputera jest praktyczie ie o obliczeia. W przyk lazie (5.2 przy szacowaiu tego prawopoobieństwa pos lużyliśmy sie ierówości Czebyszewa, która ze wzgleu a sw uiwersalość aje iezbyt ok lae szacowaia. Korzystajac z TG e Moivre a-laplace a ostajemy zaczie ok laiejszy wyik: ( S (450, 550 = ( 450 < S < 550 ( = < S < ( 3.16 < S 500 < 3.16 = Φ(3.16 Φ( 3.16 = 2Φ( = Ozacza to, że przy tysiacu prób Beroulli ego z prawopoobieństwem sukcesu 1/2 możemy być iemal pewi, że liczba sukcesów zajzie sie w przeziale (450, 550 prawopoobieństwo że bezie ich miej iż 450 lub wiecej iż 550 wyosi zalewie (korzystajac z ierówości Czebyszewa ostaliśmy jeyie góre ograiczeie tego prawopoobieństwa przez 1/10 a wiec wielkość 50 razy wieksz a!. Jeśli p jest bliskie 0, tj. prawopoobieństwo zajścia pewego zarzeia (sukcesu jest barzo ma le, lepsze przybliżeie uzyskujemy korzystajac z Twierzeia oissoa. Twierzeie 5.13 (Twierzeie oissoa. Jeśli S b(, p oraz p λ, gy, to (5.8 (S = k λk k! e λ,. rzyk la 5.5 (a Niech S b(100, 1/10. Wówczas ES = 10, VarS = 9. Korzystajac z lokalego twierzeia graiczego (LTG e Moivre a-laplace a ostajemy szacowaie (S = 10 = 1 ( ϕ = 1 ϕ( /3 = Korzystajac z kolei z twierzeia oissoa k laziemy λ = p = = 10 sk a (S = 10 = ! e = rawziwa wartość (obliczoa w Matlabie wyosi (S = 10 = , wiec w tym przypaku uzyskujemy lepsze przybliżeie korzystajac z twierzeia e Moivre a-laplace a. (b Niech S b(100, 1/100. Wówczas ES = 1, VarS = Korzystajac z LTG e Moivre a-laplace a ostajemy szacowaie (S = 3 = 1 ( 3 1 ϕ ϕ( = = Korzystajac z kolei z twierzeia oissoa k laziemy λ = p = = 1 sk a (S = 3 = 13 3! e 1 = 1 6e rawziwa wartość (obliczoa w Matlabie wyosi (S = 3 = , a wiec szacowaie z użyciem twierzeia oissoa jest w tym przypaku zaczie ok laiejsze iż za pomoc LTG e Moivre a-laplace a.

7 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A Cetrale Twierzeie Graicze Twierzeie e Moivre a-laplace a jest historyczie pierwszym z twierzeń orzekajacych o zbieżości rozk laów śreich próbkowych (ustaaryzowaych o rozk lau ormalego. Zastepuj ac ciag prób Beroulli ego owolym ciagiem z.l. {X k } iteresuje as opowieź a pytaie, jakie s waruki ostatecze a to aby zachozi la zbieżość (5.9 tz. (5.10 x S ES VarS ( S ES VarS N(0, 1,, x Φ(x,, gzie Φ(x ozacza ystrybuate staarowego rozk lau ormalego (tz. ze śrei 0 i wariacj 1, S := k=1 X k. Twierzeia, w których przestawioe s te waruki azywamy cetralymi twierzeiami graiczymi (CTG. Zauważmy, że jeśli EX k = m oraz VarX k = σ 2, la wszystkich k = 1, 2,..., to ES = m i VarS = σ 2, lub rówoważie EX = m i VarX = σ 2 /. Waruek (5.9 jest w tym przypaku rówoważy z astepuj acym: (5.11 S m σ = X m σ/ N(0, 1,. Defiicja 5.6 Mówimy, że ciag { } jest asymptotyczie ormaly z parametrami a, b, i piszemy { } AN ( a, b 2, jeśli (5.12 a b N(0, 1,. Zgoie z powyższ efiicj CTG orzekaja, jakie waruki a lożoe a ciag z.l. {X k } implikuj że {S } AN ( ES, VarS. W przypaku sta lej śreiej m i sta lej wariacji σ 2 jest to rówoważe pytaiu, kiey {X } AN ( m, σ 2 /. Twierzeie 5.14 (CTG Lieberga Lévy ego. Dla ciagu z.l. {X k } spe liajacego waruki: (i X k L 2, (ii {X k } IID, zachozi zbieżość (5.11. Iymi s lowy, jeśli z.l. X k, k = 1, 2,..., s iezależe i o jeakowym rozk lazie ze śrei m i wariacja σ 2 to {X k } AN ( m, σ 2 /. Historia ierwsza wersja twierzeia graiczego pojawi la sie w pracy Abrahama e Moivre a z roku 1733, w której uży l o rozk lau ormalego o szacowaia rozk lau ilości or lów w wielokrotie powtarzaych rzutach symetrycz moeta. Wyik te zosta l zapomiay a iemal 80 lat. Dopiero w 1812 roku ierre- Simo Laplace uowoi l obecie za wersje twierzeia graiczego la prób Beroulli ego (tj. rozk lau wumiaowego. CTG w wersji Lieberga i Lévy ego zosta lo uowoioe opiero w latach 20 XX wieku, choć iezależie o ich i iymi metoami uowoi l je Aleksar Lyapuov już w 1901 roku. Do ziś zaych jest wiele różych wersji CTG, w których pokazuje sie przy jakich za lożeiach o ciagu {X k } zachozi zbieżość rozk lau staaryzowaych sum S o rozk lau ormalego, a wiec zachozi zbieżość (5.9. Jea z barziej zaych wersji CTG jest twierzeie Lieberga-Fellera. Sam rozk la ormaly pojawi l sie a poczatku XIX wieku w pracach Carla Fririecha Gaussa jako rozk la b l eu pomiarów. rzy tym za lożeiu Gauss uzasai l metoe ajmiejszych kwaratów. O jego azwiska gestość rozk lau ormalego azywamy ziś rówież krzyw Gaussa (lub krzyw zwoowa. Oko lo roku 1875 zaczeto stosować azwe rozk la ormaly (iezależie eirce, Galto i Lexis.

8 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A Twierzeia graicze la wektorów losowych Niech z ozacza orme eukliesow w R, tj. z := j=1 z2 j. Zauważmy, że jeśli Z jest -wymiarowym w.l. to jego orma eukliesowa Z jest zmie losowa. oamy teraz efiicje zbieżości wg. rozk lau, wg. oraz z 1 la wektorów losowych. Defiicja 5.7 Mówimy że ciag w.l. { } jest zbieży o w.l. Z (a wg. rozk lau, piszemy Z, jeśli F (z F (z la każego z D F,, gzie F jest ystrybuat w.l., F jest ystrybuat w.l. Z, atomiast D F jest zbiorem puktów w R, w których ystrybuata F jest ciag la; (b wg. prawopoobieństwa, piszemy Z, jeśli Z (c z prawopoobieństwem 1, piszemy 0, ; 1 Z, jeśli Z 1 0,. Twierzeie 5.15 (Metoa Cramera-Wala, ag. Cramer-Wal Device. Z a R a T a T Z. Twierzeie 5.16 Niech { } oraz Z be -wymiarowymi w.l. określoymi a tej samej przestrzei probabilistyczej (Ω, F,, atomiast g : R R iech bezie fukcj ciag l a zbiorze miary Z rówej 1 (tj. a takim zbiorze A B że (Z A = 1. Wówczas prawziwe s astepuj ace implikacje: (i Z g( g(z; (ii Z g( g(z; 1 (iii Z g( 1 g(z. Twierzeie 5.17 (CTG la wektorów losowych. Jeśli {X k } IID(m, Σ to 5.7 Zaaia ( 1 k=1 X k m N(0, Σ,. Zaaie 5.1 Uowoij WL Bersteia i pokaż, że wyika z iego WL Czebyszewa. Wskazówka: okaż że spe lioy jest waruek Markowa. Zaaie 5.2 Które z za lożeń s mociejsze: te w WL Bersteia czy te w I WL Ko lmogorowa? Zaaie 5.3 Rozk la prawopoobieństwa a pó lprostej [c,, c > 0, o ystrybuacie ( c λ F (x = 1, x c, λ > 0, x azywamy rozk laem areto z parametrami λ, c, w skrócie ar(λ, c. Niech {X } bezie ciagiem iezależych z.l. o jeakowym rozk lazie ar(λ, 1. Dla jakich wartości λ moża la tego ciagu stosować: (a s labe WL (które?; (b moce WL; (c CTG Lieberga-Lévy ego?

9 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 30 Zaaie 5.4 Niech {X j, j = 1,..., } bezie ciagiem iezależych z.l. o jeakowym rozk lazie U(0, 1. (a Oszacuj ( 0.2 < X < 0.4, la = 10 oraz = 100. (b Jakie musi być aby ( X E[X 1 ] < 0.01 > 0.95? Skorzystaj z ierówości Czebyszewa oraz CTG. orówaj wyiki. Zaaie 5.5 owtórz pukt (b poprzeiego zaaia la zmieych losowych o rozk lazie: (a U( 1, 1, (b χ 2 (k, (c o wariacji σ 2. Zaaie 5.6 Niech {X j, j = 1,..., } bezie ciagiem iezależych z.l. o jeakowym rozk lazie oissoa z parametrem λ, tj. (X j = k = λ k e λ /k!, k N. Oszacuj (a jeśli wiaomo, że ( X E[X 1 ] < oraz λ = 10; (b λ jeśli wiaomo, że ( X100 E[X 1 ] < ; (c w zależości o λ jeśli wiaomo, że ( X E[X 1 ] < Zaaie 5.7 Niech {X j } bezie ciagiem z.l. takich, że: (i E[X j ] = m la wszystkich j = 1, 2,..., (ii Cov(X j+h, X j = ρ h, gzie ρ < 1, la wszystkich h Z (w szczególości Var(X j = 1. Korzystajac z opowieiego twierzeia pokaż, że la tego ciagu zachozi SWL. Zaaie 5.8 Uowoij, że la ciagu z poprzeiego zaaia zachozi SWL korzystajac bezpośreio z ierówości Czebyszewa. Wskazówka: okaż, że Var ( X ( = 1 j j 2 ρ k + ρ k = = ρ 1 ρ ρ 1 ρ. j=1 k=0 k=1 Zaaie 5.9 Korzystajac z metoy Cramera-Wala uowoij Cetrale Twierzeie Graicze la wektorów losowych: jeśli {X j } IID ( m, Σ to ( 1 ( X j m N 0, Σ, przy. j=1 Zaaie 5.10 Uowoij, że jeśli {X } AN ( a, b 2 to {X } AN ( α, β 2 wtey i tylko wtey gy β /b 1 oraz (α a /b 0. Zaaie 5.11 Uowoij, że jeśli {X } AN ( a, b 2 to {α X +β } AN ( a, b 2 wtey i tylko wtey gy α 1 oraz [ a (α 1 + β ]/ b 0. Zaaie 5.12 Uowoij, że jeśli {X } AN ( m, σ 2 to X m wtey i tylko wtey, gy σ 0 przy. Zaaie 5.13 Uowoij, że jeśli X χ 2 ( to {X } AN(, 2. Zaaie 5.14 Uowoij, że jeśli X T ( to {X } AN(0, 1. Zaaie 5.15 Zajź liczbe k taka, aby prawopoobieństwo, że w 1000 rzutach moet liczba or lów bezie zawarta miezy 450 a k wyosi lo 0.3. Zaaie 5.16 Oszacuj prawopoobieństwo tego, że w 30 rzutach moet liczba or lów: (a przekroczy 20; (b wyosi 15. Zaaie 5.17 Oszacuj prawopoobieństwo, że przy rzucie ziesieciom kostkami o gry otrzymamy: (a ok laie trzy czwórki; (b ok laie je czwórke; (c parzyst liczbe oczek tylko a jeej kostce.

10 A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 31 Zaaie 5.18 W hali zajuje sie 100 maszy. Każa z ich jest w l acza i wy l acza iezależie o pozosta lych i pracuje przecietie 0.8 zieego czasu pracy. Oblicz prawopoobieństwo, że w owolie wybraej chwili (czasu pracy bezie w l aczoych (a poa 70 maszy; (b wszystkie maszyy; (c miezy 70 a 80 maszy. Zaaie 5.19 rawopoobieństwo pewego zarzeia wyosi p. Czestości tego zarzeia azywamy wielkość k/, gzie k ozacza ilość obserwacji w których zasz lo iteresujace as zarzeie (sukces, atomiast ozacza ilość wszystkich obserwacji. Ile oświaczeń ależy wykoać (tz, jakie powio być, aby z prawopoobieństwem ie miejszym iż 0.9 obserwowaa czestość zarzeia ochyla la sie o prawopoobieństwa jego wystapiei o ie wiecej iż 0.1? W jaki sposób zależy w tym przypaku o p? oaj maksymal i miimal wartość jeśli wiaomo, że p (0.25, Zaaie 5.20 ewie towar ma waliwość 10%. Jak wielk partie tego towaru ależy zamówić, aby mieć co ajmiej 95% pewości, że w tej partii bezie co ajmiej 1000 sprawych sztuk. Czy moża uzyskać 100% pewość? owtórz zaaie la waliwości (a 1%, (b 30%. Defiicja 5.8 Etropi yskretej z.l. X o rozk lazie p j := (X = x j, j Z, azywamy wielkość H(X H({p j } := j p j log p j. Jeśli X b(1, p to etropi e z.l. X ozaczamy H b (p. Zaaie 5.21 Naszkicuj wykres H b (p jako fukcji zmieej p (0, 1. orówaj te wykres z wyikami z wóch poprzeich zaań. Zaaie 5.22 Nie korzystajac z twierzeia oissoa pokaż, że la S b(, p, gy uże i p ma le, (S = 0 e λ, gzie λ = p. Zaaie 5.23 rawopoobieństwo zalezieia mutata w hoowli rożży wyosi Cozieie wykouje sie 200 hoowli oświaczalych. Oblicz prawopoobieństwo, że (a w jeym iu ua sie zaobserwować wie mutacje; (b w ciagu 50 i ie zajzie sie ai jea mutacja. Zaaie 5.24 Waliwość partii etali wyosi Oblicz prawopoobieństwo, że w pue lku zawierajacym 100 etali (a ie bezie etalu waliwego; (b be ajwyżej wa waliwe etale. Zaaie 5.25 rawopoobieństwo wygraej w loterii, gy kupuje si e jee los, wyosi Ile losów ależy kupić, by wygrać w tej loterii z prawopoobieństwem co ajmiej 0.9? Zaaie 5.26 Grupa 1000 osób ubezpiecza sie (a rok o wypaku a kwote z l (wielkość oszkoowaia w razie wypaku. rawopoobieństwo, że w ciagu roku osoba ulegie wypakowi wyosi (a Jak wielka powia być sk laka rocza a by z prawopoobieństwem p wiekszym o 0.9 kwota uzyskaa ze sk laek przekroczy la kwote oszkoowań? (b owtórz poprzei pukt la p > (c Dla zalezioych powyżej miimalych sk laek roczych oblicz prawopoobieństwo, że kwota uzyskaa ze sk laek, przewyższy kwote oszkoowań o (i 100 tyś. z l., (ii 200 tyś. z l.